2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析6.1不等式的性質(zhì)及一元二次不等式文含解析北師大版

PAGE8-不等式的性質(zhì)及一元二次不等式核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一比較大小與不等式的性質(zhì)

1.(2024·泉州模擬)若a>b>c,ac<0,則下列不等式肯定成立的是 ()A.ab>0 B.bc<0C.ab>ac D.b(a-c)>02.若a=20192022×20222019,b=20192019×20242022,則ab(用“>,<”填空).

3.設(shè)m=e43+1e44+1,n=e42+1e43+1,【解析】1.選C.因?yàn)閍>b>c,ac<0,所以a>0,c<0,b的符號(hào)不確定,故A,B,D不正確,C中,a>0,故ab>ac,正確.2.ab=20192答案:<3.m-n=e43+1e44+1-e答案:<1.用同向不等式求差范圍的技巧a<x<b這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)常常用到.2.比較大小的三種常用方法(1)作差法:干脆作差推斷正負(fù)即可.(2)作商法:干脆作商與1的大小比較,留意兩式的符號(hào).(3)函數(shù)的單調(diào)性法:把比較的兩個(gè)數(shù)看成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值,依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較.【秒殺絕技】1.特別值解除法解T1,取條件范圍內(nèi)的特別值代入解除不成立的選項(xiàng),即可得出正確選項(xiàng).2.轉(zhuǎn)化法解T3,比較大小時(shí)可以結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,依據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex+1考點(diǎn)二一元二次不等式的解法

【典例】1.(2024·牡丹江模擬)不等式x(2-x)<0的解集是 ()A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是-∞,-13∪12,+∞,則不等式cxA.-12,C.[-2,3] D.[-3,2]3.設(shè)a>1,則關(guān)于x的不等式(1-a)(x-a)x-1a<0的解集是【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由不等式想到x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)后解不等式2由不等式的解集想到對(duì)應(yīng)方程的根、根與系數(shù)的關(guān)系求系數(shù)3由不等式想到不等式變形、求根、根的大小寫解集【解析】1.選D.因?yàn)閤(2-x)<0,所以x(x-2)>0,所以x>2或x<0,所以不等式的解集為(-∞,0)∪(2,+∞).2.選C.不等式的解集是-∞,-13∪所以-13和12是方程ax2+2x+c=0由-13+故不等式cx2-2x+a≤0,即2x2-2x-12≤0,即x2-x-6≤0,解得-2≤x≤3,所以所求不等式的解集是[-2,3].3.因?yàn)閍>1時(shí),1-a<0,且a>1a則關(guān)于x的不等式可化為(x-a)x-解得x<1a或所以不等式的解集為-∞,1a答案:-∞,1a1.解不含參數(shù)的一元二次不等式首先將二次項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),若對(duì)應(yīng)的方程有根,求根后依據(jù)圖像寫解集;若無(wú)根,干脆依據(jù)圖像寫解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式(1)先探討二次項(xiàng)系數(shù)為0的狀況,二次項(xiàng)系數(shù)為零時(shí)不等式變?yōu)橐淮尾坏仁交虺?shù)不等式,易得不等式的解集;(2)再探討二次項(xiàng)系數(shù)不為0的狀況,利用“Δ”或“十字相乘法”求根,若有根,則探討根的大小后依據(jù)圖像寫解集;若無(wú)根,則依據(jù)圖像寫解集.1.(2024·西安模擬)不等式ax2+bx+c>0的解集為(-4,1),則不等式b(x2+1)-a(x+3)+c>0的解集為()A.-B.-C.-∞,-43D.(-∞,-1)∪4【解析】選B.因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?-4,1),則不等式對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為-4和1,且a<0;由根與系數(shù)的關(guān)系知,-4+1=-ba所以不等式化為3a(x2+1)-a(x+3)-4a>0,化為3(x2+1)-(x+3)-4<0,即3x2-x-4<0,解得-1<x<43所以該不等式的解集為-12.(2024·撫州模擬)設(shè)m=log0.30.6,n=12log20.6,A.m-n>mn>m+n B.m-n>m+n>mnC.mn>m-n>m+n D.m+n>m-n>mn【解析】選B.因?yàn)閙=log0.30.6>log0.31=0,n=12log20.6<12log2因?yàn)?1n=-2log0.62=log0.60.25>0,1m=log而log0.60.25>log0.60.3,所以-1n>1m>0,因?yàn)?m-n)-(m+n)=-2n>0,所以m-n>m+n,所以m-n>m+n>mn.考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問(wèn)題

