2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（三）（新高考新題型專用）含答案解析

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略（新高考新題型專用）含答案解析

復(fù)數(shù)（選填題）

考情分析

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)

①共軌復(fù)數(shù)的表示

2021年I卷2復(fù)數(shù)

②復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

①復(fù)數(shù)分式的化解

2021年n卷1復(fù)數(shù)

②標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限

①共軌復(fù)數(shù)的表示

2022年I卷2復(fù)數(shù)

②復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

2022年II卷2復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

①共軌復(fù)數(shù)的表示

2023年新高考12復(fù)數(shù)

②復(fù)數(shù)分式的化解

①標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限

2023年新高考21復(fù)數(shù)

②復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

近三年，復(fù)數(shù)在選填中占據(jù)一個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來說是:

1、復(fù)數(shù)的概念（①虛部的探究②復(fù)數(shù)相等求參及范圍問題③復(fù)數(shù)的幾何意義象限問題④復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)

用）

2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（①復(fù)數(shù)形式的加、減運(yùn)算②復(fù)數(shù)模最值問題秒殺③復(fù)數(shù)形式的乘除法運(yùn)算（分?jǐn)?shù)形式

秒化解）④復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（結(jié)論））

題干的設(shè)置一般來說在上述的兩項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)。復(fù)數(shù)需要認(rèn)真分析，明確復(fù)數(shù)是一類重要的運(yùn)算

對(duì)象，即一對(duì)有序?qū)崝?shù)，復(fù)數(shù)有三種表達(dá)形式，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一對(duì)應(yīng)，計(jì)算時(shí)注意虛部的正負(fù)以

及分式形式模長的快速求算，此類題目需要一定的基礎(chǔ)和秒殺技巧便可輕松搞定。

高考預(yù)測(cè)

復(fù)數(shù)在2024新高考新題型中的考查形式依然以選擇或者填空為主，以考查基本概念和核心方法為主,

復(fù)數(shù)在選填中偏重于多選，抽象復(fù)數(shù)需要設(shè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)格式參與求算，考生可適當(dāng)留意常見的復(fù)數(shù)乘積組合

形式，切記復(fù)數(shù)不能比較大小.

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J/應(yīng)試必備

一、虛部的探究

I：虛數(shù)單位，

數(shù)，叫做虛數(shù)單位，它的平方等于-1,即『=一1.

注意：7,是T的一個(gè)平方根，即方程，=-1的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是T；

II：復(fù)數(shù)的擷念

形如a+6i(a,6eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作:z=a+bi(a,beR)；

其中：a叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫復(fù)數(shù)的虛部，，是虛數(shù)單位.

III：復(fù)數(shù)的分類(純虛數(shù)及純實(shí)數(shù))

對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)

若6=0,則a+6i為實(shí)數(shù)，若630,則a+6,為虛數(shù)，若a=0且6片0,則a+6,為純虛數(shù).

實(shí)數(shù)0=0)

分類如下：z=a+bi(a,beR)<\當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)

頭’=1當(dāng)aw0時(shí)為非純虛數(shù)

II

IV：共粗復(fù)數(shù)：

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共輾復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共

輾復(fù)數(shù)也叫做共輾虛數(shù).通常記復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)為相

形如：z=a+bi^>z=a-bi

二、復(fù)數(shù)相等求參及范圍問題

I：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即：

\a=c

a+bi=c+di^<

b=d

特另地U：a+bi=Qoa=b=0.

①根據(jù)復(fù)數(shù)。+方與c+由相等的定義，可知在a=c,b=d兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么就有

a+bic+di(a>b,c,d&R).

②一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大??；也

只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.

II:復(fù)數(shù)相等問題的解題策略

①必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.

②根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題.

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③如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.

三、復(fù)數(shù)的幾何意義象限問題

復(fù)數(shù)的幾何意義

I:復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：

如圖所示，復(fù)數(shù)z=a+6i(a,beR)可用點(diǎn)Z(a,6)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做

復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸

Q'..............."

:X

~0L

注意：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).

H：復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，

有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).

故2=a+沅=>\a,b)

四、復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用

I：復(fù)數(shù)的模

設(shè)OZ=a+bi(a,bwR),則向量OZ的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+6/,的模，記作|a+6i|.

