第十四章整式乘法與因式分解教案

第十四章整式的乘法與因式分解

14.1.1同底數(shù)幕的乘法

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

在推理判斷中得出同底數(shù)暴乘法的運算法則，并掌握“法則”的應用.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索同底數(shù)幕的乘法運算性質(zhì)的過程，感受累的意義，發(fā)展推理能力

和表達能力，提高計算能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

在小組合作交流中，培養(yǎng)協(xié)作精神、探究精神，增強學習信心.

重、難點與關鍵

1.重點：同底數(shù)累乘法運算性質(zhì)的推導和應用.

2.難點：同底數(shù)幕的乘法的法則的應用.

預習導航：幕的運算中的同底數(shù)界的乘法教學，要突破這個難點，必須引

導學生，循序漸進，合作交流，獲得各種運算的感性認識，進而上各項到理性

上來，提醒學生注意一￡與（一a）2的區(qū)別.

教學方法

采用“情境導入一探究提升”的方法，讓學生從生活實際出發(fā)，認識同

底數(shù)幕的運算法則.

教學過程

I、提出問題，創(chuàng)設情境

復習an的意義：

即表示n個a相乘，我們把這種運算叫做乘方.乘方的結臭叫寤；a叫做

底數(shù)，n是指數(shù).

（出示投影片）

提出問題：

（出示投影片）

問題：一種電子計算機每秒可進行10%次運算，它工作1（）3秒可進行多少

次運算？

［師］能否用我們學過的知識來解決這個問題呢？

［生］運算次數(shù):運算速度X工作時間

所以計算機工作103秒可進行的運算次數(shù)為：1012x1（）3.

［師］1012x103如何計算呢？

［生］根據(jù)乘方的意義可知

1012X103=(10X［JD<10)X(10X10X10)=(lOxlOxfUftlO)=1015.

1___J、___J

12個1015個10

［師］很好，通過觀察大家可以發(fā)現(xiàn)10AIO?這兩個因數(shù)是同底數(shù)騫的形式,

所以我們把像1012x103的運算叫做同底數(shù)累的乘法.根據(jù)實際需要，我們有必

要研究和學習這樣的運算一同底數(shù)基的乘法.

n.導入新課

1.做一做

出示投影片：

計算下列各式：

⑴25X22

(2)a3-a2

(3)5m.5n(m、n都是正整數(shù))

你發(fā)現(xiàn)了什么？注意觀察計算前后底數(shù)和指數(shù)的關系，并能用自己的

語言描述.

［師］根據(jù)乘方的意義，同學們可以獨立解決上述問題.

［生］(1)25X22=(2X2X2X2X2)X(2X2)

=27=25+2.

因為25表示5個2相乘,；22表示2個2相乘，根據(jù)乘方的意義，同樣道

理可得

a3-a2=(a-a-a)?(a-a)=a5=a3+2.

5m-5n=(5x5x［?5)x(5x5x［］D<5)=5m+n.

、___/1___/

ni個5n個5

(讓學生自主探索，在啟發(fā)性設問的引導下發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言敘

述).

［生］我們可以發(fā)現(xiàn)下列規(guī)律：

(一)這三個式子都是底數(shù)相同的鼎相乘.

(二)相乘結果的底數(shù)與原來底數(shù)相同，指數(shù)是原來兩個累的指數(shù)的和.

2.議一議

出示投影片

am4等于什么(m、n都是正整數(shù))？為什么？

［師生共析］

臚表示同底數(shù)幕的乘法.根據(jù)幕的意義可得：

am-an=(6fMIU［］a)?(aEizDUDa)=aLMQIla=am+n

、*v*/J.\Z./>/

m個an個a(trrt-n)個a

于是有am.a『am+n(m、n都是正整數(shù))，用語言來描述此法則即為：

“同底數(shù)哥相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”.

［師］請同學們用自己的語言解釋“同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”

的道理，深刻理解同底數(shù)幕的乘法法則.

［生］am表示n個a相乘，a11表示n個a相乘，am.a11表示m個a相乘再乘以

n個a相乘，也就是說有(m+n)個a相乘，根據(jù)乘方的意義可得am?an=am+n.

［師］也就是說同底數(shù)累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)要降一級運算，變?yōu)橄嗉?

