2024-2025學(xué)年甘肅省高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上

的指定位置.

2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答

題區(qū)域均無(wú)效.

3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作

答；字體工整，筆跡清楚.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.

5.本卷主要考查內(nèi)容：湘教版必修第一冊(cè)第一章?第三章.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合“"卜僅.,">。},”上刈2x—3區(qū)1},則如人（）

A,{0,1,2}B.{1,2}C,{1,2,3}D.{2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.

【詳解】,.1A=^y\y=x,x>0^={^y\y>0^,B={xeN||2x-3|<1J=-[%eN|1<x<2}={1,2},

.?"5={1,2},

故選：B.

2.設(shè)xeR,則“x<3”是“傘-2）<0"的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】由集合的包含關(guān)系即可判斷.

【詳解】由X（X—2）<0可得0<x<2,

顯然（0,2）口（-*3）,

所以“x<3”是“x（x-2）<0必要不充分條件.

故選：B

3.已知函數(shù)/（x）=x+4，則/（一2022）+/（2022）的值是（）

JC

A.-2022B.0C.1D.2022

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可求/（-2022）+/（2022）的值.

【詳解】/（x）的定義域?yàn)閧x|x*0},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

/（—X）+/（x）=—X-----—=0,故/（X）為奇函數(shù)，

XX

貝2022）+/（2022）=0.

故選：B.

4.設(shè)全集U={xeN*|x<8},集合N={1,3,6},8={3,5,7},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到。={1,2,3,4,5,6,7},結(jié)合并集與補(bǔ)集的運(yùn)算，求得d（ZU8）={2,4},進(jìn)而

得到其子集的個(gè)數(shù).

【詳解】由題意，全集U={xeN*|x<8}=",2,3,4,5,6,7},

因?yàn)镹={1,3,6},5={3,5,7）,可得Z={1,3,5,6,7）,

所以。（ZU8）={2,4},所以d（ZU8）的子集個(gè)數(shù)為22=4個(gè).

故選：B.

5.若“王e”,田<丁"為真命題，“VxeM,x<2”為假命題，則集合M可以是（）

A.{x|x<0}B,{x[0<x<l}

C.{x[l<x<3}D.(x|x<l}

【答案】C

【解析】

【分析】由“VxeM,x<2”為假命題，可得“ZeM”,x>2,為真命題，可知A,B,D不正確，即

可得出答案.

【詳解】若“VxeM,x<2”為假命題，所以FxeM"，x>2,為真命題,

所以A,B,D不正確，排除A,B,D.

故選：C.

6.函數(shù)/(x)=2&—3x的最大值為()

,311

A—B.-C.1D.-

,423

【答案】D

【解析】

【分析】換元再配方可得答案.

【詳解】令/=?(720),則g(/)=2/—3/=—3,—+1(r>0),

所以g(Omax=g

故選：D.

7.已知函數(shù)=則函數(shù)y=/(x)的解析式是()

A.f(x)=x2+2x+2,x>0B,f(x)=x2+2x+2,x>-1

C.f(x)=x2-2x+2,x>0D,f(x)=x2-2x+2,x>-l

【答案】B

【解析】

【分析】利用配湊法求解析式即可.

【詳解】/(x2-1)=x4+1=[(x2-1)+1]2+1,且12—1，所以/(X)=(X+1)2+1=*+2X+2,

xN—1.

故選：B.

8.設(shè)偶函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)xc[O,+s)時(shí)，/(x)是增函數(shù)，則/(—3)的大小關(guān)系

是()

A./⑺〉/(-3)〉/(-S)

B./(兀)〉/(")〉/(-3)

C/(7T)</(-3)</(-V7)

D./(7T)</(-V7)</(-3)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)將負(fù)值的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為正值的函數(shù)值，再利用/(x)在[0,+8)上的單調(diào)性即得.

【詳解】因/(x)是偶函數(shù)，故/(—J7)=/(J7),/(—3)=〃3),

又因當(dāng)xe[0,+oo)時(shí)，/(x)是增函數(shù)，由々<3<兀可得：/(兀)歲(3)〉/(療)，

即/⑺(-3)〉/(").