\z\=\OZ|=A/G2+b2>0

II：計(jì)算模長的步驟：

第一步：根據(jù)題干已知條件將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式2=。+萬

第二步：標(biāo)出坐標(biāo)形式(模長即為坐標(biāo)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離)

第三步：勾股定理

五：復(fù)數(shù)形式的加、減運(yùn)算

I：復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則：

設(shè)Zi=〃+6i,z2=c+di(a,b,c,dG7?),我們規(guī)定：

Zj+z2=(tz+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+d)i

z2-zx=(c-Q)+(d—b)i

注意：復(fù)數(shù)加法中的規(guī)定是實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加，減法同樣.很明顯，

兩個(gè)復(fù)數(shù)的和(差)仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加(減)法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)的情形.

II：復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算律：

交換律：+z2=z2+Zj

結(jié)合律：(z1+z2)+Z3=4+(z2+z3)

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技巧：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加

法的逆運(yùn)算.當(dāng)多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減).

復(fù)數(shù)模最值問題秒殺

I：工具

如果復(fù)數(shù)Zj、Z2分別對(duì)應(yīng)于向量麗、漉，那么以O(shè)耳、。鳥為兩邊作平行四邊形。6織，對(duì)角線OS

表示的向量漏就是Z1+Z2的和所對(duì)應(yīng)的向量.對(duì)角線g耳表示的向量函就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的差4-Z2所對(duì)應(yīng)

的向量.

設(shè)復(fù)數(shù)4=。+加，z2=c+di,在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為西、區(qū)，即西、區(qū)的坐標(biāo)形式為

西=伍,6),西=(c,d).以西、區(qū)為鄰邊作平行四邊形O4ZZ”則對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量是無，

由于應(yīng)=西+區(qū)=(a,6)+(c,/)=(a+c,6+d),所以西和區(qū)的和就是與復(fù)數(shù)(。+c)+(6+d)，對(duì)

應(yīng)的向量.

n秒殺：匕-z?|表示復(fù)平面內(nèi)工,4對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面

內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.

復(fù)數(shù)形式的乘除法運(yùn)算(分?jǐn)?shù)形式秒化解)

I：乘法運(yùn)算法則：

設(shè)Z]=a+6i,z2=c+di(a,b,c,de7?)，我們規(guī)定：

4?z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i

(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,6GR).

(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bGR).

(l±z)2=±2z.

II：乘法運(yùn)算律：

⑴交換律：^I(^2Z3)=(Z1Z2)Z3

(2)結(jié)合律：Zj(Z2+Z3)=Z1Z2+2^3

+zz

(3)分配律：Zj(z2+^3)=^^2i3

HI：分式形式秒化解：

z.a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.

-__i

2222

z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+(7

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口訣：分子分別為（豎x相加，交叉之差）

常用公式需記憶①！=-i；②3=i；③”=

i1-i1+z

IV：①兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的解題步驟：

第一步：首先按多項(xiàng)式的乘法展開.

第二步：再將i?換成T.

第三步：然后再講行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)稹.

②兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟

第一步：首先將除式寫為分式.

第二步：再將分子、分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù).

第三步：然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（結(jié)論）

結(jié)論：當(dāng)一元二次方程中A<0時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩根且互為共物復(fù)數(shù).

形如：ax2++c=0n在A<0前提下兩根分別為然后利用韋達(dá)定理

&cm-ni

正規(guī)方法：已知一元二次方程根時(shí)，需要將根帶入一元二次方程，利用復(fù)數(shù)相等求解參數(shù)

^真題回眸

1-1_

典例112023新高考1卷】已知z=-------,則z—z二（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

l-i(l-i)(l-i)-2i1.-1_

【解析】因?yàn)閦==—1，所以即z-z=-i?

2+2i_2(l+i)(l-i)42

故選：A.

典例2【2023新高考全國II卷】在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

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【解析】因?yàn)椋?+30（3—i）=3+8i—3i，=6+8i,

1則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（6,8）,位于第一象限.

i故選：A.

典例3【2022新高考全國I卷】若i(l-2)=1,則z+亍=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

?----------------------------------------------------------------------------------

ii

【解析】由題設(shè)有1—z=-=F=—i,故Z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l-i)=2,

11

i故選：D

’飛原4一12022-新高*荃曲1普】…理二藝)(匚茹=(一一一)-

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

1【解析】?2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i-6-2i,

!故選：D.

