2024-2025學年遼寧省沈陽市高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學質量檢測試題（含解析）

2024-2025學年遼寧省沈陽市高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學質量檢測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.2.設集合，，，則下列選項中一定成立的是（）A. B. C. D.3.已知一圓臺內切球G與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑分別為，，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C.2 D.4.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則B的大小為（）A. B. C. D.5.已知且，若函數(shù)的值域為R，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知定義在R上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.7.在等比數(shù)列中，為其前n項和，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）A. B. C. D.18.如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象，其中P和分別是圖象上相鄰的最高點和最低點，點B，A分別是，圖象的一個對稱中心，若，，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程，其中.下列命題為真命題的是（）A.可以是圓的方程 B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標準方程 D.可以是雙曲線的標準方程10.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當時， D.直線與平面所成的角的正弦值為11.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則（）A.當時，B.當n為正整數(shù)時C.對任意正實數(shù)t，在區(qū)間內恰有一個極大值點D.若在區(qū)間內有3個極大值點，則k的取值范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是________.13.設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，P為C上一點，且.若的面積為，則________.14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)a的取值范圍是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.（1）若AC與BD交于點O，且，求BO的長；（2）求四邊形ABCD周長的最大值.16.（15分）已知四棱柱，如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，其中點D在平面內的投影為點，且，.（1）求證：平面平面；（2）已知點E在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值.17.（15分）已知函數(shù).（1）求在上的單調遞增區(qū)間.（2）若關于x的方程在區(qū)間內有兩個不同的解，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明.18.（17分）已知函數(shù).（1）若，曲線在點處的切線與直線垂直，證明.（2）若對任意的，且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點.19.（17分）定義：從數(shù)列中隨機抽取m項按照項數(shù)從小到大的順序依次記為，，…，（），將它們組成一個項數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”.（1）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的；（2）已知數(shù)列是項數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項遞增衍生列”；（3）已知首項為1的等差數(shù)列的項數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”，其中.若在數(shù)列中任意抽取3項，且均不構成等差數(shù)列，求m的最大值.

答案及解析1.C【深度解析】由，得，所以.故選C.2.B【深度解析】根據集合中元素的互異性，可得，解得，，0，因此方程，，，均無解，故必有.故選B.3.A【深度解析】如圖為圓臺及其內切球的軸截面，其中圓G是等腰梯形ABCD的內切圓，設圓G與梯形的上底、下底、腰AD分別切于點，，E，連接GA，GD，，，GE，則，，且G，，三點共線，設球的半徑為R，則.由圓的切線的性質可知GD，GA分別為，的平分線，則，由切線長定理可知，，故由射影定理得.設圓臺的體積為，球的體積為，則.故選A.4.D【深度解析】因為，所以由正弦定理得，所以.因為，，所以，所以或，即或（舍去），所以，解得.故選D.5.A【深度解析】當時，在上單調遞增，所以，在上單調遞增，所以，則函數(shù)的值域不可能為R；當時，在上單調遞減，所以，在上單調遞減，所以，若使函數(shù)的值域為R，則，即，解得.故選A.6.C【深度解析】因為①，所以②，①②聯(lián)立可得，所以，，所以，則曲線在點處的切線方程為，整理可得.故選C.7.D【深度解析】設的公比為，由，，成等差數(shù)列，得，又數(shù)列為等比數(shù)列，所以，解得，所以，令，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當時，取得最小值1.故選D.8.D【深度解析】由題可得，，令，，，分別得，，.又，令，得，則，則，所以.又，，，所以，即，化簡得，將代入，解得（負值舍去），所以，則（另解：由，得，因為，所以（提示：因為點B為函數(shù)圖象的對稱中心，所以），所以，所以，所以，所以，所以.