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中，既是全稱(chēng)量詞命題又是真命題的是()

A.奇數(shù)都不能被2整除

B.有的實(shí)數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

C.角平分線上的任意一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,方程必+1=0都有解

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞的定義求解即可.

【詳解】選項(xiàng)A與C既是全稱(chēng)量詞命題又是真命題，B項(xiàng)是存在量詞命題，D項(xiàng)是假命題.

故選：AC

10.如果。<6<0,c<d<0,那么下列不等式一定成立的是()

…dcd+bc+b

A.etc>bdB.ac1n>bd2C.一<—D.-------<--------

aaa+ba+b

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷AC正確，取特殊值可知B錯(cuò)誤；利用作差法可知D正確.

【詳解】由題知一a>-Z?>0,—c>—d>0,所以ac>bd,故A正確；

取。=。=一2,b=d=-1,貝|〃/=一8，bd?=_\,故B不正確；

1de

因?yàn)閏<d,—<0,所以一<一,故C正確；

aaa

b+dc+bd-c八一d+bc+b.一小

因?yàn)?-----------=-----<0,故-----<-----,故rD正確，

a+ba+ba+ba+ba+b

故選：ACD.

11.對(duì)于定義在R上的函數(shù)/(x),下列判斷正確的是().

A.若/(x)是偶函數(shù)，則/(-2)=/(2)

B.若'(2),則/(x)不是偶函數(shù)

C若〃2)>/(1),則函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)

D.若/(2)〉/⑴，則函數(shù)/(x)在R上不是減函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)定義判斷選項(xiàng)AB,舉反例否定選項(xiàng)C；利用減函數(shù)定義判斷選項(xiàng)D.

【詳解】選項(xiàng)A：若/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則/(-x)=/(x)恒成立，

則有/(—2)=/(2)成立，判斷正確；

選項(xiàng)B：定義在R上的函數(shù)/(X),若'(2),則/(—x)=/(X)不恒成立，

則/(x)不是偶函數(shù)，判斷正確；

選項(xiàng)C：定義在R上的函數(shù)/(x)=x2,滿足〃2)〉/⑴，

但函數(shù)/(x)不是R上的增函數(shù).判斷錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：定義在R上的函數(shù)/(x),若〃2)>/⑴，

則對(duì)任意X15x2eR,X］</時(shí)，/(xj〉/(%)不恒成立,

則函數(shù)/(x)在R上不是減函數(shù).判斷正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合Z={x|(x—l)(x—2)=0}用列舉法表示為.

【答案】{1,2}##{2,1}

【解析】

【分析】解方程，求出幺={1,2}.

【詳解】^={X|(X-1)(X-2)=0}={1,2}.

故答案為：{1,2}

13.函數(shù)/(》)=>/心+&3—1的定義域是.

【答案】［-3,1］

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，可得出關(guān)于x的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.

【詳解】要使函數(shù)/(X)有意義，貝1Jx+3〉0，解得—3WXW1.

因此，函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋邸?』.

故答案為：［一3』.

1212

14.已知Q>0,>0,ci>—I—，b>—I—，則Q+Z?的最小值為_(kāi)_____.

abba

【答案】2A/3

【解析】

33

【分析】由已知可得Q+62—+不，結(jié)合基本不等式求(。+6)2的最小值，再求Q+b的最小值.

ab

【詳解】因?yàn)?。?+2,/>>—+—,

abba

一33

所以。+6之—I—，又Q>0,b>0,

ab

,22、2入2

所以(a+b)~—(a+6)=6H----H—>12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=y/3時(shí)取等號(hào).

\ab)ab

所以a+6226，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=G時(shí)取等號(hào).

所以a+6的最小值為2G.

故答案為：2區(qū)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.

15.已知全集U=R，A={x|—3<x<2},B={x|m<x<5}.