典例5【2021新高考全國I卷】已知z=2-i，則z(彳+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

預(yù)測(cè)1（2024?廣東韶關(guān)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z/2,則下列命題正確的是（）

A.若㈤=卜|,則Z]=±z?B.若Z]=Z2,則匕聞=上『

ZZK

C.若句是非零復(fù)數(shù)，且；=，則4=z2D.若4是非零復(fù)數(shù)，則2]+二2°

Z1

預(yù)測(cè)2（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程/+比+1=0（-2</<2）的兩根為4和Z2，則（）

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A?Z]=Z[B.Z],Z]—1

C.㈤=|z2|D.&

Z2\Z2）

預(yù)測(cè)3（2024?河南信陽?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z為復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）

A.若（l+i）z=-i,則目=1

B.對(duì)任意復(fù)數(shù)4,z2,有匕聞=閡憶]

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)Z],Z2,有Z/Z2=Z『Z2

D.在復(fù)平面內(nèi)，若M={z||z-21V2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

預(yù)測(cè)4（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z=二，則z3o=_l

1-1

B.若則z；＞z；

C.若Zz^O,貝|2=工.

Z2Z]

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,若|z+i|+匕-i|=2,則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓

預(yù)測(cè)5（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z0=2+i和z,則下列命題是真命題的有（）

A.若2滿足匕-20|=20+20，則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓.

B.若z滿足|z-z0|+|z-^卜4,則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.

C.若z滿足匕一。卜卜-吊=2,則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線.

D.若z滿足|z+z°+*|=|z-W],則其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是拋物線.

名師押題

押題1若句、Z2為復(fù)數(shù)，貝I]（）

A.R+z?卜日+閆

B.zx+z2=zx+z2

C.D.44=歸卜，|

押題2已知由/2為復(fù)數(shù)，則（）

A.若Z[-Z2=z-務(wù),則Z「Z2為實(shí)數(shù)

B.，―烏卜㈤憶一寸

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C.若z；=馬，則馬=z；

D.若z；=￡,則復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上

押題3已知非零復(fù)數(shù)4，z2,其共粗復(fù)數(shù)分別為H，則下列選項(xiàng)正確的是()

A2-2

A.Z]=Zi

B.+z2=+z2

C.若=則卜-1|的最小值為2

D.——----

Z2Z2

押題4若復(fù)數(shù)z滿足zi=l-i,則下列命題正確的有()

A.z的虛部是一1B.\z\=y[2

C.z?=2D.z是方程，+2x+2=0的一個(gè)根

押題5設(shè)z=l-i,貝|()

A.zz=2B.2+0=0

C.|z|=zD.z—z=z—2

-?j]

L參考答案與解析

名校預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)1:答案BC

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若％=l+i,z2=V2i,顯然滿足BHz』，但4=±4,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)Z[=a+砥eR),則z?=a-6i,zxz2=(a+bi)(a-bi)=a+b,故Zz?|="+/而匕『=/+/,

故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由Z；=Z[Z2可得:Z^-ZjZ2=z1(z1-z2)=0,因Z]是非零復(fù)數(shù)，故Z[-Z2=0,即Z]=Z2,故C

項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)〕i時(shí)，句是非零復(fù)數(shù)，但Zj+，=i+；=i-i=0,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC.

預(yù)測(cè)2：答案ABC

【詳解】關(guān)于無的方程/+氏+1=0(-2</<2),

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則A=/-4<0X=

不妨設(shè)+苧-t)4一》.

1

22

Zt=z2,故A正確；

由韋達(dá)定理可得ZK=1,故B正確;

㈤=閡=,故C正確;

?「乎2=1,

.Z]2：2t，4—*.F—2t\l4一—.

??—==Z]—-----1---------1=------------------1,

z2zxz2122J22

則[五]=3+①二3當(dāng)七0時(shí)，至任R,止匕時(shí)五工(豈],故D錯(cuò)誤.

Z2

2Z2z

V2)2{z2J

故選：ABC.

預(yù)測(cè)3：答案BC

-i-ix(l-i)-1-i

【詳解】對(duì)A：由(l+i)z=-i,故2=幣=(1+次一)='，

"J—，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：設(shè)％=a+6i(G/ER)、z2=c+di(c,d￡R),

貝生㈤=|(?+Z?i)(c+(7i)|=\ac—bd+(od+Z?c)i|=小(ac-bdj+(〃d+bc^

=yja2c2-2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2=Ja2c2+b2d2+a2d2+b2c2，

