廣西壯族自治區(qū)貴港市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

2025屆上學(xué)期高三11月月考數(shù)學(xué)試題本卷滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘命題人：潯高高三數(shù)學(xué)各課組審題人：潯高高三數(shù)學(xué)各課組注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼.請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目.2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得答案.【詳解】∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴，，.故選：B．2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：由題意，集合，或，所以，故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)為：，，，，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)（）A.中位數(shù)為 B.眾數(shù)為 C.百分位數(shù)為3 D.平均數(shù)為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的樣本的數(shù)字特征值的概念分別判斷各選項(xiàng).【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，，，，，，，，，共個(gè)數(shù)，中位數(shù)為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，出現(xiàn)最多的是和，均出現(xiàn)次，故眾數(shù)為2和3，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，，故分位數(shù)為，C選項(xiàng)正確，平均數(shù)為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為上一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)為等邊三角形，過的中點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，連接，說明為矩形，得，求得的斜率為，直線方程可求.【詳解】設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榻裹c(diǎn)F1,0，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線為，則，因?yàn)槭堑冗吶切?，的中點(diǎn)為，則軸，所以準(zhǔn)線為，為矩形，則，故是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，易知，則.因?yàn)?，所以直線的斜率為,直線的方程為.故選：B5.設(shè)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A，B；由基本不等式可判斷C；由在0,+∞上單調(diào)遞增可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，則，正確；對(duì)于B，若，則，則，不正確；對(duì)于C，若，則，正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，，，正確故選：B.6.黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：的值取3，）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求圓臺(tái)母線長(zhǎng)，再代入圓臺(tái)和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.7.在平行四邊形ABCD中，已知，，，，則（）．A. B. C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律，可以得所求數(shù)量積的值.【詳解】由題意可得：，，∵，①，②①－②得：，即，∴．故選：A．8.若在x∈0,+∞上恒成立，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易知，原式可變形為，結(jié)合隱零點(diǎn)的解題思路，求出，由可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解得，即可求出a的取值范圍即可.【詳解】由題意知，，由，得.原式可化為，設(shè)，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在使得，即，得，即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設(shè)，由函數(shù)在在單調(diào)遞減，知函數(shù)在在單調(diào)遞減，且，所以，所以，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)Fx的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)φx的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)y=fx的圖象在y=gx二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出下列四個(gè)命題，其中不正確命題為（）A.是的充分不必要條件B.是的必要不充分條件C.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件D.是函數(shù)在上單調(diào)遞增的既不充分也不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性驗(yàn)證充分性和必要性；對(duì)于B項(xiàng)，取特值驗(yàn)證必要性不成立；對(duì)于C項(xiàng)，充分性考察冪函數(shù)的奇偶性，必要性求出和對(duì)應(yīng)系數(shù)相等；對(duì)于D項(xiàng)，必要性根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即，所以充分性成立；若，即，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，必要性成立；所以“”是“”的充要條件，A不正確．對(duì)于B項(xiàng)，取滿足，但是不滿足，則“”不是“”的必要條件，B不正確．對(duì)于C項(xiàng)，時(shí)，的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以是定義在奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則并且，又因?yàn)椋瑒t，所以必要性成立.故是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，所以C正確.對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，故必要性成立，所以D項(xiàng)不正確.故選：ABD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，能得到函數(shù)的圖象B.若，則當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃.若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則【答案】AD【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，則的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；令，，則，，又，若在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故C錯(cuò)誤；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，又，所以，解得，又，所以，由可得，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故D正確．故選：AD．11.雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，左、右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖，已知?jiǎng)又本€與雙曲線左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與其兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，則下列命題正確的是（A.