2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：特殊的平行四邊形3（解答題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

特殊的平行四邊形（解答題）3

一、解答題

1.（2024北京八一學(xué)校初二下期中）如圖，。為菱形ABC。對角線的交點，DE//AC,CE//BD.

（1）試判斷四邊形OCE。的形狀，并說明理由；

（2）若AC=6,BD=8,求線段OE的長.

2.（2024北京北師大附屬實驗中學(xué)初二下期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AB=AD,對角線

AC,交于點AC平分角/BAD,過點C作交43的延長線于點E,連接OE.

（1）求證：四邊形A3CD是菱形；

（2）若AB=2百80=4,求OE的長.

3.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）下面是證明直角三角形性質(zhì)時的兩種添加輔助線的方法，請選擇其

中二種方造，完成證明.

求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：如圖，在VABC中，NACB=90。，點。是A8的中點.

求證：CD=-AB.

2

A

C

方法一方法二

證明：如圖，延長CD到點E,使得Z）E=CD,連接證明：如圖，取3c的中點E,連接

AE,BE.DE.

4.（2024北京第十二中學(xué)初二下期中）如圖，在正方形ABCE（中，E是邊8C上的一點（不與8,C重

合），點。關(guān)于直AE的對稱點是點產(chǎn)，連接AF,BF,直線AE,BF交于點P,連接。尸.

圖1箸用圖

⑴在圖1中補全圖形，ZAFD________ZBAP（填“>”“=”或，<"）；

⑵猜想上4PB和NDFP的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）用等式表示線段PA,PB,PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

5.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）如圖，正方形ABCZX過點B作射線交D4的延長線于點

P.點A關(guān)于直線5P的對稱點為E,連接BE,AE,CE.其中AE,CE分別與射線3P交于點G,H.

（1）依題意補全圖形；

（2）設(shè)NABP=<z,ZAEB=（用含a的式子表示），ZAEC=°；

⑶若EH=BH,用等式表示線段AE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.（2024北京東直門中學(xué)初二下期中）尺規(guī)作圖：過直線外一點作這條直線的平行線.

已知：如圖，直線/及直線/外一點尸.

求作：直線加，使得加〃/,且直線加經(jīng)過點尸.；

作法：①在直線/上取一點A,連接AP,以點A為圓心，AP的長為半徑畫弧，交直線/于點B；

②分別以點P，點3為圓心，"的長為半徑畫弧，兩弧交于點C（不與點A重合）；

③經(jīng)過P,C兩點作直線機(jī).直線，"就是所求作的直線.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接3C.

四邊形7MBe一是（填“矩形”“菱形”或“正方形”）

（_）（填推理的依據(jù)）.

（_）（填推理的依據(jù)）.

7.（2024北京東直門中學(xué)初二下期中）在正方形ABCZ）中，點E在射線上，點M在BC的延長線上,

CN為/DCM的角平分線，點歹為射線CN上一點，且CE=FE.

（1）如圖，當(dāng)點E在線段2。上時，補全圖形，求證：2/BEC+NCEF=180。；

（2）在（1）的條件下，用等式表示線段CF,DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若AB=4,BE=3DE,直接寫出線段CP的長.

8.（2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計的作菱形的尺規(guī)作圖過程.

已知：四邊形ABC。是平行四邊形.

求作：菱形（點E在8C上，點廠在AO上）.

作法：如圖，

①以A為圓心，A8長為半徑作弧，交AD于點月；

②以B為圓心，A3長為半徑作弧，交BC于點E；

③連接班所以四邊形所為所求的菱形.

（1）根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明.

證明：

VAF^AB,BE=AB,

在平行四邊形ABCD中，AD//BC,

即轉(zhuǎn)〃班，

.??四邊形⑷狙尸為平行四邊形，（）（填推理的依據(jù)）

,/AF=AB,

.??四邊形為菱形.（）（填推理的依據(jù)）

9.（2024北京第八十中學(xué)初二下期中）如圖，在VABC中，/ABC=90。，點。為AC的中點，連接。3,

過點C作CE〃。氏且CE=DB,連接BE,DE.

（1）求證：四邊形3ECD是菱形；

（2）連接AE,當(dāng)/ACB=30。，皿=2時，求4E的長.

10.（2024北京第八十中學(xué)初二下期中）如圖，平行四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點、0,E為OA

的中點.連接DE并延長至點下，使得EF=DE.連接AF,BF.

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2^ZBDA=ZBDC,求證：四邊形AEBO為矩形.

11.（2024北京第十二中學(xué)初二下期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,瓦）交于點O,過點A作

8C的垂線，垂足為點E,延長3C到點F,使CF=BE,連接。尸.