2222222222222211

|zj-|z2|=y]a+b-Vc+d=^a+b^c+d^=y/ac+bd+ad+bc,

故,崗石訃㈤，故B正確；

對(duì)C：設(shè)Z1=o+6i￡R)、z2=c+di(c,d￡R),

有44=^a+b\)(c+d\)=ac-bd+{ad+bc)i,貝！)z14=ac-bd一(ad+rc)i,

z/z?=^a-b\)(c-d\)=ac-bd-iad+-c)i,故4,=4烏，故C正確；

對(duì)D：設(shè)z=x+yi(尤,yeR),則有(x-2『+/44,

集合/所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐裕?,0）為圓心，半徑為2的圓,

故S=nr2—4n,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

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預(yù)測(cè)4：答案AC

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閦=|ii=7r與J=i,

1-1（1-1）（1+1）

所以z3°=i3O=之做=i2=-l，故A正確；

對(duì)于B,令4=2i0=l,滿足㈤但z；<z；,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,設(shè)馬=Q+6i（a,6cR）,Z2=c+di（c,dER且不同時(shí)為0）,

4_a+bi_(?+bi)(c—di)_ac+bd+(be-ad)i

則

22

Z2c+di(c+di)(c-di)c+d

21222

=212^(.ac+bdy+ibc-ad)=22+b)(c+d)

ciacia

yja2+b2_4

故C正確;

y/c2+d2z2

對(duì)于D,設(shè)復(fù)數(shù)z=%+yi,則點(diǎn)

由|z+i|+|z-i|=2,得]/+（7+1）2+]伴+（/_1）2=2,

則點(diǎn)Z到點(diǎn)（0,-1）與點(diǎn)（0,1）的距離和為2,

故點(diǎn)Z的軌跡是線段，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

預(yù)測(cè)5：答案AB

【詳解】設(shè)2=苫+貝（尤,yeR）,由Z。=2+i可得％=2-i；

對(duì)于A,若z滿足|z_z°卜z°+[=2+i+2T=4,即可得卜_2+（夕_1川=4,所以+（尸=]6,

因此其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡表示以（2,1）為圓心，半徑為4的圓，即A正確；

對(duì)于B,若2滿足匕一。|+卜-引=4,在復(fù)平面內(nèi)表示點(diǎn)（x,y）到（2,1）與（2,-1）的距離之和為4,

又因?yàn)椋?,1）與（2廠1）之間的距離為2<4,根據(jù)橢圓定義可得其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，即B正確;

對(duì)于C,若z滿足卜-%|-卜-吊=2,在復(fù)平面內(nèi)表示點(diǎn)伍回到（2,1）與（2,-1）的距離之差為2,

又因?yàn)椋?,1）與僅,-1）之間的距離為2=2,不滿足雙曲線定義，即C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若z滿足卜+Zo+ZoHz—z0|,可化為|z+4|='_Zo|,

在復(fù)平面內(nèi)表示點(diǎn)（x/）到（-4,0）與僅,7）的距離相等，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是直線，即D錯(cuò)誤；

故選：AB

名師押題

押題1:答案BD

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【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取4=l—i,z2=l+i,則4+Z2=2,ZJ+z2=2,

所以，Z]=l+i,z2=1—i,所以，同二,卜,

所以，卜1|+卜2卜2加,匕+22卜2,故卜1+Z2卜同+周，A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)Z]=a+6i,z2=c+di(^a,b,c,dGR),

貝ij4+z2=(〃+c)+(b+d)i,4+Z2=(a+c)-(6+d)i,

zx=a-b\,z2=c-di,貝！j4+z2=(Q+6)-(c+d)i,所以，Z]+Z2=Z]+Z2，B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，不妨取Z1=l+i,n=2,則z；=(l+i『=2i,㈤=行，|zf=2,

所以，z；wR「，故〃(及EN*),C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)4=a+歷(a,6￡R),則q="bi,所以，|zj=|^|=+62,

所以，馬4=(a+歷)(〃一歷)=，=|zj.同,D對(duì).

故選：BD.

押題2:答案ABD

【詳解】設(shè)Zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d￡R),Z]—z?=zx-z^ozx—zx=z2—z2<=>2bi=2di=b=d,故

412="C為實(shí)數(shù),故A正確；|z；—汜卜上仁―Z2)|=閆憶―zj=|z|IZ2—z|,故B正確；

令4=l—i,Z2=2i,故z；=52，但耳wz；,故C錯(cuò)誤；

若Z；=ij2,則(q+歷)2=(4一”)2,故。6=0,即4=0或6=0,故D正確.

