數(shù)學(xué)課堂探究：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（第3課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一三角函數(shù)奇偶性的判斷1．判斷函數(shù)奇偶性的常用方法：（1)定義法,即從f（－x）的解析式中拼湊出f(x)的解析式，再看f（－x)＝－f（x）或f（－x)＝f（x)是否成立．（2)圖象法，即作出函數(shù)的圖象，由圖象的對(duì)稱性確定其奇偶性．(3）驗(yàn)證法，即驗(yàn)證f(－x)＋f(x)＝0或f(－x）－f(x)＝0是否成立．此法通常用于函數(shù)是非奇非偶的情形．2．判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，必須先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如果是，再驗(yàn)證f(－x）是否等于－f（x)或f（x)，進(jìn)而再判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．【典型例題1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f(x)＝xsin（π＋x)；(2)f(x)＝;(3)f(x）＝sinxsin。思路分析：先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（－x)與f(x)的關(guān)系，進(jìn)而可確定函數(shù)的奇偶性．解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，∵f(x)＝xsin（π＋x）＝－xsinx,∴f（－x）＝－(－x)sin(－x）＝－xsinx＝f（x)．∴f（x）為偶函數(shù)．(2)f(x）有意義時(shí)，sinx＋1≠0，∴sinx≠－1.∴x≠2kπ－，k∈Z?！鄁(x）的定義域?yàn)?∴f（x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(3）f(x)的定義域?yàn)镽，由已知可得f（x)＝sinxcosx，∴f(－x)＝sin（－x）cos（－x)＝－sinxcosx＝－f（x）．∴f（x)是奇函數(shù)．探究二正、余弦函數(shù)的單調(diào)性1．求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或函數(shù)y＝Acos（ωx＋φ)（A,ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0)單調(diào)區(qū)間的方法:運(yùn)用整體變量代換法，即將比較復(fù)雜的三角函數(shù)符號(hào)后的整體當(dāng)作一個(gè)角u,利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性求所要求的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但要注意A,ω的符號(hào)對(duì)單調(diào)性的影響．A>0與A<0時(shí)，單調(diào)區(qū)間相反，當(dāng)ω<0時(shí),先用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正．例如：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ）(A〉0,ω〉0)的單調(diào)遞增區(qū)間、遞減區(qū)間分別由以下不等式確定：－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z),＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z）．2．比較三角函數(shù)值的大小時(shí)：(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)；(2)利用誘導(dǎo)公式化為同一單調(diào)區(qū)間；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。镜湫屠}2】（1)函數(shù)y＝2sin的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．(2）已知a＝sin，b＝sin，則a,b的大小關(guān)系是__________．解析：（1）∵y＝2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z。令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋,k∈Z.∴所求的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z。（2)a＝－sin＝－sin＝sin。b＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝sin?！?〈<〈，y＝sinx在上是增函數(shù)，∴sin>sin.∴a>b.答案：（1)，k∈Z（2)a〉b探究三三角函數(shù)的值域(最值）三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解方法(1）y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0），利用換元思想設(shè)t＝sinx,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要根據(jù)定義域來(lái)確定．（2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ）的范圍，最后得最值．【典型例題3】(1）函數(shù)f(x)＝2sin－1，x∈的值域?yàn)開_________．當(dāng)x＝__________時(shí),f（x）取最小值，當(dāng)x＝__________時(shí)，f（x）取最大值．(2)函數(shù)f（x)＝2cos2x－4cosx＋1，x∈R的值域?yàn)開_________；且當(dāng)f（x）取最大值時(shí)，x的取值集合是__________．思路分析:(1)先利用x∈求出x＋的范圍，再將x＋看成整體利用正弦函數(shù)圖象性質(zhì)求得．(2）把cosx看成一個(gè)整體，利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域．解析:（1)∵－≤x≤,∴－≤x＋≤.∴由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)得，當(dāng)x＋＝－，即x＝－時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,6）))取最小值－eq\f（1，2），∴f（x)的最小值為－2。當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f(π，6)）)取最大值1，∴f（x)的最大值為1.當(dāng)x∈時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋郏?，1]．(2)f（x)＝2cos2x－4cosx＋1＝2（cos2x－2cosx）＋1＝2（cosx－1)2－1,設(shè)t＝cosx，∴y＝2（t－1)2－1,且圖象開口向上,對(duì)稱軸為t＝1?！撸?≤cosx≤1，∴－1≤t≤1。則當(dāng)t∈［－1，1］時(shí)，函數(shù)y＝2（t－1)2－1單調(diào)遞減．∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymax＝7，當(dāng)t＝1時(shí)，ymin＝－1.∴f（x)的值域?yàn)椋郏?,7］，且cosx＝－1，即x＝2kπ＋π,k∈Z時(shí)，f（x)取最大值．∴f(x）取最大值時(shí),x的取值集合為｛x|x＝2kπ＋π，k∈Z｝．答案：(1）[－2,1］－（2)[－1，7]｛x|x＝2kπ＋π，k∈Z｝探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：忽視x的系數(shù)是負(fù)數(shù)【典型例題4】求y＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，3)－x））的單調(diào)遞增區(qū)間．錯(cuò)解：令－x＝t，∵y＝sint的遞增區(qū)間為（k∈Z),令2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z），解得－2kπ－≤x≤－2kπ＋eq\f（5π,6）（k∈Z),即2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z),∴y＝sin的單調(diào)遞增區(qū)間為（k∈Z）．錯(cuò)因分析：在－x中，x的系數(shù)－1是負(fù)數(shù)，應(yīng)整體代入正弦函數(shù)的單調(diào)