江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

連云港市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無(wú)效．3.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合B中的絕對(duì)值不等式，再利用交集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，整理得，因此，集合，所?故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A. B.-2 C. D.-8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法，結(jié)合實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的概念，可得答案.【詳解】，由題意可得，解得.故選：B.3.設(shè)，若函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由判斷出0<a<1，得到函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，從而解出答案.【詳解】，指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，即0<a<1.函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).由得，解得.故選：A4.已知公差不為0的等差數(shù)列的第3，6，10項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意設(shè)出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，利用各自通項(xiàng)公式建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列，公差為，由題意可知成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，可得，兩式作比可得，解得.故選：C5.設(shè)，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件得出，將代數(shù)式與，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，，則，因?yàn)椋瑒t，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.6.若為方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而可得，進(jìn)而切化弦即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛瑒t，，且，則，可得，所以.故選：D.7.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論的符號(hào)，結(jié)合充要條件的等價(jià)性分析判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，即，等價(jià)于，等價(jià)于，即；當(dāng)時(shí)，則不成立，也不成立；當(dāng)時(shí)，則，即成立，等價(jià)于，即；當(dāng)時(shí)，則，即，等價(jià)于，等價(jià)于，即；綜上所述：“”是“”的充要條件.故選：C.8.設(shè)P，A，B，C是球表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，球的體積為，二面角的大小為，則三棱錐的體積為（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球的直徑，由此求得，即得，作，垂足為，連接，是二面角的平面角，，從而可得，即得，再由體積公式可得結(jié)論．【詳解】∵PA，PB，PC兩兩垂直，所以可以把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖，是該長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是其外接球的直徑，由得，所以，作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，同理，又，平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角，所以，由得，而，又，所以，所以，，故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線m，l，平面，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)面面平行傳遞性即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)線性的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于CD：根據(jù)線面平行的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則，故A正確；對(duì)于B：若，則的位置關(guān)系有：平行、相交或異面；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則，故C正確；對(duì)于D：若，則，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將的部分圖象沿軸折成直二面角（如圖所示），若，則（）A.B.C.將的圖象向左平移2個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】AB【解析】【分析】由解析式得周期，結(jié)合圖象可得，借助向量加法與數(shù)量積的運(yùn)算表達(dá).A項(xiàng)，由已知可待定系數(shù)；B項(xiàng)，代入坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)軸附近函數(shù)單調(diào)性，利用待定；C項(xiàng)由平移可求解析式；D項(xiàng)利用降冪公式化簡(jiǎn)解析式，再利用整體角范圍求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】如圖，過(guò)作軸，垂足為，過(guò)作軸，垂足為.由題意可知平面平面，平面平面，又平面，則平面，平面，則，則，故，由，則的周期，A項(xiàng)，由圖象可知，所以，由，解得；B項(xiàng)，由A項(xiàng)可知，.則，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，.，或.由函數(shù)圖象可知，則，所以，故B正確；C項(xiàng)，由AB可知，，即將的圖象向左平移2個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，.由，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在中，點(diǎn)在邊BC上，為AC的中點(diǎn)，BE與AD交于.則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若，則C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)線性運(yùn)算可得求，即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可得，即可判斷；對(duì)于C：根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論可得，即可得結(jié)果；對(duì)于D：可得，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，且，因?yàn)?，可知，即，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，可得，解得，即，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則，即，可得，且，即，解得，且，所以，故D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)根號(hào)下大于等于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則其定義域?yàn)?故答案為：.13.若，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】利用這個(gè)等式來(lái)求解與正切函數(shù)相關(guān)的比值。