故選：ABD

押題3:答案BD

【詳解】設(shè)Z]=〃+6i,z2=c+di^a,b,c,dGR),

2222

對(duì)A,z：=a+2abi-b,2；=^a-bi^=a-2abi-b,

當(dāng)。力至少一個(gè)為0時(shí)，z；=J,當(dāng)。力均不等于0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,馬+z2=(〃+c)+(b+d)i,貝lj4+Z2=(〃+c)—伍+d)i,

而4+z2=〃一/+c—di=(Q+C)-9+d)i,故4+z2=4+z2,故B正確；

對(duì)C,若"+1|=1，即|(c+l)+同=1,即J(c+1)2+屋=1,

即(c+iy+/=i,則(c,〃)在復(fù)平面上表示的是以(TO)為圓心，半徑r=i的圓，

122Tl的幾何意義表示為點(diǎn)(c，d)到點(diǎn)(1,0)的距離，顯然(1+1)2+。2=4>1,

則點(diǎn)(1,0)在圓外，則圓心到定點(diǎn)(1,0)的距離d=2,

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則點(diǎn)(1,0)與圓上點(diǎn)距離的最小值為〃—=2-1=1,故C錯(cuò)誤;

對(duì)立上ZJa+bi(a+bi)(c+di)ac-bd+(ad+bc)i

Z[c+t/ic?+d~c-+d~

—=,故D正確;

Z2Z2

故選：BD.

押題4：答案ABD

【詳解】zi=1-inz=-l-i,貝故A,B正確；

z2=(-l-i)2=2i,故C錯(cuò)誤；

而(-l-iy+2(-l-i)+2=0成立，故D正確.

故選：ABD.

押題5:答案AB

【詳解】由z=l-i可得三=l+i，

所以匚=(l+i)(l-i)=l-i2=2,即A正確；

可得z+W=l-i+(l+i)i=l-i+i+i2=0,即B正確；

222222

|Z|=1+(-1)=2,z=(l+i)=l+2i+i=2i,顯然，=二錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤;

z-z=l-i-(l+i)=-2i,jfu__2=l+i-2=-1+i=-1-i>所以D錯(cuò)誤.

故選：AB

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函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（選填題）

,考情分析

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)

7函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)切線問題

2021年I卷

15函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)最值問題

8函數(shù)函數(shù)奇偶性

①抽象函數(shù)

2021年II卷14函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

②函數(shù)奇偶性

16函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)切線問題

①三次函數(shù)的極值問題

②三次函數(shù)的零點(diǎn)問題

10函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

③三次函數(shù)的切線問題

2022年I卷

④三次函數(shù)的對(duì)稱中心問題

①抽象函數(shù)問題

12函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

②函數(shù)的奇偶性

8函數(shù)抽象函數(shù)問題

2022年II卷

14函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)切線問題

2023年新高考111函數(shù)抽象函數(shù)問題

6函數(shù)與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題

2023年新高考2

11函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)極值問題

近三年，函數(shù)在選填中占據(jù)兩個(gè)位置，考查的考點(diǎn)一般來說是：

1、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（①抽象函數(shù)具體化②常見的結(jié)論（函數(shù)性質(zhì)）包括③根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律④判

定抽象函數(shù)的奇偶性⑤函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合求不等式范圍問題）

2、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性（①函數(shù)周期性的妙解②分段函數(shù)的類周期性③函數(shù)對(duì)稱性的妙解④不同函數(shù)的

對(duì)稱性）

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3、嵌套函數(shù)與零點(diǎn)問題(①函數(shù)嵌套原理求函數(shù)解析式.②函數(shù)嵌套中的不動(dòng)點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)問題③導(dǎo)函數(shù)求解

集或比較大小)

4、導(dǎo)數(shù)構(gòu)造新函數(shù)求解集或比較大小(①正規(guī)方法②秒殺技巧)

題干的設(shè)置一般來說在上述的三項(xiàng)考點(diǎn)中選其一項(xiàng)或兩項(xiàng)。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題目中首先分類找迤類型選擇

小技巧，另外考生們要想靈活應(yīng)用小技巧則需在有限的時(shí)間內(nèi)同類型題多做幾遍，考場中便可輕松搞定。

高考預(yù)測(cè)

從近三年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的難點(diǎn)，其中導(dǎo)數(shù)構(gòu)造和分段函數(shù)零點(diǎn)問題及抽象函

數(shù)考查比較頻繁.抽象函數(shù)一般以多選題的形式考察，導(dǎo)數(shù)構(gòu)造和分段函數(shù)零點(diǎn)問題則以單選題的形式考察,

因小結(jié)論偏多，試題靈活，考生在考場中以不變應(yīng)萬變.