故選D.9.ABC【深度解析】對于A，因為方程，其中，所以當時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，故A正確；對于B，當時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，故B正確；對于C，當時，方程為，即是橢圓的標準方程，故方程可以是橢圓的標準方程，故C正確；對于D，若方程為雙曲線的標準方程，則，，，這與矛盾（提示：由得，，則，不符合題意），故方程不可以是雙曲線的標準方程，故D錯誤.故選ABC.10.AD【深度解析】對于A，因為點P到上底面的距離是定值1，所以，為定值，故A正確；對于B，解法一：如圖①，連接，，，在正方體中，易證平面平面，又平面，所以平面不成立，故B錯誤；圖①解法二（反證法）：連接，假設平面，因為平面，且平面平面，由線面平行的性質定理可得，則，與與相交矛盾，假設不成立，所以平面不成立，故B錯誤；對于C，如圖②，連接，若，，，，平面，則平面，又平面，所以，顯然不成立，故C錯誤；圖②對于D，如圖②，連接，由題易知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故D正確.故選AD.11.BD【深度解析】因為當時，，所以，，，…，，將上述式子累加可得，所以，，設，，則，所以，，.對于A，當時，，則，故A錯誤；對于B，因為，，，所以當，時，，所以，，故B正確；對于C，當，時，，所以，易知在上單調遞減，令得，所以在上有唯一的極大值點，設相鄰兩個極值點的距離為d，則，則在區(qū)間內可含有2個極大值點，故C錯誤；對于D，由選項C可知的極大值點為，，所以的極大值點從左往右依次為，，，，…，因為在區(qū)間內有3個極大值點，所以，即k的取值范圍是，故D正確.故選BD.12.【深度解析】與的夾角為銳角，等價于且與不共線，即，解得且.所以實數(shù)λ的取值范圍為.13.【深度解析】設，，不妨設點P為雙曲線右支上一點，如圖.，解得.因為，由余弦定理得，，整理得，又，所以.14.【深度解析】由題可得，函數(shù)的定義域為，則（提示：只需要考慮分子的符號即可）.當時，，在上單調遞增，且當時，，所以存在，使得，故符合題意.當時，令，解得；令，解得，所以在區(qū)間上單調遞增；令，解得，所以在區(qū)間上單調遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值，所以，若存在，使得，則（提示：存在，使得，即），即，即，易證，當且僅當時等號成立，所以，即.綜上，可得.15.（1）（6分）（2）（7分）【解】（1）在中，由余弦定理得，.3分設，則.，在，中，由得（關鍵：利用勾股定理，構造關于BO的方程），5分即，解得，故.6分（2）令，，，，7分即.又（提示：利用基本不等式的變式，把邊長積化為邊長和），9分，即，當且僅當時取等號，11分，故四邊形ABCD周長的最大值為.13分16.（1）證明見解析（5分）（2）1（10分）（1）【證明】分析：根據點D在平面內的投影為點，可以判斷平面ABCD，進而由線面垂直的性質證明線線垂直，在中使用余弦定理求邊BD的長度，結合勾股定理證明，最后根據線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化證明結論.由題意可知平面ABCD，又平面ABCD，故.1分不妨設，在中，，，，由余弦定理得，所以，故，故.3分因為，，平面，所以平面，4分而平面，所以平面平面.5分（2）【解】分析：根據垂直關系建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.連接，AC，由（1）知，DA，DB，兩兩垂直，如圖所示，以D為坐標原點，DA，DB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，故，，又因為，所以，所以.7分設，則，即，所以.9分設為平面的一個法向量，則，令，則，，所以.12分因為y軸垂直于平面，則可取為平面的一個法向量.13分設平面與平面的夾角為α，則，解得，故.15分17.（1），（6分）（2）；證明見解析（9分）【解】（1）分析：根據題意，先利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡，再由正弦型函數(shù)的單調區(qū)間，代入計算得到結果..2分由，得，所以的單調遞增區(qū)間為.4分又，，所以在上的單調遞增區(qū)間為，.6分（2）分析：根據題意，帶入數(shù)值，利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性得到a的取值范圍；接下來分類討論進行證明.由，得，7分即，其中，.8分所以當且僅當，即時，滿足題意.故實數(shù)a的取值范圍為.10分當時，，即，此時，而，所以；12分當時，，即，此時，而，所以.14分綜上.15分18.【證明】（1）分析：先由導數(shù)的幾何意義結合垂直關系求得a，從而求出，再通過構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合虛設零點的方式，即可證明不等式.，，又，，.2分設，則，設，則，在上單調遞增，又，，存在使得，即，，4分當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，.6分（2）分析：先判斷的單調性，再對，變形，通過構造函數(shù)，證明，，結合零點存在定理即可得證.，，在上單調遞增，8分又，同理.13分設，則，令，解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，即，，.15分又，，，，存在，使得，又在上單調遞增，函數(shù)在上存在唯一零點.17分19.（1）1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（3分）（2）證明見解析（5分）（3）8（9分）【特色題型】數(shù)列的新定義的理解與應用（1）【解】由題意得，數(shù)列為1，8，3，4，5，2，1分若是數(shù)列的“3項遞增衍生列”，且，則為1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5.3分（2）【證明】設等比數(shù)列的公比為，假設數(shù)列是數(shù)列的“3項遞增衍生列”，則存在，使，，，所以，，則，，5分則，，所以，6分因為，，所以為有理數(shù)，但為無理數(shù)，所以（*）式不可能成立.7分（反證法的