（1）求證：四邊形AEED是矩形；

⑵若AB=13,AC=10,求AE的長.

12.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖，正方形ABCD中，點P是邊C。上的一點（不與點C、。重

合），連接3尸，NPBC=a,。為3尸的中點，過點尸作尸于E,連接EQAE.

（1）依題意補全圖形；

（2）求/POE的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（3）用等式表示線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

13.（2024北京北師大附屬實驗中學(xué)初二下期中）下面是小張同學(xué)設(shè)計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖

過程.

已知：等腰△ABD,AB=AD.

求作：點C,使得四邊形A8C。為菱形.

作法：①作N54D的角平分線AO,交線段9于點。；

②以點。為圓心，4。長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；

③連接BC,DC,所以四邊形A3CD為菱形，點C即為所求.

根據(jù)小張同學(xué)設(shè)計的作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：VAB=AD,AO平分NBA。，

ABO=DO,AOLBD,（_）（填推理的依據(jù)）

VBO=DO,AO=CO,

.??四邊形A5CD為平行四邊形（_）（填推理的依據(jù)）

,/AC-LBD,

.??四邊形ASCD為菱形（_）（填推理的依據(jù)）

14.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,網(wǎng)格的中心

標(biāo)記為點。按要求畫四邊形，使它的四個頂點均落在格點上，且點。為其對角線交點：

n二匚三二彩Q二匚1

圖3

(1)在圖1中畫一個兩邊長分別為6和4的矩形；

(2)在圖2中畫一個平行四邊形，使它有且只有一條對角線與(1)中矩形的對角線相等；

(3)在圖3中畫一個正方形，使它的對角線與(1)中所畫矩形的對角線相等.

15.(2024北京第十二中學(xué)初二下期中)在MABC中，ZBAC=90°,。是2C的中點，E是的中

點，過點A作4/BC交班的延長線于點尸.證明四邊形是菱形

16.(2024北京第一六六中學(xué)初二下期中)如圖，矩形A3CD中，點。是對角線AC的中點，過點。作

EFJ_AC分別交3C,于點E,F,連接AE和CF.

(1)求證：四邊形AEC尸為菱形；

⑵若A8=3,BC=5,求AE的長.

17.(2024北京東城二中初二下期中)如圖，在矩形A3CD中，AC,8。相交于點O,AEBD,

BE//AC.

⑴求證：四邊形A￡B。是菱形；

(2)若AB=OB=4,求四邊形AEB。的面積.

18.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的6x4的網(wǎng)格，點A,8均在

格點上.

圖1圖2

(1)在圖1中畫出以A8為邊且周長為8+2百的平行四邊形ABC。，且點C和點。均在格點上(畫出一個即

可)；

(2)在圖2中畫出以48為對角線的正方形AEBF,且點E和點尸均在格點上.

19.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，。是AB上一點，AD=DC,DE平分NADC

交AC于點E,DF平分/BDC交BC于點F,ZDFC=90。.

(1)求證：四邊形CEO尸是矩形；

⑵若/3=30。，4)=2,連接BE,求BE的長.

20.(2024北京北師大附屬實驗中學(xué)初二下期中)如圖，在cABC￡＞中，DEIAB,點尸在AB的延長線

上，且CF_LAB.

求證：四邊形CD所是矩形.

21.(2024北京H^一實驗中學(xué)初二下期中)如圖，在.ABCD中，AC,BD交于點0,點、E,尸在AC上,

AE=CF.

(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)若NBAC=ZDAC,求證：四邊形EB即是菱形.

22.(2024北京交大附中初二下期中)已知：VA3C為銳角三角形，AB=AC.

求作：菱形ABAC.

作法：如圖，

cc

①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交AC于點交AB于點、N；

②分別以點N為圓心，大于;MN的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點E,作射線AE與

BC交于點O；

③以點。為圓心，以A0長為半徑作弧，與射線AE交于點。，連接CD,BD-,

四邊形A5DC就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）：

（2）完成下面的證明：

證明：A3=AC,AE平分^CAB,

：.C0=.

AO=DO,

四邊形A2ZJC是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）.

AB=AC,

四邊形A2DC是菱形（）（填推理的依據(jù)）.

23.（2024北京第十四中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計的作矩形A8C。的尺規(guī)作圖過程.

已知：RfAABC中，ZABC=90°.

求作：矩形A8CD

作法：如圖，

1、以點A為圓心，BC長為半徑作??；

2、以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點。（點。與點B在直線AC異側(cè)）；

3、連接AD,CD.

所以四邊形ABCD就是所求作的矩形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明（括號里填推理的依據(jù)）.