3.例題講解

出示投影片

［例1］計算：

(1)x2x5(2)a-a6

(3)2X24X23(4)x叫x3m+i

［例2］計算Wa>aP后，能找到什么規(guī)律？

［師］我們先來看例1,是不是可以用同底數(shù)幕的乘法法則呢？

［生1］(1)、(2)、(4)可以直接用“同底數(shù)暴相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”

的法則.

［生2］(3)也可以，先算2個同底數(shù)累相乘，將其結果再與第三個累相乘,

仍是同底數(shù)球相乘，再用法則運算就可以了.

［師］同學們分析得很好.請自己做一遍.每組出一名同學板演，看誰算得

又準又快.

生板演：

(1)解：x2-x5=x2+5=x7.

(2)解：a-a^a'-a^a'^a7.

(3)解：2X24X23=2I+4-23=25-23=25+3=28.

(4)解.x1n.x3m+l=xm+(3m+l)=x4m+l

［師］接下來我們來看例2.受(3)的啟發(fā)，能自己解決嗎？?與同伴交流一

下解題方法.

解法一：am-an-ap=(am-an)-ap

=am+n-ap=am+n+p；

解法二:am-an-ap=a,n-(an-ap)=am-an+p=ani+n+p.

解法三：am-an-ap=〃％口皿。?a［JaOWa-aOzDITDa

_^m+n+p

評析；解法一與解法二都直接應用了運算法則，同時還用了乘法的結合律;

解法三是直接應用乘方的意義.三種解法得出了同一結果.我們需要這種開拓

思維的創(chuàng)新精神.

［生］那我們就可以推斷，不管是多少個冢相乘，只要是同底數(shù)累相乘，

就一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

［師］是的，能不能用符號表示出來呢？

,???amn=am1+m2+mn

［師］太棒了.那么例1中的第(3)題我們就可以直接應用法則運算了.

2X24X23=2,+4+3=28.

ni.隨堂練習

1.課本P96練習

IV.課時小結

［師］這節(jié)課我們學習了同底數(shù)事的乘法的運算性質(zhì)，請同學們談一下有何

新的收獲和體會呢？

［生］在探索同底數(shù)累乘法的性質(zhì)時，進一步體會了事的意義.了解了同底

數(shù)曷乘法的運算性質(zhì).

［生］同底數(shù)騫的乘法的運算性質(zhì)是底數(shù)不變，指數(shù)相加.應用這個性質(zhì)時,

我覺得應注意兩點：一是必須是同底數(shù)事的乘法才能運用這個性質(zhì)；二是運用

這個性質(zhì)計算時一定是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am.an=am+n(小、n是正整數(shù)).

V.課后作業(yè)

1.課本P104習題14.1—1.(1)、(2),2.(1).

板書設計

§15.2.1同底數(shù)累的乘法

一、計算機運算次數(shù)：1012X1()3

計算10i2xi03=a0xl0x[Bd0)x(10x10x10)=10xl0xm<10=10

'i?bio'15個10

二、算一算，找規(guī)律

I.25X22=(2X2X2X2X2)X(2X2)

二(2x2x[W2)=27；

2.a3-a2=(a-a-a)?(a-a)=a-a-a-a-a=a5；

3.5m.5n=(5x5X[K<5)X(5X5x|?5)=5x5x[?5=5m+n

、___J1___/、V/

m^5n個5個5

三、同底數(shù)累的乘法法則：

同底數(shù)累相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.即am.a?am+n(m、n都是正整數(shù))

四、例題講解：(由學生板演)

14.1.2-的乘方

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

理解累的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會和鞏固寤的意義；通過推理得出累

的乘方的運算性質(zhì)，并且掌握這個性質(zhì).

2.過程與方法

經(jīng)歷一系列探索過程，發(fā)展學生的合情推理能力和有條理的表達能力，通

過情境教學，培養(yǎng)學生應用能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生合作交流意義和探索精神，讓學生體會數(shù)學的應生價值.

重、難點與關鍵

1.重點：幕的乘方法則.

2.難點：塞的乘方法則的推導過程及靈活應用.

預習導航：在引導這個推導過程時，步步深入，層層引導，要求對性質(zhì)深

入地理解.

教學方法

采用“探討、交流、合作”的教學方法，讓學生在互動交流中，認識幕的

乘方法則.

