2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE其次章2.4請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)完成練案[16]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．下列函數(shù)可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的是(A)A．f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－12,2) B．f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\f(x－22,2σ2)C．f(x)＝eq\f(1,\r(2πσ))e－eq\f(x－μ2,2σ2) D．f(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x－μ2,2π)2．某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)中，甲、乙、丙三科考試成果的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成果分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖所示曲線可得下列說法中正確的一項(xiàng)是(A)A．甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同[解析]由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙．故選A．3．某廠生產(chǎn)的零件外直徑X～N(8.0,0.0225)，單位mm，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)取出一個(gè)，測(cè)得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm，則可認(rèn)為(C)A．上、下午生產(chǎn)狀況均為正常B．上、下午生產(chǎn)狀況均為異樣C．上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣D．上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常[解析]依據(jù)3σ原則，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外時(shí)為異樣．結(jié)合已知可知上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣．4．某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的全部考生的數(shù)學(xué)成果聽從正態(tài)分布．已知數(shù)學(xué)成果平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成果在90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為(D)A．10% B．20%C．30% D．40%[解析]由條件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－0.2)＝0.4，故選D．5．以Φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－∞，x)內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|<σ)等于(B)A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ))) D．2Φ(μ＋σ)[解析]設(shè)η＝eq\f(|ξ－μ|,σ)，則P(|ξ－μ|<σ)＝P(|η|<1)＝P(－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．故選B．6．一批電阻的電阻值X(Ω)聽從正態(tài)分布N(1000,52)，現(xiàn)從甲、乙兩箱出廠成品中各隨機(jī)抽取一個(gè)電阻，測(cè)得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認(rèn)為(C)A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不行出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不行出廠D．甲箱電阻不行出廠，乙箱電阻可出廠[解析]∵X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015．∵1011∈(985,1015)，982?(985,1015)，∴甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不行出廠．二、填空題7．正態(tài)變量的概率密度函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x－32,2)，x∈R的圖象關(guān)于直線__x＝3__對(duì)稱，f(x)的最大值為__eq\f(1,\r(2π))__．8．某一部件由3個(gè)元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作(其中元件1,2,3正常工作的概率都為eq\f(1,2))．設(shè)3個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命(單位：小時(shí))均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為__eq\f(3,8)__．[解析]由題意得，3個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命聽從正態(tài)分布N(1000,502)，則每個(gè)元件的運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率均為eq\f(1,2)，則元件1和2的運(yùn)用壽命至少有一個(gè)超過1000小時(shí)的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故該部件運(yùn)用壽命超過1000小時(shí)的概率為eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)．9．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈R.給出以下四個(gè)命題：①對(duì)隨意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②假如隨機(jī)變量X聽從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③假如隨機(jī)變量X聽從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是100；④隨機(jī)變量X聽從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p．其中真命題的序號(hào)是__①②④__.(寫出全部真命題的序號(hào))[解析]畫出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如下圖：由圖可得：①圖象關(guān)于x＝μ對(duì)稱；故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(X<x)也隨著增加，故②正確；③假如隨機(jī)變量X聽從N(108,100)，那么X的期望是108，標(biāo)準(zhǔn)差是10；④由圖象的對(duì)稱性，可得④正確，故填：①②④．三、解答題10．生產(chǎn)工藝過程中產(chǎn)品的尺寸偏差X(mm)～N(0,22)，假如產(chǎn)品的尺寸與現(xiàn)實(shí)的尺寸偏差的肯定值不超過4mm的為合格品，求生產(chǎn)5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率．(精確到0.001)[解析]由題意X～N(0,22)求得P(|X|≤4)＝P(－4≤x≤4)＝0.9544．設(shè)Y表示5件產(chǎn)品中合格品個(gè)數(shù)，則Y～B(5,0.9544)，所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝Ceq\o\al(4,5)·(0.9544)4×0.0456＋Ceq\o\al(5,5)·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981．故生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率為0.981．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(ABD)A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對(duì)隨意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對(duì)隨意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)[解析]由圖象可知μ1<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)＝eq\f(1,2)<P(Y≥μ1)，∴A錯(cuò)；P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，∴B錯(cuò)；對(duì)隨意實(shí)數(shù)t，P(X≥t)<P(Y≥t)，∴D錯(cuò)，P(X≤t)≥P(Y≤t)，∴C正確，故選ABD．2．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)聽從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(B)(附：若隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%[解析]由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.6827，P(－6＜ξ＜6)＝0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P－6<ξ<6－P－3<ξ<3,2)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%．二、填空題3．(2024·黔東南州一模)黔東南州雷山西江千戶苗寨，是目前中國(guó)乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年來自世界各地的游客川流不息．假設(shè)每天到西江苗寨的游客人數(shù)ξ是聽從正態(tài)分布N(2000,10000)的隨機(jī)變量．則每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率為__0.158_7__.(參考數(shù)據(jù)：若ξ聽從N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.9974)[解析]∵聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率分別為0.6826，隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(2000,1002)，∴每天到西江苗寨的游客人數(shù)超過2100的概率為eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587，故答案為0.1587．4．設(shè)某城市居民私家車平均每輛車每月汽油費(fèi)用為隨機(jī)變量ξ(單位為：元)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得ξ～N(520,14400)，從該城市私家車中隨機(jī)選取容量為10000的樣本，其中每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有__6_826__輛．(附：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)[解析]由已知得：μ＝520，σ＝120，∴P(400<ξ<640)＝P(520－120<ξ<520＋120)＝0.6826，∴每月汽油費(fèi)用在(400,640)之間的私家車估計(jì)有：0.6826×10000＝6826．三、解答題5．一投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)投資方案的利潤(rùn)X(萬元)分別聽從正態(tài)分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤(rùn)超過5萬元”的概率盡量大，那么他應(yīng)當(dāng)選擇哪一個(gè)方案？[解析]對(duì)于第一個(gè)方案有X～N(8,32)，其中μ＝8，σ＝3，P(X>5)＝eq\f(1－P5<X≤11,2)＋P(5<X≤11)＝eq\f(1＋P5<X≤11,2)＝eq\f(1＋0.6826,2)；對(duì)于其次個(gè)方案有X～N(7,12)，其中μ＝7，σ＝1，P(X>5)＝eq\f(1＋P7－2<X≤7＋2,2)＝eq\f(1＋0.9544,2)．明顯其次個(gè)方案“利潤(rùn)超過5萬元”的概率比較大，故他應(yīng)當(dāng)選擇其次個(gè)方案．6．某市教化局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)狀況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測(cè)試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測(cè)試成果X聽從正態(tài)分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué)．(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成果在區(qū)間[80,85)，[85,95)，[95,100]內(nèi)各有一位同學(xué)的概率；(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測(cè)試成果在區(qū)間[75,85]的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．[解析](1)P(80≤X<85)＝eq\f(1,2)－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝P(X≥85)－P(X≥95)＝P(X<75)－P(X≥95)＝0.3