證明：-：AB=,BC=,

.,?四邊形ABC。是平行四邊形（）.

又：ZABC=9Q°,

四邊形A3CD是矩形（）.

24.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形A3CD中，AC_LAD,作/EC4=/ACD,

CE交A8于點O,交ZM的延長線于點E,連接BE.

（1）求證：四邊形ACBE是矩形；

（2）連接。D.若AB=4,ZACD=60°,求。。的長.

25.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a,b.

求作：菱形ABCD,使其一條對角線的長等于線段。的長，邊長等于線段b的長.

作法：①作直線機(jī)，在加上截取線段AC=a；

②作線段AC的垂直平分線EF,交線段AC于點O；

③以點A為圓心，線段6的長為半徑畫弧，交直線E尸于點8,D-,

④分別連接AB，BC,CD,DA；

則四邊形ABCD就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

m

（2）完成下面的證明.

證明：垂直平分AC,

.'.AB=_,（_）

,/AB=AD,

：.AB=AD=BC=BD,

四邊形ABC。是菱形.（_）

26.（2024北京H^一實驗中學(xué)初二下期中）如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC的中點，點E,尸在射

線AO上，且DE=DF.

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)若AD=3C=6,AE=BE,求菱形BECP的面積.

27.(2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中)己知：AABC,CD平分

求作：菱形DFCE,使點尸在8C邊上，點E在AC邊上，下面是尺規(guī)作圖過程.

作法：①分別以C、。為圓心，大于:。為半徑作弧，兩弧分別交于點M、N；

2

②作直線MN分別與AC、8C交于點E、F；

③連接。E、DF,DC與所的交點記為點G；

四邊形。尸CE為所求作的菱形.

(1)利用直尺和圓規(guī)依做法補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明.

證明：?:DE=EC,DF=FC,

為。C的垂直平分線.

?：DE=EC,

:./EDC=/ECD.

：.ZECD=ZDCB.

：.ZEDC=ZDCB,

.；〃_()(填推理依據(jù))

同理可證。/〃CE,

；?四邊形DFCE為平行四邊形.

又；_，

.??四邊形。FCE為菱形.

28.(2024北京交大附中初二下期中)已知正方形ABCZ),點E,歹分別在射線2C,射線O)上,

BE=CF,AE與BF交于點,H.

（1）如圖1,當(dāng)點E,尸分別在線段BC,CD上時，求證：AE=BF,且AE_LM；

（2）如圖2,當(dāng)點E在線段2C延長線上時，將線段8E沿砥平移至FG,連接AG.

①依題意將圖2補全；

②用等式表示線段AG,FG和AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

29.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，過點。作。ELA2于點E,點尸在

邊CD上，DF=BE,連接AF,BF.

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分/D48,CF=3,BF=4,求。E長.

30.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計的“作菱形”的尺規(guī)作圖過程：

求作：菱形A3。作法：

①作線段AC；

②作線段AC的垂直平分線/,交AC于點。；

③在直線/上取點8,以。為圓心，。8長為半徑畫弧，交直線/于點。（點8與點。不重合）;

④連接A8、BC、CD、DA,所以四邊形A8C。為所求作的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：：OA=OC,OB=OD,

...四邊形ABC。為菱形（填推理的依據(jù)）.

31.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）下面是小陽設(shè)計的作矩形的尺規(guī)作圖過程.

已知：Rt^ABC,ZABC=90°.

求作：矩形ABCD.

作法：

①以A為圓心，3C的長為半徑畫弧，再以C為圓心，

A8的長為半徑畫弧，兩弧交于點。

②連接D4,DC.

所以四邊形ABC。即為所求作的矩形.

根據(jù)小陽設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：'：AD=BC,CD=AB,

四邊形ABCD是（）.

ZABC=90°,

四邊形ABC。是矩形（）.

32.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）已知：如圖，在等腰AABC中，AB=BC,80平分NABC交AC

于點。，延長80至點。，使00=80,連接ADCD,過點。作。交8C的延長線于點E.

（1）求證：四邊形A8C。是菱形；

（2）如果AB=2,ZBAD=60°,求。E的長.

參考答案

1.（1）矩形，理由見解析

（2）5

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟知矩形的性質(zhì)與判定條件是解題

的關(guān)鍵.

（1）先求出四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直求出OCLOD,然后根據(jù)有一個

角是直角的平行四邊形是矩形解答；

（2）根據(jù)菱形的對角線互相平分求出OC、OD,再根據(jù)勾股定理列式求出C。，然后根據(jù)矩形的對角線相

等求解.