教學過程

一、探索練習：

個

1、6,表示—一

個

（6丁表示一

a?表示個

個

6）3表示

在這個練習中，要引導學生觀察，推測（6?）,與（aT的底數(shù)、指數(shù)。并用

乘方的概念解答問題。

2、（62）-X_________X_______X

二（根據(jù)-a"二?。?/p>

(33)JX______X_______X_________X

=(根據(jù)a**a=am')

(a2)3=XX

=(根據(jù)an?a"=ann)

(a)2=X

(根據(jù)—

(ara)-X______X-X_______X

:(根據(jù)a"?a^a")

即(1)n=(其中m、n都是正整數(shù))

通過上面的探索活動,發(fā)現(xiàn)了什么？

募的乘方，底數(shù)__________，指數(shù)___________.

學生在探土練習的指引下，‘自主的完成有關的練習，并在練習中發(fā)現(xiàn)幕的乘

方的法則，從猜測到探索到理解法則的實際意義從而從本質(zhì)上認識、學習塞的乘

方的來歷。教師應當鼓勵學生自己發(fā)現(xiàn)累的乘方的性質(zhì)特點(如底數(shù)、指數(shù)發(fā)

生了怎樣的變化)并運用自己的滔言進行描述。然后再讓學生回顧這一性質(zhì)的

得來過程，進一步體會累的意義。

二、鞏固練習：

1、1、計算下列各題：

(1)(103)3(2)[(￡)3]4(3)[(-6)3]4

(4)(x2)5(5)—(a2)7(6)—(as)3

(7)(x3)4?x2(8)2(x2)n-(xn)2

(9)[(x2)3]7

學生在做練習口寸，不耍鼓勵他們直接套用公式，而應讓學生說明每步的運

算理由，進一步體會乘方的意義與哥的意義。

2、判斷題，錯誤的予以改正。

(1)a5+a5=2a10()

(2)(s3)3=x6()

(3)(-3)2?(-3)4=(-3)6=-36()

(4)x3+y3=(x+y)3()

26

(5)[(m-n)3]4r(m-n)]=0()

學生通過練習鞏固剛剛學習的新知識。在此基礎上加深知識的應用.

提高練習：

1、1、計算5(P3)4?(-P2)3+2[(-P)2]4?(-P5)2

[(_[)m]2r+]m-1+02002_(_])1990

2、若(x2)n=x8,則m=.

3、、若[(x?)m]2=x12,貝Jm=o

4、若xm?x2ni=2,求x9m的值。

5、若a2』3,求(a?11)，的值。

6、已知am=2,an=3,^J<a2m+5n的值.

【教師活動】巡視、關注中等、中下的學生。

【學生活動】書面練習、板演.

四、課堂總結，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.事的乘方(I)n=ann(m,n都是正整數(shù))使用范圍：幕的乘方.方法：

底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

2.知識拓展：這里的底數(shù)、指數(shù)可以是數(shù)，可以是字母，也可以是單項

式或多項式.

3.幕的乘方法則與同底數(shù)累的乘法法則區(qū)別在于，一個是“指數(shù)相乘”，

一個是“指數(shù)相加”.

五、布置作業(yè)：

1.課本P104習題14.1第1(3)、(4)題.

2.附加練習

[-(x+y)4，(a向)2X(a2n+1)3(-32)3a3Xa4Xa+(a2)'+2(a4)2

(x^)2X(-x^)3+x^nX(-x3)m

計算：-X2-X2?(x2)3+x,0.

六、板書設計

15.1.2暴的乘方

1、第的乘方的乘法法則例：計算練習：

豪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(D(103)5(2)(b3)%

(3)(xn)3(4)一(x7)

即(aB)中(m,n都是正整數(shù))

14.1.3積的乘方

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

通過探索積的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會和鞏固幕的意義，在推理得出

積的乘方的運算性質(zhì)的過程中，領會這個性質(zhì).

2.過程與方法

經(jīng)歷探索積的乘方的過程，發(fā)展學生的推理能力和有條理的表達能力，培

養(yǎng)學生的綜合能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過小組合作與交流，培養(yǎng)學生團結協(xié)作的精神和探索精神，有助于塑造

他們挑戰(zhàn)困難，挑戰(zhàn)生活的勇氣和信心.

重、難點與關鍵

1.重點：積的乘方的運算.

2.難點：積的乘方的推導過程的理解和靈活運用.

