第17章 幾種特殊的三角形-假期晉級利器之初升高數學銜接教材（解析版）

第17章幾種特殊的三角形【知識銜接】————初中知識回顧————等腰三角形底邊上三線（角平分線、中線、高線）合一，因而在等腰中，三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上．學-科網正三角形三條邊長相等，三個角相等，且四心（內心、重心、垂心、外心）合一，該點稱為正三角形的中心．圖3.2-15圖3.2-15————高中知識鏈接————等腰三角形、等邊三角形均有“三線合一”、“四心合一”的性質直角三角形中，斜邊上的直線必為斜邊的一半在有角的直角三角形中，角所對的直角邊必為斜邊的一半【經典題型】初中經典題型1、在中，求：（1）的面積及邊上的高；（2）的內切圓的半徑；（3）的外接圓的半徑．解：（1）如圖，作于．為的中點，,又,解得．（2）如圖，為內心，則到三邊的距離均為，連，，即，解得．（3）是等腰三角形，外心在上，連，則中，解得2、如圖，在中，AB=AC，P為BC上任意一點．求證：．證明：過A作于D．在中，．在中，．．．．3、已知等邊和點P，設點P到三邊AB，AC，BC的距離分別為，的高為，“若點P在一邊BC上，此時，可得結論：．”解：（1）當點P在內時，法一：如圖，過P作分別交于，由題設知，而，故，即．法二：如圖，連結PA、PB、PC，，，又，，即．（2）當點P在外如圖位置時，不成立，猜想：．點睛：在解決上述問題時，“法一”中運用了化歸的數學思想方法,“法二”中靈活地運用了面積的方法．高中經典題型1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF=45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現有以下結論：①AB=；②當點E與點B重合時，MH=；③AF+BE=EF；④MG?MH=，其中正確結論的個數是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：①∵在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1∴AB=（所以①正確）②如圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位線，∴GC=AC=MH，故②正確；③如圖2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③錯誤；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AF?BF=AC?BC=1，由題意知四邊形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG?MH=AE×BF=AE?BF=AC?BC=，故④正確．故選：C．2．如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連接BE，DE．（1）如圖1，求證：△BCE≌△DCE；（2）如圖2，延長BE交直線CD于點F，G在直線AB上，且FG=FB．①求證：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的邊長為2，若點E在對角線AC上移動，當△BFG為等邊三角形時，求線段DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②DE=2（﹣1）【解析】試題分析：（1）利用判定定理（SAS）可證；（2）①利用（1）的結論與正方形的性質，只需證明∠FDE+∠DFG=90°即可；②由DE⊥FG可構造直角三角形，利用等邊三角形的性質及三角函數可求DE的長．（2）①∵由（1）可知△BCE≌△DCE，∴∠FDE=∠FBC又∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，又∵FG=FB，∴∠FGB=∠FBG，∴∠DFG=∠CFB，又∵∠FCB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°，∴∠EDF+∠DFG=90°，∴DE⊥FG②如下圖所示，∵△BFG為等邊三角形，∴∠BFG=60°，∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，在Rt△FCB中，∠FCB=90°，∴FC=CB?cot60°=，DF=2-，又∵DE⊥FG，∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，在Rt△DFO中，OD=DF?cos30°=-1，∴DE=2（-1）【點睛】本題考查了正方形、等邊三角形、直角三角形及三角函數等知識點，解題的關鍵是掌握三角形全等的判定定理、兩直線垂直的條件及綜合應用所學知識的能力．學！科網3．如圖，在菱形紙片ABCD中，，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點分別在邊上，則的值為______．【答案】【解析】如圖，作EH⊥AD于H，連接BE，BD產AE交FG于O，因為四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，所以△ADC是等邊三角形，∠ADC=120°，∵點E是CD的中點，所以ED=EC=，BE⊥CD，Rt△BCE中，BE=CE=，因為AB∥CD，所以BE⊥AB，設AF=x，則BF=3-x，EF=AF=x，在Rt△EBF中，則勾股定理得，x2=(3-x)2+()2，解得x=，Rt△DEH中，DH=DE=，HE=DH=，Rt△AEH中，AE==，所以AO=，Rt△AOF中，OF==，所以tan∠EFG==，故答案為．