【詳解】（1）解:四邊形OCED是矩形.理由如下：

DE//AC,CE//BD,

.??四邊形OCED是平行四邊形，

???四邊形ASCD是菱形，

ACJ.BD,即OC_LOD

四邊形OCEZ）是矩形；

（2）解：在菱形ABCD中，VAC=6,BD=8,

0C」AC=3,0D=-BD=4,

22

CD=^OC-+OD1=5-

二在矩形OCED中，OE=CD=5.

2.（1）見解析

（2）OE=4

【分析】（1）利用平行線和角的平分線，證明AD=CD,繼而判斷四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合

AB=AD得證；

（2）利用勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，計算即可.

【詳解】（1）證明：：ABDC,

：./OAB=ZDCA,

,/AC平分

ZOAB^ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD^AB,

ABDC,

四邊形ABC。是平行四邊形，

,/AB=AD,

二?四邊形ABCD是菱形；

（2）解：,??四邊形ABC。是菱形，

:.OA=OC,BD±AC,

,：CE1AB,

：.OE=OA=OC,

,/BD=4,

OB=-BD=2,

2

在RtAOB中，AB=2底03=2,

「?OA=yjAB2-OB2=7202-22=4^

???OE=OA=4.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.見解析

【分析】方法一：證明四邊形ACDE為矩形，即可得證；方法二：利用是三角形的中位線定理，推出。石

是5C的中垂線，即可得證.

【詳解】證明：（法一）丁點。是的中點，

:.AD=BD.

?；DE=CD,

???四邊形ACBE是平行四邊形.

ZACB=90°,

???ACRE是矩形.

AB=CE.

*：CD=-CE,

2

CD=-AB.

2

（法二）???點。是A5的中點，

:.AD=BD.

,?,點E是5C的中點，

:.CE=BE.

：.DE//AC.

:?ZDEB=ZACB,

ZACB=9Q0,

：./DEB=90。.

是5C的垂直平分線.

:.CD=DB.

,/BD=-AB,

2

Z.CD=-AB.

2

【點睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理以及中垂線的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟練

掌握相關(guān)判定和性質(zhì).

4.(1)補全圖形見解析，=

(2)NDEP=NAPB,證明見解析

(3)應(yīng)PA=PF+PB,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)即可求解；

(2)先證明==得到=再由三角形外角的性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論即可得到結(jié)論；

(3)如圖，過點A作AQLA尸，與射線尸。交于點°,證明△AP。為等腰直角三角形，得到AP=AQ,

PQ=y[2AP.再證明△ABP至△ADQ,再由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：補全圖形如圖所示；

:點。、/關(guān)于AE對稱，

ZAFD=ZADF,AE±FD,

,在正方形ABCD中，NBA。=90。，

ZBAP+ZDAP=90°=ZDAP+ZADF,

/.ZBAP=ZADF,

：.ZAFD=ZBAP,

故答案為：=;

(2)解：ZDFP=ZAPB,證明如下：

由(1)可知N/aD=NBAP,

???四邊形A5CD是正方形，

/.AB=AD,

由軸對稱的性質(zhì)可得AF=AD,

/.AF=AD=AB,

：.ZAFB=ZABF.

又,：ZAFB=ZAFD+/DFP,ZABF=ZBAP+ZAPB,ZAFD=ZBAP,

：.ZDFP=ZAPB.

（3）解：及PA=PF+PB,證明如下：

如圖，過點A作AQLAP,與射線P￡）交于點Q.

AP±DF,ZAPB=ZDFP,

ZAPS=45°,

由對稱性可知NAP。=ZAPF=45°,

又?:AQ^AP,

???△APQ為等腰直角三角形.

AP=AQ,PQ=72AP.

,/ZBAD=ZPAQ^90°,

；.ZBAP=ZDAQ,

?：AB-AD,AP^AQ,

：.A4B-1T）Q（SAS）.

BP=DQ.

,:PQ=PD+DQ,PF=PD,

''y/2PA=PF+PB.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理等等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.⑴見解析

（2）90°-?,45

（3）￡C=（V2+1）AE,理由見解析

【分析】（1）根據(jù)題意補全圖形即可；

（2）首先根據(jù)題意得到3P垂直平分AE,然后利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求解即可；

（3）過點￡作四，8€;交CB的延長線于點首先得到是等腰直角三角形，然后設(shè)

EG=HG=AG=a,則=AE=2.a,根據(jù)勾股定理表示出BC=BE=J=\j4+26a，

然后證明出△EMB是等腰直角三角形，利用勾股定理得到EC=1ME?+MC?=（2夜+2）a,進(jìn)而求解即

可.

