2023-2024學(xué)年北京北師大實驗中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023北京北師大實驗中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)考生須知1．本試卷共8頁，共3道大題，28道小題；答題紙共3頁;滿分100分;考試時間120分鐘2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級、姓名、學(xué)號3．試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效4．在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答命題人：張蓓、楊潔、王春華審題人：楊潔一、單項選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項最符合題意;每小題2分，共16分）1.拋物線的頂點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.用配方法解方程，原方程應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢. B. C. D.3.如圖，，，是某社區(qū)的三棟樓，若在中點處建一個基站，其覆蓋半徑為200m，則這三棟樓中在該基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）A.，，都不在 B.只有 C.只有， D.，，4.已知點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.5.如圖，在中，，，．將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，此時，點恰好在上，則點與點的距離是（）A. B. C. D.6.如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點為中心，將旋轉(zhuǎn)，得到，則旋轉(zhuǎn)中心是（）A.點A B.點B C.點C D.點D7.如圖，不等邊內(nèi)接于，下列結(jié)論不成立的是（）A. B. C. D.8.拋物線過和，且對稱軸為直線．現(xiàn)有下面四個推斷：①若，則；②若，則；③若，則；④存在實數(shù)，使得為定值．其中推斷正確的是（）A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④二、填空題（共8道小題，每題2分，共16分）9.點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為________．10.已知圓錐的底面半徑長為5，側(cè)面展開后得到一個半圓，則該圓錐的母線長為_________．11.若是一元二次方程的一個根，則的值為________．12.如圖，與關(guān)于點成中心對稱，，則的長是________．13.若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是________．14.如圖，與直線相離，圓心到直線的距離，，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到的直線剛好與相切于點，則的半徑是________．15.如圖，AB是半圓O的直徑，點C，D在半圓O上．若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數(shù)為______°．16.矩形中，，，點是邊上的一個動點，連接，的角平分線交邊于點，若于點，連接、，則的最小值是________．三、解答題（共12道小題，17，27，28題，每題7分，18~20，23，24題，每題5分，21題4分，22，25，26題，每題6分，共68分）17.選擇合適的方法解方程：（1）；（2）．18.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程恰有一個根小于，求的取值范圍．19.如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．（1）求證：；（2）連接，若，求的度數(shù)．20.如圖，是上的兩點，是的中點，求證；四邊形是菱形．21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．（1）將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)，請在坐標(biāo)系中畫出，并寫出點的坐標(biāo)；（2）若點是內(nèi)部任意一點，請直接寫出這個點繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到的點的坐標(biāo)．22.已知二次函數(shù)，它的圖象過點，并且與軸交于點．（1）求二次函數(shù)的解析式和點坐標(biāo)；（2）當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出函數(shù)值的取值范圍；（3）若直線也經(jīng)過點，兩點，直接寫出關(guān)于的不等式的解集．23.已知：和圓外一點，求作：過點的的切線．作法：①作射線，交于點，；②以為圓心，為半徑作，以為圓心，的長為半徑畫弧交于點；③連接，，交于點；④作直線．所以直線為的切線．（1）使用直尺和圓規(guī)進行尺規(guī)作圖，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：，，，．（________________）（填推理的依據(jù)）半徑．直線為的切線．（________________）（填推理的依據(jù)）24.某公司以每件50元的價格購進一種商品，規(guī)定銷售時的單價不低于成本價，又不高于每件70元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量（件）與每件的銷售單價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：．（1）當(dāng)時，每件的利潤是________元，總利潤為________元；（2）若設(shè)總利潤為元，則與的函數(shù)關(guān)系式是________________；（3）銷售單價定為多少元時，此時利潤最大，最大利潤是多少？25.如圖，是的直徑，直線經(jīng)過上的點，于點，交于，平分．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．26.在平面直角坐標(biāo)系中，點，，三個點在拋物線上．（1）當(dāng)時，直接寫出拋物線的對稱軸及和的大小關(guān)系；（2）若，，則的值是________；（3）若對于任意，都滿足，求的取值范圍．27.如圖，在正方形中，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作的角平分線交邊于點，連接并延長交射線于點，連接．圖1備用圖（1）依題意補全圖1，求的大?。唬?）寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）連接，點是的中點，，直接寫出線段的最小值．28.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（，分別是，的對應(yīng)點），則稱線段是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖1，點A，，，，，，的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．圖1①在線段，，中，的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是________；②若線段是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則點的坐標(biāo)是________；（2）如圖2，已知點，若直線上存在的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求出的取值范圍．圖2（3）已知中，點，，，直線交軸于點，若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最大值，以及此時的值．