【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎————A組1．已知：在中，AB=AC，為BC邊上的高，則下列結論中，正確的是（）A．B．C．D．2．三角形三邊長分別是6、8、10，那么它最短邊上的高為（）A．6B．4．5C．2．4D．83．如果等腰三角形底邊上的高等于腰長的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于_________．4．已知:是的三條邊，，那么的取值范圍是_________．5．若三角形的三邊長分別為1、a、8，且是整數，則的值是_________．6．如圖，等邊的周長為12，CD是邊AB上的中線，E是CB延長線上一點，且BD=BE，則的周長為（）A．B．C．D．7．如圖，在中，，BD是邊AC上的高，求的度數．3．如圖，，M是AC的中點，AM=AN，MN//AB，求證：MN=AB．4．如圖，在中，AD平分，AB+BD=AC．求的值．5．如圖，在正方形ABCD中，F為DC的中點，E為BC上一點，且，求證：．A組參考答案1．B2．D3．4．5．86．A7．8．連，證．9．在AC上取點E，使AE=AB，則，，又BD=DE=EC，10．可證，因而與互余，得．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．已知：如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，點O是AB上一點，⊙O過點B且與AC相切于點E，交BD于點G，交AB于點F．（1）求證：BE平分∠ABD；（2）當BD=2，sinC=時，求⊙O的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】試題分析：連接OE，根據等腰三角形三線合一的性質和切線的性質得出OE⊥AC，BD⊥AC，證得OE∥BD，根據平行線的性質和等腰三角形的性質可證得結論；（2）根據sinC=求出AB=BC=4，設⊙O的半徑為r，則AO=4-r，得出sinA=sinC，根據OE⊥AC，得出sinA，即可求出半徑．（2）∵BD=2，sinC=，BD⊥AC∴BC=4，∴AB=4設⊙O的半徑為r，則AO=4-r∵AB=BC，∴∠C=∠A，∴sinA=sinC=∵AC與⊙O相切于點E，∴OE⊥AC∴sinA===，∴r=2．如圖，在等邊△ABC中，點E為邊AB上任意一點，點D在邊CB的延長線上，且ED＝EC．（1）當點E為AB的中點時（如圖1），則有AEDB（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）猜想AE與DB的數量關系，并證明你的猜想．【答案】（1）=；（2）AE＝BD．【解析】試題分析：（1）△BCE中可證，∠BCE=30°，又EB=EC，則∠D=∠ECB=30°，所以△BCE是等腰三角形，結合AE=BE即可；（2）過E作EF∥BC交AC于F，用AAS證明△DEB≌△ECF．（2）當點E為AB上任意一點時，AE與DB的大小關系不會改變．理由如下：過E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC．∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°．∴△AEF是等邊三角形．∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD．∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF(AAS)．∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD．點睛：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，等邊三角形的三條邊相等，三個角也相等，由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質等邊三角形都有，在等邊三角形中通過作平行線構造全等三角形是常用的方法．3．如圖，平面直角坐標系中有等邊△AOB，點O為坐標原點，OB＝2，平行于x軸且與x軸的距離為1的線段CD分別交y軸、AB于點C，D．若線段CD上點P與△AOB的某一頂點的距離為，則線段PC(PC＜2．5)的長為____________．【答案】－1或2或2－2【解析】【分析】過點A作AE⊥OB交CD于點F，根據已知可求得OE＝，AE＝3，AF＝2，AF⊥CD，然后根據AP＝，OP＝，BP＝三種情況分別討論即可得．【詳解】過點A作AE⊥OB交CD于點F，∵△AOB是等邊三角形，OB＝2，∴OE＝，AE＝3，∵OC＝1，CD∥OB，∴CF＝OE＝，AF＝AE－OC＝2，AF⊥CD，∵點P在CD上，AP＝，∴PF＝＝1，且點P可以在點F左側，也可以在點F右側；當點P在點F左側時，PC＝CF－PF＝－1＜2．5；當點P在點F右側時，PC＝CF＋PF＝＋1＞2．5，舍去；當OP＝時，過P作PH⊥x軸，∴PH＝1，∴OH＝＝2，∴PC＝OH＝2＜2．5；同理當BP＝時，BH＝＝2，∴PC＝OH＝OB－BH＝2－2＜2．5，綜上，PC＝－1或2或2－2，故答案為：－1或2或2－2．4．如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合