命題精解讀1.考什么:(1)求恒成立問(wèn)題中的參數(shù)范圍.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.2.怎么考:與基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)、方程的關(guān)系問(wèn)題.學(xué)霸好方法1.恒成立問(wèn)題的解題思路(1)利用等價(jià)條件干脆求范圍(2)分別參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題(3)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的圖像解題(4)轉(zhuǎn)換變?cè)?利用轉(zhuǎn)化后對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解題2.交匯問(wèn)題:與基本初等函數(shù)的定義域、值域交匯時(shí),借助函數(shù)的性質(zhì)解題.在R上的恒成立問(wèn)題【典例】若關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】設(shè)f(x)=x2-ax-a,則關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為(-∞,+∞)?f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立?Δ=(-a)2-4×1×(-a)=a2+4a<0,解得-4<a<0.答案:(-4,0)在R上的恒成立問(wèn)題列不等式組的依據(jù)是什么?提示:在R上的恒成立,可以依據(jù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像,列出等價(jià)條件求解.給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題【典例】若不等式x2≥m+4x在[0,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.(-∞,-3]∪[0,+∞) B.[-3,+∞)C.[-3,0] D.(-∞,-3]【解析】選D.因?yàn)椴坏仁絰2≥m+4x,x∈[0,1]恒成立,所以只需m≤(x2-4x)min,x∈[0,1],令f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈[0,1],所以f(x)min=f(1)=-3,所以m≤-3.定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題如何解?提示:將參數(shù)分別出來(lái)后,轉(zhuǎn)化為求另一側(cè)函數(shù)的最值,是求參數(shù)范圍的常用方法.給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題【典例】(2024·六安模擬)若不等式x2+px>4x+p-3,當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立,則x的取值范圍是 ()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.[-1,3] B.(-∞,-1]C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)【解析】選D.方法一:特別值法:當(dāng)x=-1時(shí),由x2+px>4x+p-3,得p<4,故x=-1不符合條件,解除A,B;當(dāng)x=3時(shí),由x2+px>4x+p-3,得p>0,故x=3不符合條件,解除C;方法二:轉(zhuǎn)換變?cè)?不等式變?yōu)閤-1p+x2-4x+3>0,當(dāng)0≤p≤4所以x2-4解得x<-1或x>3.1.在R上定義運(yùn)算a※b=(a+1)b,若存在x∈[1,2]使不等式(m-x)※(m+x)<4成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 ()A.(-3,2) B.(-1,2)C.(-2,2) D.(1,2)2.已知關(guān)于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】1.選A.由題意知,不等式(m-x)※(m+x)<4化為(m-x+1)(m+x)<4,即m2+m-4<x2-x;設(shè)f(x)=x2-x,x∈[1,2],則f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;令m2+m-4<2,即m2+m-6<0,解得-3<m<2,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-3,2).2.關(guān)于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立,所以二次函數(shù)的圖像與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),所以判別式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a≥54,所以a的取值范圍為5答案:51.關(guān)于x的不等式x2-ax+a+3≥0在區(qū)間[-2,0]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】由題得a≥x2+3x因?yàn)?2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+4x=-1-x+41當(dāng)x=-1時(shí)得到等號(hào).所以a≥-2