(1)若加=0,求何吊^^；

(2)若?！炅Α笔恰皒wB”的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)(dN)n8=[2,5)

(2)(-oo,-3]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)補(bǔ)集交集的概念運(yùn)算即可；

(2)先判斷集合間的包含關(guān)系，再列出不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

aZ=(—oo,-3]U[2,+oo),

若加=0,B={x|0<xV5},

所以(6幺)08=[2,5)；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)椤皒eZ”是“xeB”的充分條件，所以

所以加<一3

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一*-3].

16.若關(guān)于x的不等式"2+3》_1>0的解集是*1

(1)求a的值；

(2)求不等式-3x+/+1>。的解集.

【答案】(1)-2；(2){x|--1<x<l).

【解析】

【詳解】試題分析：(1)由題意可知，1,是方程ax2+3x-1=0的兩根，通過(guò)韋達(dá)定理可求出a的值;

2

(2)將(1)中的a代入不等式ax2-3x+a2+l>0,解這個(gè)一元二次不等式即可；(注意二次項(xiàng)系數(shù)小于0

要變形求解)

試題解析：

(1)依題意，可知方程ax2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為寺和1,

.1?-^-+1=--5.—xl=-,解得a=-2,

2a2a

.?.a的值為-2；

(2)由(1)可知，不等式為-2x2-3x+5>,gp2X2+3X-5<0,

2

??,方程2x+3x-5=0的兩根為xi=Lx2=-->

?,.不等式ax2-3x+a2+l>0的解集為{x|--^-<x<l}.

考點(diǎn)：1.一元二次方程中韋達(dá)定理應(yīng)用；2.一元二次不等式求解集.

17.設(shè)函數(shù)/(%)=2國(guó)+%-2.

4

3

2

1

Q

Ti234X

-T2

(1)將函數(shù)/(%)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式并畫(huà)出其圖象；

(2)寫(xiě)出函數(shù)/(')的單調(diào)區(qū)間和值域.

/、［3x-2,x>0

【答案】(1)/(x)=<c八，圖象見(jiàn)解析

-x-2,x<0

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為［0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),值域?yàn)椋?2,+co)

【解析】

【分析】(1)去掉絕對(duì)值符號(hào)將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出函數(shù)圖象；

(2)結(jié)合函數(shù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最小值，即可求出函數(shù)的值域.

【小問(wèn)1詳解】

一［x.x>0

因?yàn)?

I<0

3x-2,x>0

所以/(x)=2|x|+x_2=<

—x—2,x<0

所以/（x）的圖象如下所示:

【小問(wèn)2詳解】

由（1）中函數(shù)圖象可知，/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,+。），單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,0）,

又/（0）=—2,所以/（x）的值域?yàn)椋邸?,+8）.

18.某保健廠研制了一種足浴氣血生機(jī)的足療盆，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心x（0<x<18）厘米處

安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用.根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度

起到干擾作用，已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與/成反比，比例系數(shù)為2；對(duì)右腳的干擾度與

1350-Y成反比，比例系數(shù)為k,且當(dāng)x=10時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為0.06.

（1）求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式;

（2）求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小值，并求此時(shí)x的值.

250

【答案】（1）”-----1--------------0<x<18

"x21350-x2

4

（2）當(dāng)x=15時(shí)，臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小，為一.

【解析】

2k

【分析】（1）由題意歹==+-------r,把x=10,y=0.06代入，可求上的值.

x1350-x

（2）利用基本不等式力”的妙用，可求V的最小值及對(duì)應(yīng)的1的值.

【小問(wèn)1詳解】

2k

由題意y=—+0<x<18,

1350—/

2k

因?yàn)閤=10時(shí)，y=0.06,所以---+----------=0.06=左=50,

1001350-100

所以y=2+50

0<x<18.

x1350—/

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?<x<18,所以1350——>0,

2501p+(1350-x2)]j^250

所以歹==+bl350-爐

1350-x21350

2(1350--)50/

12(1350—1)5Qx2

>-------

~252+2.

13501350-x213501350—1

14

=——(52+20)=—,

1350v775

當(dāng)且僅當(dāng)20350—x)=50/,即》=15時(shí)取“=

x21350-x2

4

所以當(dāng)x=15時(shí)，臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小，為一.

19.己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的a,beR,都有/(a)/(b)=/(a+