不存在直線，使得B.在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有C.若直線的方程為，存在，使得取到最大值D.若直線的方程為，，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線與直線的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)，聯(lián)立直線與雙曲線，直線與直線，結(jié)合韋達(dá)定理可得線段與線段的中點(diǎn)重合，即可判斷B選項(xiàng)，易知，即可得知無最大值，判斷C選項(xiàng)，根據(jù)，可得，即可得離心率.【詳解】A選項(xiàng)：與漸近線平行的直線不可能與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立，得：，設(shè)Px1,y1，Q所以線段中點(diǎn)即，將直線與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)，將直線與漸近線聯(lián)立得點(diǎn)，所以線段中點(diǎn)，所以線段與線段的中點(diǎn)重合，所以，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)可得，則，因?yàn)闉槎ㄖ?，?dāng)越來越接近漸近線的斜率時(shí)，趨向于無窮，所以會(huì)趨向于無窮，無最大值，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：聯(lián)立直線與漸近線，解得，聯(lián)立直線與漸近線，解得，由題可知，，所以，即，所以，解得，所以，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.某學(xué)校在校慶晚會(huì)期間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的宣傳廣告，要求最后播放的必須是宣傳廣告，且2個(gè)宣傳廣告不能相鄰播放，則不同的播放方式有______種.【答案】192【解析】【分析】先考慮最后位置必為宣傳廣告，再考慮4個(gè)商業(yè)廣告的順序，最后另一宣傳廣告插入4個(gè)商業(yè)廣告之間，即可求解.【詳解】先考慮最后位置必為宣傳廣告，有種，再考慮4個(gè)商業(yè)廣告的順序，有種，另一宣傳廣告插入4個(gè)商業(yè)廣告之間，有種，故共有種.故答案為：192.13.已知數(shù)列滿足，且，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______.【答案】4049【解析】【分析】由題意寫出求和的式子，利用分組求和與等差數(shù)列的求和，可得答案.【詳解】.故答案為：4049.14.已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是___________.【答案】5【解析】【分析】令，，則，分別作出和直線，得到兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由圖象觀察，即可得到所求零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】解：令，，則，分別作出和直線，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為，，則，，即有有2根；時(shí)，有3個(gè)不等實(shí)根，綜上可得的實(shí)根個(gè)數(shù)為5，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5．故答案為：5．四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求角；（2）已知直線為的平分線，且與交于點(diǎn)，若，，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得解；（2）根據(jù)余弦定理及三角形面積列方程，解方程可得，即可得周長(zhǎng).【小問1詳解】在中，由正弦定理可知可轉(zhuǎn)化為，即，即，，由在中，，則；【小問2詳解】在中，由，即，又直線為的平分線，則，所以，即，又由余弦定理可得，即，可知，解得或（舍），所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得參數(shù)值；（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)確定的最值，進(jìn)而可得的單調(diào)性，即可得最值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，切線的斜率為，所以，得，解得：；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，令，，所以在恒成立，即單調(diào)遞增，又，，所以至少存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，又函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】在解決類似的問題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．17.如圖，在四棱錐中，底面，若四邊形為菱形，，且分別為的中點(diǎn).（1）試判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）若四棱錐體積為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）直線與不垂直，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用反證法，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定及菱形的性質(zhì)導(dǎo)出矛盾即可得證.（2）利用給定的體積求出，進(jìn)而求出，再利用幾何法結(jié)合余弦定理求解即得.【小問1詳解】直線與不垂直，證明如下：假設(shè)，連接，連接，由分別為的中點(diǎn)，得，由平面，得平面，而平面，則，又，平面，于是平面，又平面，則，由四邊形是菱形，得，因此，與矛盾，所以直線與不垂直.【小問2詳解】菱形中，，則，菱形的面積，而平面，于是四棱錐的體積為，解得，由平面，得，，，由，得或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，在中，，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.18.如圖，已知橢圓上、下焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，“環(huán)繞圓”的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求滿足條件的直線的條數(shù)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若過原點(diǎn)可作“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于、兩點(diǎn)，直線，的斜率存在，記為，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）存，2條；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距、離心率及參數(shù)關(guān)系求標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線為，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得，，根據(jù)及已知列方程求參數(shù)k，即可得答案.（3）設(shè)切線方程為，切線方程為，且，根據(jù)相切關(guān)系得到是的兩個(gè)不相等實(shí)根，由韋達(dá)定理及橢圓有界性求范圍.【小問1詳解】由題意，，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）知：，顯然直線不與軸重合，設(shè)直線為，，聯(lián)立，得，顯然，所以，，則，圓半徑為1，則，故，所以（負(fù)值舍），即滿足條件的直線有2條；【小問3詳解】設(shè)切線方程為，切線方程為，且，圓與相切，則，化簡(jiǎn)得，同理，所以是的兩個(gè)不相等實(shí)根，則，又在橢圓上，故，則，由存在，則，即，所以.19.已知集合，，若中元素的個(gè)數(shù)為，且存在，，使得，則稱是的子集.（1）若，寫出的所有子集；（2）若為的子集，且對(duì)任意的，，存在，使得，求的值；（3）若，且的任意一個(gè)元素個(gè)數(shù)為的子集都是的子集，求的最小值.【答案】（1）；（2）2；（3）13.【解析】【分析】（1）根據(jù)子集的定義，即可容易求得；（2）取，求得，再利用反證法假設(shè)，推得與矛盾即可；（3）令，討論時(shí)不滿足題意，再驗(yàn)證時(shí)的情況滿足題意，即可求得的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，的所有子集為.【小問2詳解】當(dāng)