參考答案一、單項選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項最符合題意;每小題2分，共16分）1.【答案】A【分析】本題主要考查二次函數(shù)的頂點式，掌握和理解頂點式，頂點為即可求解．【詳解】解：的頂點坐標(biāo)為，故選：A．2.【答案】D【分析】先將常數(shù)項移到右邊，兩邊再同時加上一次項系數(shù)一半的平方進行配方即可得到答案．【詳解】對進行配方：移項，得：，兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即，得：，整理，得：，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的配方，熟練掌握配方的過程是本題的解題關(guān)鍵．3.【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得的長，然后與比較大小，即可解答本題．本題考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，點D與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個頂點到點的距離．【詳解】解：，，，，是直角三角形，且，點是斜邊的中點，，，如圖，以為圓心，為半徑畫圓，，點A，B，C都不在覆蓋范圍內(nèi)，故選：A．4.【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，拋物線開口向下，圖象上的點離對稱軸越近，其縱坐標(biāo)越大．【詳解】解：開口向下，對稱軸，離對稱軸越近，相對應(yīng)的y值越大，∵，∴，故選：C．5.【答案】B【分析】由勾股定理可求的長，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可證是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵在中，，，，∴，∴，∴，∵將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，此時，點恰好在上，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴點與點的距離是．故選：B．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.【答案】B【分析】連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交點為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：如圖，繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，三條線段的垂直平分線正好都過點，即旋轉(zhuǎn)中心是．故選：B．【點睛】本題考查了學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)頂點到旋轉(zhuǎn)中心的距離應(yīng)相等且旋轉(zhuǎn)角也相等，對稱中心在連接對應(yīng)點線段的垂直平分線上．7.【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，等邊對等角，看到圓相關(guān)的題目要靈活，常常隱含同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，同弧所對的圓周角相等．【詳解】解：A、∵同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，∴，故該選項正確；B、∵，∴，故該選項正確；C、無法證明，故該選項錯誤；D、∵，∴，∵，，∴，故該選項正確；故選：C．8.【答案】B【分析】把和代入，可得解析式為，可得對稱軸為直線，再結(jié)合，，，再建立方程或不等式可判斷①②③，再把代入化簡，結(jié)合多項式的值與某個字母的值無關(guān)可判斷④．【詳解】解：∵拋物線過和，∴，解得：，∴拋物線為：，∴拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時，則，解得：，經(jīng)檢驗，符合題意，故①符合題意；當(dāng)，則，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，恒成立，∴或，故②不符合題意；當(dāng)時，則，∴，∴當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，不等式不成立，故③不符合題意；∵，∴；當(dāng)即，為定值；故④符合題意；故選B【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，多項式的值與某字母的值無關(guān)，理解題意，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．二、填空題（共8道小題，每題2分，共16分）9.【答案】【分析】此題主要考查關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，掌握“關(guān)于原點對稱時，橫縱坐標(biāo)都為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為，故答案為：．10.【答案】10【分析】側(cè)面展開后得到一個半圓，半圓的弧長等于底面圓的周長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)母線長為x，根據(jù)題意得，解得，x=10．故答案為：10【點睛】本題考查了圓錐和扇形的弧長公式，掌握扇形的弧長公式是解題的關(guān)鍵．11.【答案】2【分析】根據(jù)題意將代入一元二次方程，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，解得：．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根的定義，熟練掌握使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．12.【答案】5【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)以及勾股定理即可求解的長．【詳解】解：∵與關(guān)于點成中心對稱∴點在同一直線上，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查中心對稱的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握成中心對稱的圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等的性質(zhì)以及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．13.【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，當(dāng)時，，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根，還要注意二次項系數(shù)不等于0．【詳解】解：由題意得：，解得：，∵，∴的取值范圍是且，故答案為：且．14.【答案】3【分析】連接，首先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)和勾股定理求出，根據(jù)相切可得，由勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，與點相交于D，如圖，∵，，，∴，∵，∴，∵，解得：，∴，∵直線與相切于點，，∴，∴，∵，解得：，∴的半徑是3，故答案為：3．【點睛】本題考查圓的問題，涉及到切點，勾股定理等，看到切點要想到連接半徑．15.【答案】140【分析】先求出∠A的度數(shù)，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BDC的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A=40°，∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDC+∠A=180°，∴∠BDC=140°，故答案為：140．【點睛】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記各定理及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】【分析】作，，證明，推出，當(dāng)D、G、B三點共線時，有最小值，最小值是的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：作于，于，∵是的平分線，∴，∵矩形，，∴，∴A、D、G、E四點共圓，∴，∵，，∴，∴，∴，當(dāng)D、G、B三點共線時，有最小值，最小值是的長，∵，，矩形，∴，，∴，∴的最小值是，故答案為：【點睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共12道小題，17，27，28題，每題7分，18~20，23，24題，每題5分，21題4分，22，25，26題，每題6分，共68分）17.【答案】（1），（2）【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的常用方法（直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解題關(guān)鍵，第一題用直接開平方法更合適，第二問用公式法更合適．