I應(yīng)試必備

一、抽象函數(shù)具體化

使用前提：題中沒有給出具體函數(shù)的解析式，但是可以根據(jù)所給的函數(shù)特征確定函數(shù)模型，屬于抽象函數(shù)

的內(nèi)容延伸和實(shí)例化.

解題步驟：

第一步：由函數(shù)的解析式確定函數(shù)所屬的模型；

常見函數(shù)模型包括：

I：若/(加〃)=/(加)/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為幕函數(shù)=(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

II：若f(mn)=f(m)+/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log“x(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

III：若/(加+〃)=/(加)/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

IV：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為正比例函數(shù)="或/々”力⑴

V：若/(加+〃)=，可認(rèn)為函數(shù)為正切函數(shù)/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),可認(rèn)為是余弦函數(shù)/(x)=cosx.

VII：若/(〃+〃)=/(加)+/(〃)+加，可認(rèn)為函數(shù)為一次函數(shù)/(x)=自+6或=#⑴一加

第二步：結(jié)合函數(shù)模型和函數(shù)的單調(diào)性的定義確定函數(shù)的單調(diào)性.

結(jié)論法(函數(shù)性質(zhì)法)

使用前提：將所給的函數(shù)進(jìn)行“庖丁解?！焙竺恳徊糠侄际且粋€(gè)很明顯可以判斷單調(diào)性的函數(shù).

解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)是由哪些可以判斷單調(diào)性的簡單函數(shù)組合而成的.

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第二步：結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)的單調(diào)性.

常見的結(jié)論(函數(shù)性質(zhì))包括：

(1)/(X)與/(》)+。單調(diào)性相同.(。為常數(shù))

(2)當(dāng)左>0時(shí)，/(x)與妙'(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)左<0時(shí)，/(x)與夕'(x)具有相反的單調(diào)性(3)當(dāng)

/(x)恒不等于零時(shí)，/(x)與/二其有相反的單調(diào)性.

/(X)

(4)當(dāng)/(x)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù)時(shí)，則/(x)+g(x)在￡)上是增(減)函數(shù).

⑸當(dāng)/(x)、g(x)在。上都是增(減)函數(shù)，且兩者都恒大于0時(shí)，/(x)g(x)在。上是增(減)函數(shù)；當(dāng)/(X)、

g(x)在。上都是增(減)函數(shù)，且兩者都恒小于0時(shí)，/(x)g(x)在。上是減(增)函數(shù).

(6)設(shè)歹=/(x),xe。為嚴(yán)格增(減)函數(shù)，則函數(shù)必有反函數(shù)，且反函數(shù)在其定義域。上也是嚴(yán)格增(減)函

數(shù).

(7)奇(或偶)函數(shù)的單調(diào)性：

由奇偶函數(shù)定義易知：奇函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.

(8)周期函數(shù)的單調(diào)性：

若/(x)是周期為T的函數(shù)，且/(x)在單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則/(x)在(。+左T,6+k7j(keZ)上單

調(diào)遞增或單調(diào)遞減.

根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定

使用前提：函數(shù)解析式比較復(fù)雜，由若干基本函數(shù)經(jīng)過運(yùn)算之后的函數(shù)判定奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，應(yīng)用奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

第二步：結(jié)合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論確定所給函數(shù)的奇偶性.

常見的結(jié)論包括：

(1)幾個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；幾個(gè)偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函

數(shù).

(2)奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù).

常見基本函數(shù)的奇偶性：

(1)一次函數(shù)^=自+6優(yōu)彳0)，當(dāng)6=0時(shí)，是奇函數(shù)，當(dāng)6w0時(shí)，是非奇非偶函數(shù).

(2)二次函數(shù)y=a/+bx+c(aw0),當(dāng)b=0時(shí)，是偶函數(shù)；當(dāng)6w0時(shí)，是非奇非偶函數(shù).

(3)反比例函數(shù)y=±(k大0,x主0)是奇函數(shù).

X

(4)指數(shù)函數(shù)y=/(a>0且aw1)是非奇非偶函數(shù)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logflx(a>0且awl,x>0)是非奇非偶函數(shù).

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(6)三角函數(shù)^=sinx(xeR)是奇函數(shù)，y=cosx(xe&)是偶函數(shù)，y—tanxxwk7i-\—,kGZI是奇函

數(shù).