3.關鍵：要突破這個難點，教師應該在引導這個推導過程時，步步深入，

層層引導，而不該強硬地死記公式，只有在理解的情況下，才可以對積的乘方

的運算性質(zhì)靈活地應用.

教學方法

采用“探窕一交流一合作”的方法，讓學生在互動中掌握知識.

教學過程

(一)回顧舊知識

1.同底數(shù)嘉的乘法

2.哥的乘方

(二)創(chuàng)設情境，引入新課

1.問題：已知一個正方體的棱長為ZXlCTcm,你能計算出它的體積是多少嗎？

2.學生分析(略)

3.提問：

體積應是V=(2X10s)'em3,結果是累的乘方形式嗎？底數(shù)是2和我的乘

積，雖然IO?是幕，但總體來看，它是積的乘方。積的乘方如何運算呢？能不能

找到一個運算法則？有前兩節(jié)課的探究經(jīng)驗，請同學們自己探索，發(fā)現(xiàn)其中的

奧秒.

(三)自主探究，引出結論

1.填空，看看運算過‘程用到哪些運算律，從運算結果看能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)(ab)&二(ab)?(ab)=(a?a)?(b?b)=a(b!

(2)(ab)3==______=a(b)

(3)(ab)n==才,b<)(n是正整數(shù))

2,分析過程：

(1)(ab)2=(ab)?(ab)=(a?a)?(b?b)=a2b2,

(2)(ab)3=(ab)?(ab)?(ab)=(a?a?a)?(b?b?b)=a3b3；

(3)(ab)=(。8)0：。6)口皿［1。人)二(。5口皿&)?(妊口皿出)二或9

J_JI_JJ__rJ

3.得到結論:

積的乘方：(ab)n=an?bn(n是正整數(shù))

把積的每一個因式分別乘方，再把所得的募相乘，也就是說積的乘方等于嘉

的乘積.

4.積的乘方法則可以進行逆運算.即：

a?bn=(ab)n(n為正整數(shù))[2]

an-bn=(aM[l]Qi)?SMM□歷)——累的意義

二伍歷次〃歷)口皿(1。歷)——乘法交換律、結合律

n個⑸b)

=(a?b)n---乘方的意義

5.[例3]計算

(1)(2a)3=23-a3=8a3.

(2)(-5b)3=(-5)3.b3=-125b3.

(3)(xy2)2=x2-(y2)2=x2-y2x2=x2-y4=x2y4.

(4)(-2x3)4=(-2)冬(x3)4=16-X3X4=16X12.

(學生活動時，老師要深入到學生中，發(fā)現(xiàn)問題，及時啟發(fā)引導，使各個

層面的學生都能學有所獲)

[師]通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)了積的乘方的運算法則，并能做簡單的應用.

可以作如下歸納總結：

1.積的乘方法則：積的乘方等于每一個因式乘方的積.即(ab)11=a'bn

(n為正整數(shù)).

2.三個或三個以上的因式的積的乘方也具有這一性質(zhì).$0(abc)n=an-bn-cn

(n為正整數(shù)).

3.積的乘方法則也可以逆用.BPan-bn=(ab)n,an-bn-cn=(abc)%(n為

正整數(shù)).

(四)、隨堂練習，鞏固深化

課本P98練習.

【探研時空】

計算下列各式：

(1)(--)2*(--)5；(2)(a-b)3-(a-b)4；

55

(3)(-a5)5；(4)(-2xy)4；

(5)(3a2)n；(6)(xy3n)2-[(2x)2]3；

(7)(x4)6-(x3)8；(8)-p?(-p)\

(9)(tm)2-t；(10)(a2)3-(a)2.

(五)、課堂總結，發(fā)展?jié)撃?/p>

本節(jié)課注重課堂引入，激發(fā)學生興趣，“良好開端等于成功一半”.

1.積的乘方(ab)n=anbn(n是正整數(shù))，使用范圍：底數(shù)是積的乘方.方

法：把積的每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

2.在運用累的運算法則時，注意知識拓展，底數(shù)和指數(shù)可以是數(shù)，也可

以是整式，對三個以上因式的積也適用.

3.要注意運算過程，注意每一步依據(jù)，還應防止符號上的錯誤.

4.在建構新的法則時應注意前面學過的法則與新法則的區(qū)別和聯(lián)系.

(六)、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P104習題14.1第1(5)、(6)2(2)、(3)、(4)題.