(2)??,點A關(guān)于直線的的對稱點為E,

BP垂直平分AE

ABE=AB,AELBP

JZAEB=ZBAE=90°-a；

：.ZEBG=ZABP=a

：.NEBC=/EBP+ZABP+ZABC=2a+90。

???四邊形ABC。是正方形

：.AB=BC

*.*BE=AB

：.BE=BC

/BEC=/BCE=；(180°-/EBC)=45°

-OL

：.ZAEC=ZAEB-/BEC=45°；

故答案為：90°-?,45；

(3)如圖所示，過點E作ENLBC交CB的延長線于點M,

VZA￡H=45°,/EG"=45°

NEHG=45。

“EHG是等腰直角三角形

設(shè)EG=HG=AG=a,則EH=y/2aAE=2a

EH=BH=y[2a

GB=GH+BH=a+s/2a

BE=y/EG2+BG2="+20a

3c=BE="+2夜。

,ZEHG=45°,EH=BH

ZHBE=ZHEB=-ZEHG=22.5°

2

，ZABG=ZEBG=22.5°

：.NABEH5。

：.ZMBE=45°

?/EM±BC

：.ZMEB=45。

，是等腰直角三角形

/.EM=BM=^-BE=也+忘a

MC=BM+BC=++“+2忘a

EC=ylME2+MC2=（2A/2+2）a

AE=2a

：.EC=(應(yīng)+1)AE.

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握以上知識點.

6.(1)見解析

(2)AB；PC；BC；菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；菱形的對邊平行；見解析

【詳解】(1)如圖，直線m即為所求作；

(2)證明：連接BC,

AP=AB=PC=BC,

...四邊形R4BC是菱形.(四條邊相等的四邊形是菱形).

：.m//l(菱形的對邊平行).

故答案為：AB；PC；BC-,菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；菱形的對邊平行.

【點睛】本題主要考查了作平行線，菱形的判定與性質(zhì)，正確作出平行線是解答本題的關(guān)鍵.

7.(1)畫圖見解析，證明見解析

(2)BE=CF+DE,證明見解析

0)CF=2也或CF=8五

【分析】(1)先根據(jù)題意作圖，由正方形的性質(zhì)可得NOBC=45。，/BCD=NDCM=9U°,再由角平分線

的定義可得NFQ0=45O=NO3C,由此證明B。C尸得到/3EC=/ECF,再由三角形內(nèi)角和定理和等

邊對等角得到2NECF+ZCEF=180°,則2NBEC+ZCEF=180°

(2)如圖所示，在8。上截取3〃=CF,連接8、DF,證明△CB8四△DCF,得到CH=O尸，

ZCHB=ZDFC,再證明四△FED,得到”E=DE,即可得到3E=CF+DE；

(3)分圖3-1和圖3-2兩種情況，通過證明CP,DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

.四邊形ABC。是正方形，

ZDBC=45°,/BCD=NDCM=90°,

???CN為ZDCM的角平分線，

ZFCM=-ZDCM=45°,

2

ZFCM=ZDBC,

：.BDCF,

NBEC=NECF,

'：CE=FE,

：.ZECF=ZEFC,

,?ZECF+ZEFC+ZCEF=180°,

2ZECF+ZCEF=180°,

如圖所示，在80上截取3H=CF,連接CH、DF,

???CN為NDCM的角平分線，

/.ZDCF=-ZDCM=45°,

2

?..四邊形是正方形，

ZDBC=45°,BC=CD,

：.ZCBH=ZDCF,

：.ACBH^ADCF(SAS),

CH=DF,NCHB=ZDFC,

CF//BD,

：.ZBDF+ZDFC^180°,

ZDHC+ZBHC=180°,

:./EHC=/EDF,

V2ZBEC+ACEF=180°,ABEC+ACEF+ZDEF=180°,

:./CEH=/FED,

：.也△FED(AAS),

HE=DE,

*.*BE=BH+HE,

:.BE=CF+DE；

(3)解：如圖3-1所示，當(dāng)點E在5。上時,

???在正方形A5CD中，45=4,

：?BC=CD=4,ZBCD=90°f

?*-BD=y]BC2+CD2=472，

,:BE=3DE,

：.BE=-BD=3y/2,DE=-BD=42,

44

由(2)的結(jié)論可知座=。尸+。石，

如圖3-2所示，當(dāng)點E在BO延長線上時，

在射線上截取B"=CF,連接C"、DF,

同理可證明ACBH烏ADCF,

:?CH=DF,NCHB=NDFC,

,:CF〃BD,

:?NFDE=NCFD,NDEC=NECF,ZHEF=ZEFC

：.NFDE=NCHE；

■:EC=EF,

ZECF=ZEFC,

：./DEC=/HEF,

：.ZDEF=ZHEC

：.ADEF/△HEC(AAS),

HE=DE,

"：BH=BE+EH,

CF=BE+DE,

BE=3DE,BD=4插,

BE=6A/2,DE=2A/2,

CF=8叵;