(7)常值函數(shù)/(x)=a,當(dāng)awO時(shí)，是偶函數(shù)，當(dāng)。=0時(shí)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

特殊函數(shù)的奇偶性：

奇函數(shù)：兩指兩對(duì)

/X1\

:加](xw0),

⑴/(x)=M-r~.=m+/(x)=m—----=m——(mGR)

[ax+lJax+V7

\a-17

⑵函數(shù)/(x)=±[ax-a~x)=±1Qx

⑶/(x)==logjl+/(x)=log/^—=logjl_--1

\x-mj\x-m)\x+m)\x+mJ

22

⑷函數(shù)/(x)=logfl((mx)+1+mx)，函數(shù)f(x)=loga((mx)+1-mx

tz2A+1

⑸函數(shù)/3=

a2x±\

考點(diǎn)：形如①已知/(+奇函數(shù),則"口部肅;：)=。

②已知/(+奇函數(shù)+*則1段仁湍;

偶函數(shù)：

xxmx

⑴函數(shù)/(x)=+[a+a-)⑵函數(shù)/(x)=logfl(a+1)-皇

⑶函數(shù)/卜|)類型的一切函數(shù).

判定抽象函數(shù)的奇偶性

使用前提：所給的函數(shù)沒有解析式，需要利用所給的條件判定函數(shù)的奇偶性.

解題步驟：

第一步：確定函數(shù)的定義域，猜想函數(shù)模型，從而確定函數(shù)的奇偶性方向；

I：若/(加〃)=/(加)/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為幕函數(shù)/(x)=x°(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

II：若f{mn}=f(rn)+/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log。x(a的范圍或數(shù)值需要其他條件確定);

III：若/(加+〃)=/(加)/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)/(》)=優(yōu)(4的范圍或數(shù)值需要其他條件確定)；

IV：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)，可認(rèn)為函數(shù)為正比例函數(shù)="或/々”力⑴

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V：若/(加+〃)=(儀,可認(rèn)為函數(shù)為正切函數(shù)/(x)=tanx；

VI：若/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),可認(rèn)為是余弦函數(shù)/(x)=cosx.

VII：若/(加+〃)=/(加)+/(〃)+加，可認(rèn)為函數(shù)為一次函數(shù)/(x)=自+6或/(x)=#⑴一加

第二步：利用所猜想的函數(shù)模型，使用賦值法結(jié)合所給的條件得出/(X)與/(-X)的關(guān)系；

第三步：得出結(jié)論.

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合求不等式范圍問題

技巧總結(jié)

結(jié)論1：奇函數(shù)單調(diào)性不改變，若函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)時(shí)

①若x?0時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，則x<0時(shí)，/(x)為也為單調(diào)遞增，即/(加)+/(〃)>0=加+〃>0.

②若xNO時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，則x<0時(shí)，/(x)為也為單調(diào)遞減，即/(加)+/(〃)>0n加+〃<0.

結(jié)論2：奇函數(shù)單調(diào)性不改變，若定義在R上函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)。力)對(duì)稱時(shí)

①若時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，則x<a時(shí)，/(x)為也為單調(diào)遞增，即/(加)+/(〃)>26=>加+〃>2a.

②若xNa時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，則x<a時(shí)，/(x)為也為單調(diào)遞減，即/(加)+/(“)>26=>加+〃<2。.

結(jié)論3：偶函數(shù)單調(diào)性改變，若函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)時(shí)

①若xNO時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，則x<0時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，

即/(冽)>/(〃)n帆>時(shí),/(%)+/(-X)>2f(m)=>|x|>w.

②若x?0時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，則x<0時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，

即/(加)>/(?)nM<\n\,/(%)+/(-x)>2/(冽)=>\x\<m.

結(jié)論4：偶函數(shù)單調(diào)性改變，若定義在R上函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱時(shí)

①若x2a時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，則x<a時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，

即f(m)>|加一a|>|〃一4,f(a+x)+f(a-x)>2>m.

②若時(shí)，/(x)為單調(diào)遞減，則x<a時(shí)，/(x)為單調(diào)遞增，

即/(m)>/(??)=>|m-4z|<|n-4z|,f(a+x)+f(a-x)>2f(m)|x-a|<m.

二、函數(shù)周期性的妙解

技巧總結(jié)

類型一：抽象函數(shù)的周期性

使用前提：函數(shù)的解析式不確定，給出抽象函數(shù)的性質(zhì)，來確定函數(shù)的周期

解題步驟：

第一步：合理利用已知函數(shù)關(guān)系并進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危?/p>

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第二步：熟記常見結(jié)論，準(zhǔn)確求出函數(shù)的周期性；

常見的結(jié)論包括：

結(jié)論1：若對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+加)=-/(x)恒成立，則/(x)是周期函數(shù)，且2加是

它的一個(gè)周期.