【小問1詳解】解：，解得：，【小問2詳解】解：，∴解得：；18.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）計算根的判別式得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）用公式法解方程得到，，結(jié)合此方程恰有一個根小于，則，然后解不等式即可．【小問1詳解】證明：一元二次方程，，，，，此方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】一元二次方程，，，，，，，，此方程恰有一個根小于，，．【點睛】本題考查了根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)時，方程無實數(shù)根，是解答本題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，從而得，再證可得答案；（2）由，知為等邊三角形，即，繼而由，得到，再利用即可得解．【小問1詳解】證明：是等邊三角形，，．線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，．．．在和中，，．【小問2詳解】，，為等邊三角形．，，．．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．20.【答案】見解析【分析】連接OC，證明再證明為等邊三角形，結(jié)合菱形的判定，從而可得結(jié)論.【詳解】證明：連接OC，∵C是的中點，∴＝，又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝×120°＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△AOC與△BOC均是等邊三角形，∴OA＝AC＝OC，BO＝OC＝BC，∴OA＝AC＝BC＝OB，∴四邊形OACB是菱形．【點睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，熟練運用等邊三角形與菱形的判定是解題的關(guān)鍵.21.【答案】（1）點，見解析（2）【分析】（1）讓三角形的各頂點都繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到對應(yīng)點，順次連接，然后從圖形中讀點的坐標(biāo)即可．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變化的規(guī)律，寫出一般式即可．【小問1詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，畫圖如下：則即為所求；此時點．【小問2詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，交換橫縱坐標(biāo)，且橫坐標(biāo)取絕對值后變成縱坐標(biāo)故點旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖，正確理解旋轉(zhuǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）拋物線為：；（2）的取值范圍為：．（3）的解集為：或．【分析】（1）把代入，從而可得答案；（2）先畫函數(shù)的簡易圖象，由圖象可得函數(shù)的最小值為，再結(jié)合與時的函數(shù)值可得答案；（3）先畫出直線，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象在直線的上方可得不等式的解集．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)，它的圖象過點，∴，解得：，∴拋物線為：；當(dāng)時，，∴；【小問2詳解】如圖，畫函數(shù)圖象如下：當(dāng)時，函數(shù)最小值為，當(dāng)時，函數(shù)值，∴當(dāng)時，的取值范圍為：．【小問3詳解】如圖，直線為，∴的解集為：或．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用圖象與直線的交點求解不等式的解集，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．23.【答案】（1）見解析（2）三線合一；經(jīng)過半徑的外端，和半徑垂直的直線是圓的切線【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）利用等腰三角形的三線合一的思想解決問題即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意作圖如下：【小問2詳解】證明：，，，，（三線合一）半徑．直線為的切線（經(jīng)過半徑的外端，和半徑垂直的直線是圓的切線）；【點睛】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，證明切線要記得連接半徑．24.【答案】（1），（2）（3）銷售單價定為70元時，利潤最大，最大利潤是6000元．【分析】（1）將代入一次函數(shù)解析式可得銷售量，然后根據(jù)每件的利潤乘以數(shù)量即為總利潤即可得；（2）根據(jù)利潤=銷售數(shù)量×每件的利潤可得，把代入整理即可得w與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論可得，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得，當(dāng)時，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)時，w有最大值，代入求解即可得．【小問1詳解】解：當(dāng)時，，∴銷售量為400件，利潤為：（元），【小問2詳解】解：由題意得：，，，∴w與x的函數(shù)關(guān)系式為；【小問3詳解】，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，w隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時，w有最大值，最大值為：（元），∴銷售單價定為70元時，利潤最大，最大利潤是6000元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)求最值問題的知識，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）連接，根據(jù)平分得到，再由圓的性質(zhì)得到，即可證明，得到得到答案．（2）過點作，交與點，由垂徑定理得到，易證四邊形是矩形，即可求出半徑的長，從而得到，即可得到答案．【小問1詳解】解：連接，平分，，，，，，，且直線經(jīng)過上的點，直線是的切線；【小問2詳解】解：過點作，交與點，，由垂徑定理得到，，，，四邊形是矩形，，，，，，．【點睛】本題是一道圓的綜合題，主要考查了平行的判定，垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．26.【答案】（1）對稱軸為；（2）（3）或【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和拋物線的對稱軸：解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）利用拋物線的對稱軸公式求出對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可求解．（2）根據(jù)拋物線上點的對稱性，可得拋物線的對稱軸，進而可求解．（3）點關(guān)于對稱軸的對稱點，點關(guān)于對稱軸的對稱點，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得不等式組，解不等式組即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時，，，拋物線的對稱軸為：，，且拋物線的開口向上，．【小問2詳解】當(dāng)時，，，拋物線的對稱軸為：，，解得：，故答案為：．【小問3詳解】由題意知，拋物線的開口向上，對稱軸為：，點關(guān)于對稱軸的對稱點，點關(guān)于對稱軸的對稱點，對于任意，都滿足，解得：或．27.【答案】（1）圖見解析，（2）（3）線段的最小值為【分析】（1）補全圖形如圖，先用含的式子表示和，再利用三角形內(nèi)角和計算求解即可；（2）如圖，連接，，，先證垂直平分，得到是等腰直角三角形，進而證明，得，即可得出結(jié)論；（3）如圖，連接、，交點為，先證是的中位線，得，由三角形三邊關(guān)系知，進而得到當(dāng)點在線段上時，最小，此時，求出結(jié)論即可．【小問1詳解】解：補全圖形如圖，由題意得：，，，，在正方形中，，，，；【小問2詳解】解：，證明如下：如圖，連接，，，由題意得：，，垂直平分，，，，，，在正方形中，，，，，即，，，；【小問3詳解】解：如