解題的關(guān)鍵在于將已知條件利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為所求表達(dá)式的形式.【詳解】由得：，所以化簡(jiǎn)得到：，所以；所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將給定的條件與所求表達(dá)式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)正弦和正切的性質(zhì)以及和差化積的公式，最終化簡(jiǎn)求解。這一過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中轉(zhuǎn)化和化歸的思想，即通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)變換，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而求解。在解決這類問(wèn)題時(shí)，熟悉和靈活運(yùn)用三角恒等變換公式是非常重要的.14.若直線是曲線的切線，則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線方程，對(duì)照條件求得，，則，構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)求得其最小值即可.【詳解】由求導(dǎo)得：，設(shè)切點(diǎn)為，則，①，切線方程為，即，由題意，，②，將①代入②，可得：，于是，.設(shè)，則，因，則，由，解得，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，從而的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的最值上的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于已知函數(shù)的切線方程求參問(wèn)題，一般先設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，對(duì)照系數(shù)求得參數(shù)；對(duì)于求函數(shù)的最值問(wèn)題，一般通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即得最值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；（2）法1由余弦定理解出，再由正弦定理和比例關(guān)系求解即可；法2由正弦定理和同角的三角函數(shù)以及兩角和的正弦展開(kāi)求解即可；【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)椋?，所以由正弦定理得，由，所以，得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以.【小問(wèn)2詳解】法1：由余弦定理得，所以.正弦定理得，所以.法2：因?yàn)椋?，，所以由正弦定理得，由知，則為銳角，所以，，所以.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求和：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再由等比數(shù)列的定義得證；（2）用錯(cuò)位相減法求和．【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，有，又時(shí)，，有，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）得數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)則①②①②得：.17.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求橢圓離心率；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），且，若的面積為，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用橢圓上的點(diǎn)求出，可求橢圓的離心率；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和的面積求出的值，再利用韋達(dá)定理和求出的值.【小問(wèn)1詳解】由橢圓過(guò)知，將代入方程，得，求得，則．所以橢圓的離心率.【小問(wèn)2詳解】由（1）知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，F(xiàn)1,0,當(dāng)直線的傾斜角為0時(shí)，B、M、N共線，不合題意．當(dāng)直線的傾斜角不為0時(shí)，設(shè).得，有，的面積為，由的面積為，知，解得.由，知．當(dāng)時(shí)，，得解得或.同理，當(dāng)時(shí)，或．綜上，或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．18.在四棱錐中，，，，.（1）如圖1，在側(cè)面內(nèi)能否作一條線段，使其與平行？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出作圖過(guò)程并給出證明；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，若平面，證明：平面；（3）在（2）的條件下，E為棱上的點(diǎn)，二面角的大小為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）不能，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用反證法，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)線面垂直判定定理，結(jié)合佘弦定理與勾股定理，可得答案；（3）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用面面角與線線角的向量公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】不能.假設(shè)在側(cè)面內(nèi)存在直線與平行，可得與側(cè)面平行.依據(jù)線面平行性質(zhì)定理，可得與平行，這與已知條件矛盾.【小問(wèn)2詳解】在底面中，，所以，又，，由余弦定理得，所以，得因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又，平面，所以平?【小問(wèn)3詳解】過(guò)點(diǎn)作直線垂直平面，以為原點(diǎn)，分別為x，y軸正方向，為軸，向上為正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，因?yàn)闉槔馍系狞c(diǎn)，設(shè)，取，設(shè)平面的法向量為，則，令得，則平面BDE的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量，因?yàn)槎娼堑拇笮椋?，?則，設(shè)直線BE與PC所成角為，則，所以異面直線BE與PC所成角的余弦值為.19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；（3）若，且，證明：.【答案】（1）（2）兩個(gè)，證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分析的單調(diào)性，然后確定出最小值；（2）分類討論在和上的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）先根據(jù)極值點(diǎn)偏移的證明思路先證明，再結(jié)合范圍通過(guò)轉(zhuǎn)化法證明，由此可證明不等式.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)椋?，由，得增區(qū)間為，得減區(qū)間為，故在處取得最小值．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故，由的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由在單調(diào)遞減，且圖象在上連續(xù)不斷，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．下面證明，令，又，當(dāng)單調(diào)遞減，故，故，由在單調(diào)遞增，且圖象在上連續(xù)不斷，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)．【小問(wèn)3詳解】先證，由在遞減，在遞增，時(shí)，不妨設(shè)，令，則，故在遞增，則有，即，有，則有，又，且在遞增，故有，則有成立；再證，由上可得，得，則有，，要證，即證，