證明：f(x+2m)=f[x+m+m)=-f{x+m)=/(x)/.T=2m

也可理解為：平移加個(gè)單位到谷底，再平移一個(gè)單位到巔峰，再平移一個(gè)單位又到谷底，則谷底與谷底的

距離為2加，.二7二？加

結(jié)論2：定義在7?上的函數(shù)/(X),對(duì)任意的XER,若有/(x+a)=/(x+b)(其中a)為常數(shù)，a手b),

則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)周期.

證明：f(x-a+a)-f(x-a+b)^/(x)=f(x+b-a)T=

口訣：同號(hào)差(周期)異號(hào)加(對(duì)稱軸)n只研究x前的正負(fù).

結(jié)論3：定義在H上的函數(shù)/(%),對(duì)任意的xeA,若有/(x+a)=—/(x+b)(其中為常數(shù)，a*b),

則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，2|a-目是函數(shù)的一個(gè)周期.

證明：/(x+a)=-/(x+6)先向左平移a個(gè)單位得/(.X-a+a)=-f(x-a+b)

=>/(x)=—/(x+，—a)令，—a=m'=/(x)=—/(x+加。如同結(jié)論1

結(jié)論4：定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意的xeR,若有/(x+a)=--—，(或/(x+a)=)(其中

/(x)/(x)

a為常數(shù)，a/0),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，2同是函數(shù)的一個(gè)周期.

小+。)=±合，]

證明:f(x+2a)=f(x+a+a)=±/(x)：.T=2\a\

/(x+a)

結(jié)論5:定義在R上的函數(shù)/(x),對(duì)任意的xeA,有/(a+x)=/(a—x)且/0+x)=/0-x),

(其中a,b是常數(shù)，awb)則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，斗。—可是函數(shù)的一個(gè)周期.

另一種題干出現(xiàn)的信息：①若〉=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b都對(duì)稱，則等價(jià)于/(a+x)=f(a-x)

且/0+x)=f(b-x),則y=/(x)為周期函數(shù)且7=斗?！?|.

②若歹=/(x)為偶函數(shù)且圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則歹=/(x)為周期函數(shù)且7=2同

證明：/(a+x)=/(a—x)向左平移a個(gè)單位，f(x-a+a)=f(a-[x-a])

=>/(x)=/(2a—x),同理=>/(x)=f(2b-x),=>f(2a-x)-f(2b-x)

利用口訣：同號(hào)差(周期)異號(hào)加(對(duì)稱軸)n只研究x前的正負(fù).秒出周期

結(jié)論6:若定義在R上的函數(shù)歹=/(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)xe尺，恒有/(x)=f(a+x)+f(x-a)成立(aw0),則

2024年高考數(shù)學(xué)考前20天終極沖刺攻略(新高考新題型專用)含答案解析

/(x)是周期函數(shù)，且6時(shí)是它的一個(gè)周期.

證明：由函數(shù)/(x)=f(a+x)+f(x+a)-f(x+2a)+f(x)

=>/(x)=f(x+2a)+f(x)+f(x-a)=-f(x+2a),向右平移a個(gè)單位得

/(x)=-f[x+3a)=>/(x+3a+3a)=-/(x+3a)=/(x)/.T=6時(shí)

口訣：內(nèi)同號(hào)，外異號(hào)，內(nèi)部只差需2倍，出現(xiàn)周期很easy.

1+/G)

結(jié)論7:若對(duì)于非零常數(shù)m和任意實(shí)數(shù)x,等式/(%+加)=成立，則/(x)是周期函數(shù)，且4加是

1-/W

它的一個(gè)周期.

1J+/(x)

?on、l+/(x)c、1+/(x+m)1—/(x)1

證明：/(x+m)=---------=4>/(x+2m)=----------------

1-/Wl-/(x+m)「I12M/(x)

f(x+2m)=---1如同結(jié)論4,/(x+2"+2向=-溫麗=/(x)T=4m

Ax)

結(jié)論8:若對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)x,等式/(x+加)=；］；；；成立,則/(x)是周期函數(shù)，且2加是

它的一個(gè)周期.

11-/(X)

證明：/(x+掰)=-------=>/(x+2m)=---------------=——：—J.(=fix)

l+/(x)l+/(x+m)i卜r/(x)八，

l+/(x)

/.T=2m

1

結(jié)論9:若對(duì)于非零常數(shù)加和任意實(shí)數(shù)x