綜上所述，CF=2近或CF=8五.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等邊對等角，平行線的性

質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意直接作圖即可；

(2)由作圖可得=結(jié)合平行四邊形的對邊平行，可得四邊形AB昉為平行四邊形，再根據(jù)一組鄰

邊相等的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)

\FD

(2)VAF=AB,BE=AB,

：.AF=BE,

在平行四邊形ABCZ)中，AD//BC,

即轉(zhuǎn)〃班，

.??四邊形⑷狙尸為平行四邊形，（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

,/AF=AB,

.??四邊形⑷洱尸為菱形.（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定以及基本作圖，正確理解題意、熟知菱形的判定方法

是解題的關(guān)鍵.

9.（1）證明見解析；

⑵動

【分析】（1）先證明四邊形BECD是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到

BD=CD,即可證明四邊形BEC。是菱形；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明四邊形ADE3是平行四邊形，再根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊一半，推

出進(jìn)而證明四邊形ADE3是菱形，然后利用勾股定理，求得的長，即可求出AE的長.

【詳解】（1）證明：CE//DB,CE=DB,

，四邊形BECD是平行四邊形，

.,在VABC中，/ABC=90。，點。為AC的中點，

:.BD=AD=CD=-AC,

2

.??四邊形3ECD是菱形；

（2）解：四邊形3ECD是菱形，

\CD//BE,BCLDE,

:.AD//BE,

AB±BC,

:.DE//AB,

，四邊形是平行四邊形，

ZACB=30°,AB=2,

二.AC=4,

AD=BD=—AC=2,

2

.\AD=AB,

二?四邊形是菱形，

/.AE±BD,OB=^-BD=1,OA=^-AE,

22

在RtZkAO5中，OA=1AB2-OB2二百，

.-.AE=2OA=2^/3.

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的特征，勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定和性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)證明OE為ADEB的中位線，則OE〃五8,S.OE=-BF,又OE=』AO,貝!J

22

OA=BF,OA//BF,即可得證；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃3C,則/AZ)3=/Z)3C,根據(jù)已知的NCBZ)=NCDB,可得

CB=CD,則四邊形ABCD是菱形，可得N8Q4=90。，結(jié)合(1)的結(jié)論，即可得證.

【詳解】(1)證明：???平行四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點、0,

：.BO=DO,

又EF=DE,

/.OE為ADFB的中位線，

OE//FB,S.OE=-BF,

2

又E為。4的中點，

/.OE=-AO,

2

：.OA=BF,OA//BF,

/.四邊形AFBO為平行四邊形；

(2):平行四邊形ABC。，

AD//BC,

：.ZADB=/DBC,

'：ZBDA=ZBDC,

：.ZCBD=ZCDB,

：.CB=CD,

平行四邊形ABCD是菱形，

ACJ.BD,

：.ZBOA=90°,

平行四邊形AKBO是矩形.

【點睛】本題考查了中位線的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，熟練掌

握特殊四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

11.(1)見解析

⑵AE金

【分析】(1)證明S.AD=BC,BC=EF,可得=證明四邊形AEFD是平行四邊

形，結(jié)合AE_LBC,可得結(jié)論；

(2)證明AC23D,AO=CO=5,BC=AB=13,可得S四邊形ABCD=8C?AE,求解

BO=AO?=而==%，可得比>=230=24,結(jié)合S四邊形=JA。瓦)=AE，再求解即

可.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是菱形，

AD//BC,S.AD=BC,

'：BE=CF,

：.BE+CE^CF+CE,

即3C=￡F,

/.AD=EF,

,/AD//EF,

，四邊形AEFD是平行四邊形，

?/AE±BC,

，四邊形AEFD是矩形.

(2):四邊形ABCD是菱形，

ACJ.BD,AO=CO=5,BC=AB=13,

'：AEYBC,

S四邊形ABCD=BC?AE,

在RtAABO中，由勾股定理可得：；.30=7AB2-A02=7132-52=12>

BD=2BO=24,

,-SmABCD=^AC-BD=BC-AE,

/.-xl0x24-13-AE,

2

.?.A*.

13

【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)

是解本題的關(guān)鍵.

