課時(shí)作業(yè)31 空間幾何中的垂直（教師版）

課時(shí)作業(yè)31空間幾何中的垂直1．(2024·山東泰安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為上一點(diǎn)，過(guò)作與平行的平面，分別交，于點(diǎn)，，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】證明：連接，交于點(diǎn)，連接．∵平面，平面平面，平面，∴．∵底面是菱形，∴，且為，中點(diǎn)，又，∴，又，平面，∴平面，∴平面．2．(2024·浙江金華市·高三期末節(jié)選)在三棱錐中，平面平面ABC，，)證明：平面ABC【答案】證明見(jiàn)解析；【解析】證明：取AB中點(diǎn)D，連接PD，DC∵，，則，，而，∴平面PDC，因?yàn)槠矫?，故．在中，，故，∴．又∵平面平面，且交線為AC，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，故．因?yàn)椋嗥矫妫?．(2024·河南焦作市節(jié)選)如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為，，的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)榈酌妫酌?，所以，因?yàn)?，分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，，所以，所以，由所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?4．(2024·浙江溫州市節(jié)選)如圖，已知三棱錐﹐，是邊長(zhǎng)為的正三角形，﹐，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】在中，，，，由余弦定可得，，，，，平面；5．(2024·陜西咸陽(yáng)市·高三一模節(jié)選)如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，是的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】平面平面，平面平面=AC，平面，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，∵，平面，∴平面．6．(2024·浙江金華市節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，平面平面，若E為的中點(diǎn)，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，底面為矩形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；因?yàn)椋詾榈妊切?，E為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，面，所以?．(2024·西安市鐵一中學(xué)節(jié)選)如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，點(diǎn)在上，且，求證：平面【答案】證明見(jiàn)詳解【解析】因?yàn)榈酌媸橇庑危?，所以，在中，，由，可?同，，又所以平面.8．(2024·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由題意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?．(2024·江蘇南通市節(jié)選)如圖，四面體中，O是的中點(diǎn)，點(diǎn)G、E分別在線段AO和BC上，，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】證明：(1)連接并延長(zhǎng)，交于，連接，在中，為BD中點(diǎn)，在AO上，，∴為的重心∴，又∴∴，∵平面，平面，∴平面；(2)在中，為中點(diǎn)，，，∴∴，在中，，為中點(diǎn)，連接，則，又，∴，∴由，，，平面，得平面，又平面，∴平面平面.10．(2024·山西呂梁市·高三一模節(jié)選)如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由已知，，得，，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以.11．(2024·云南高三期末)如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)在正方體中，∵，，且，∴平面，平面.∴(2)如圖所示，連接，交于，連接.

由題設(shè)得：，，∴四邊形為平行四邊形.∴.又∵平面，平面，∴平面.12．(2024·江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選)如圖，已知四棱錐，其中，，，，側(cè)面底面，是上一點(diǎn)，且是等邊三角形，求證：平面【答案】證明見(jiàn)解析【解析】，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，平面，平面，，如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，，且為的中點(diǎn)，則，，則，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，、平面，，，為等邊三角形，則，所以，，，由，，即，，因此，平面；13．(2024·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中)如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)如下圖所示，連接、，設(shè)，連接，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋邳c(diǎn)為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面，平面，所以，平面；(2)，為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，平面，，，，平?14．(2024·陜西咸陽(yáng)市)在三棱錐中，、分別為、的中點(diǎn)，且，平面平面.(1)證明：平面；(2)證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)在中，、分別是、的中點(diǎn)，.平面，平面，平面；(2)在中，，為的中點(diǎn)，，又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.15．(2024·全國(guó))已知四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為直角梯形，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?16．(2024·全國(guó))如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：平面．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】證明：(1)因?yàn)榫匦嗡谄矫媾c半圓弦所在平面垂直，面面，，面，所以半圓弦所在平面，且半圓弦所在平面，所以；又是上異于，的點(diǎn)，所以；又，所以平面；又平面，所以平面平面；(2)由是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示：由中位線定得；又平面，平面，所以平面．17．(2024·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn).證明：平面平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為.因?yàn)椤停矫?，所以⊥平面，故?因?yàn)闉樯袭愑冢狞c(diǎn)，且為直徑，所以⊥.又=，所以⊥平面.而平面，故平面⊥平面.18．(2024·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))已知四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為直角梯形，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】證明：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴.19．(2024·江蘇蘇州市·高三三模)如圖，在三棱柱中，，為中點(diǎn)，平面平面，.(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2