12.⑴見解析

(2)90。-22

(3)AE=—BP,證明見解析

2

【分析】(1)根據(jù)題意補全圖形即可；

(2)首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/P3E=NCBD-NCBP=45。-],然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半得到OE=OB=OP=』2P,進(jìn)而可得到/POE=NO￡B+O3E=2/PBE=90O—2(z；

2

(3)連接OC,EC,首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC=OP=03=；BP,然后

證明出△EOC是等腰直角三角形，得到EC=&)C也BP,然后根據(jù)正方形的對稱性得到他=CE,

2

即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)如圖所示，

(2):四邊形A3C￡＞是正方形，

AZC=90°,CD=BC,

ZCBD=45°,

NPBE=NCBD-ZCBP=45°-a,

'：PELBD,。為BP的中點，

/.OE=OB=OP=-BP,

2

Z.OEB=NOBE,

：.ZPOE=NOEB+OBE=2NPBE=90°-2a；

(3)如圖所示，連接OC,EC,

VZBCD=90°,。為3尸的中點,

OC=OP=OB=-BP,

2

,/OE=-BP,

2

OC=OE,

,：ZPBC=a,

：.APOC^Za,

：.AEOC=/POE+ZPOC=90°,

△EOC是等腰直角三角形，

/.EC=y/2OC=—BP,

2

是正方形A2CD的對角線，

AE=CE,

：.AE=—BP.

2

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握以上知識點.

13.⑴見解析

（2）三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【分析】（1）按照題意進(jìn)行作圖即可；

（2）先由三線合一定理得到30=DO,AO1BD,再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理證明即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

B

（2）證明：=A0平分/54￡）,

BO=DO,AO1BD,（三線合一定理）

VBO=DO,AO=CO,

四邊形ABC。為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

ACJ.BD,

.??四邊形A5CD為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

故答案為：三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈

活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

14.⑴見解析

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點，矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，固定。點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，作出點AC,順次連接即可得到結(jié)論;

（3）固定。點，根據(jù)網(wǎng)格的特點，勾股定理正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,矩形ASCD即為所求；

BD=742+62=2-J13

圖1

（2）解：如圖2,平行四邊形A3。即為所求;

圖2

（3）解：如圖3,正方形ABCD即為所求.

AB=BC=CD=>/26,S.BC2+CD2=BD2

則正方形4?。即為所求.

【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出

圖形是解題的關(guān)鍵.

15.見解析

【分析】根據(jù)E是AD的中點，AFBC,易證得三△DBE,即可得AF=BD,又由在處ABC

中，NB4c=90。，。是2C的中點，o!^AD=BD=CD=AF,證得四邊形APC廠是平行四邊形，繼而判

定四邊形ADb是菱形。

【詳解】證明：如圖，

AF

AFBC,

:.ZAFE=ZDBE,

E是AD的中點，是BC邊上的中線,

:.AE=DE,BD=CD,

在ZvlFE和DBE中,

ZAFE=ZDBE

<NFEA=ABED,

AE=DE

:._AFE三-DBE(A4S),

AF=DB,

QDB=DC,

AF=CD,

...四邊形ADCF是平行四邊形，

Q/B4D=90。，。是BC的中點，

AD=DC^-BC,

2

二四邊形AZXT是菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)圖形求解是關(guān)鍵.

16.(1)見解析

(2)3.4

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP=C尸，AE=CE,OA=OC,然后由四邊形ABC。是矩

形，易證得小。歹義^。?！?則可得A斤CE,繼而證得結(jié)論；

(2)設(shè)AE=CE=尤，貝|BE=5-x,由勾股定理得32+(5-x)2=/,求解即可.

【詳解】(1)證明：：點。是AC的中點，EFLAC,

是AC的垂直平分線，

：.FA=FC,EA=EC,OA=OC.

:四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZFAO^ZECO.

在AAOP和ACOE中，

'NFAO=NECO

?：\OA=OC,

ZAOF=ZCOE^90°

：.△AO金△COE(ASA),

：.FA=EC,

；.AE=EC=CF=M

.??四邊形AECP為菱形.

(2)解：設(shè)AE=CE=x,則BE=5—無，

:四邊形ABC。是矩形，

.\ZB=90°.

在RA43E中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2,

即32+(5-x)2=%2,

解得，x=3.4,

即AE=3.4.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，證得△AOPg/XCOE是解題的

關(guān)鍵.

17.(1)見解析

(2)873

【分析】(1)根據(jù)AE//3D,BEIIAC,得出四邊形岫。是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出

AO=BO,從而可證明四邊形AEB。是菱形；

(2)連接EO交48于點尸，由菱形的性質(zhì)得出40=30,AB±EO,EO=2OF,由帥=。3=4,證明

AAB。是等邊三角形，求出AF=2,再由勾股定理求出。歹=2百，進(jìn)而EO=46,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖1,

二四邊形A￡B。是平行四邊形，

四邊形ABC。是矩形，

AO=-AC,BO=~BD,AC=BD,

22

/.AO=BO,

四邊形AEB。是菱形；

(2)解：如圖2,連接E0交A3于點尸,

AB=OB=4,

,.AB=BO=AO=4f

A4BO是等邊三角形,

AF=—AB=—x4=2,

22

:.OF=ylAO2-AF2=V42-22=2也，

￡0=2x26=45

S

-'-*?AEBO=-AB-￡O=-X4X4A/3=8^/3.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形面積公式.

18.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，只要使得AB的鄰邊的長是無理數(shù)百即可；

（2）如圖，取格點￡、F,連接EF則EF與互相垂直平分且相等，根據(jù)正方形的判定方法，則四邊

形AEB尸為所作.

【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所作；

（2）解：如圖，四邊形極/即為所求作的正方形.

【點睛】本題考查了在網(wǎng)格中作特殊四邊形，熟練掌握平行四邊形和正方形的判定方法是準(zhǔn)確作圖的關(guān)

鍵.

19.⑴見解析

Q）屈

【分析】（1）證/即F=90。，ZCED=90°,再由/￡>PC=90。，即可得出結(jié)論；

（2）證△ACD是等邊三角形，得/ACZ）=60。，AC=AD=2,則AE=CE=1,再由勾股定理得。E,然后由三

角形中位線定理得BC=2DE=2也,由勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：證明：平分NAOC,DF平分/BDC,

：.ZADE=ZCDE=-ZADC,ZCDF=-ZBDC,

22

AZCDE+ZCDF=-（ZADC+ZBDC）=-xl80°=90°,

22

BPZEZ)F=90°,

9

：AD=DCf

：.ZDCA=ZDACf

：.ZCED=/AED=-X180°=90°,

2

又：ZDFC=90°,

四邊形CEL不是矩形；

(2)解：由(1)可知，四邊形CEOP是矩形，

ZCED=ZECF=90°,

：.ZA=90o-ZB=90°-30o=60°,DELAC,

'：AD=DC,

：.CE=AE,是等邊三角形，

AZACD=60°,AC=AD=2,

；.AE=CE=1,

-DE=S]AD2-AE2=V3，

ZDCB=ZECF-ZACD=90°-60o=30°,

ZDCB=ZB,

：.DB=DC=AD,

.??■DE是AABC的中位線，

：.BC=2DE=243,

在RfABCE中,由勾股定理得：BEKCELBCZ=屈，

即BE的長為而.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知

識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.見詳解

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，得到AB〃CD,結(jié)合OE//CF,DE±AB,即可得到結(jié)論成立.

【詳解】解：在ABC。中，有ABIICD,

VDE.LAB,CF1AB,

：.DE//CF,

；?四邊形DEFC是平行四邊形，

,/DEJ.AB,

四邊形CD歷是矩形.

【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)

進(jìn)行證明.

21.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先根據(jù)四邊形A8C。為平行四邊形，得出AO=CO,BO=DO,再根據(jù)=得出

EO=FO,即可證明結(jié)論；

(2)先證明"C4=NA4C,得出八4=OC,證明四邊形ABCD為菱形，得出ACSBD,即可證明結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：二?四邊形A8C。為平行四邊形，

AO=CO,BO=DO,

,/AE=CF,

：.AO-AE^CO-CF,

即EO=FO,

???四邊形EBFD是平行四邊形.

(2):四邊形ABC。為平行四邊形，

AB//CD,

：.ZDCA^ZBAC,

?/ABAC=ADAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

四邊形ABC。為菱形，

ACJ.BD,

即EF_L5D,

???四邊形是平行四邊形，

二四邊形旗ED是菱形.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和

平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

22.(1)圖見解析

(2)08,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

【分析】(1)根據(jù)所給幾何語言畫出對應(yīng)的圖形即可；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO=OB,再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定解答即可.

【詳解】(1)解：如圖，菱形A8DC即為所求作；

(2)證明：VAB=AC,AE平分/CAB

CO=OB.

AO^DO,

.?.四邊形ABAC是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

AB=AC,

，四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

故答案為：。8,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

【點睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定，熟練

掌握基本尺規(guī)作圖的方法步驟，熟知平行四邊形的判定和菱形的判定是解答的關(guān)鍵.

23.（1）見解析

（2）CD,AD,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，四邊形ABC。即為所求.

（2）證明：\'AB=CD,AD=BC,

四邊形ABC。是