2.選做題

2(x3)2?x3-(3x3)3+(5x)2?x7(3xy2)2+(-4xy3)?(-xy)

(-2x3)3>(lx2)2

2

(-x2y)3+7(x2)2?(~x)2?(-y)3[(m-n)3]p?[(m-n)(m-n)p]5

(0.125)7x6(0.25J8X4102mX4"X(l)m

8

已知10m=5,10n=6,求10加命的值

(七)、板書設計

14.1.3積的乘方

積的乘方的乘法法則例：練習：

積的乘方把積的每一個因式(1)(ab)23

分別乘方，再把所得的暴相乘.(2)(ab)4

即(ab)(n是正整數(shù))(3)(ab)n

14.1.4單項式乘以單項式

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

理解整式運算的算理，會進嚀簡單的整式乘法運算.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索單項式乘以單項式的過程，體會乘法結合律的作用和轉(zhuǎn)化的思想,

發(fā)展有條理的思考及語言表達能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生推理能力、計算能力，通過小組合作與交流，增強協(xié)作精神.

重、難點與關鍵

1.重點：單項式乘法運算法則的推導與應用.

2.難點：單項式乘法運算法則的推導與應用.

3.關鍵：通過創(chuàng)設一定的問題情境，推導出單項式與單項式相乘的運算

法則，可以采用循序漸進的方法突破難點.

教學方法

采用“情境一探究”的教學方法，讓學生在創(chuàng)設的情境之中自然地領悟

知識.

教學過程

(一)知識回顧：回憶累的運算性質(zhì)：

am-an=a"n(a)n=ann(ab)n=aV(m,n都是正整數(shù))

(二)創(chuàng)設情境，引入新課

[1]問題：光的速度約為3X10'千米/秒，太陽光照射到地球上需要的時間大

約是5XIO?秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎？

[21學生分析解決：(3X105)X(5X102)=(3X5)X(105X102)=15X107

【3】.問題的推廣：如果將上式中的數(shù)字改為字母，即ac5?bd如何計算？

ac5?be2

=(a?c°)?(b?c2)

=(a?b)?(c5?c2)

=abc5+2

=abc"

(三)自己動手，得到新知

1.類似地，請你試著計算：(l)2c5?5c2；(2)(-5a2b3)-(-4b2c)

2.得出結論：單項式與單項式相乘：把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對

于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

二、范例學習，應用所學

【例1】計算.

(1)3x2y?(—2xy3)(2)(—5a2b3)?(—4b2c)

【思路點撥】例1的兩個小題，可先利用乘法交換律、結合律變形成數(shù)與

數(shù)相乘，同底數(shù)基與同底數(shù)事相乘的形式，單獨一個字母照抄.

【例2】衛(wèi)星繞地球運動的速度(即第一宇宙速度)約為7.9X10,米/秒，

則衛(wèi)星運行3XIO'"秒所走的路程約是多少？

【教師活動工引導學生參與到例1,例2的解決之中.

【學生活動】參與到教師的講例之中，鞏固新知.

三、問題討論，加深理解

【問題牽引】

1.a-a可以看作是邊長為a的正方形的面積，a?ab又怎樣理解呢？

2.想一想，你會說明a?b,3a?2a以及3a?5ab的幾何意義嗎？

【教師活動】問題牽引，引導學生思考，提問個別學生.

【學生活動】分四人小組，合作學習.

—H木利。?曲

2a一而積

四、隨堂練習，鞏固深化

課本P99練習第1、2題.

五、課堂總結，發(fā)展?jié)撃?/p>

本節(jié)內(nèi)容是單項式乘以單項式，重點是放在對運算法則的理解和應用上.

提問：(1)請同學們歸納出單項式乘以單項式的運算法則.

(2)在應用單項式乘以單項式運算法則時應注意些什么？

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P104習題15.1第3題.

2.附加練習：

1.小民的步長為a米，他量得家里的臥室長15步，寬14步，這間臥室的

面積有多少平方米？

2.2c^bc2\-2ab2)(-3x3)2-x3

(-10xy3)(2xy*z)(-2xy2)(~3x2y3)(--xy)

4

3.3(x-y)2*[—(y-x)3K--(x-y)4]

152

4.判斷：單項式乘以單項式，結果一定是單項式()

兩個單項式相乘，積的系數(shù)是兩個單項式系數(shù)的積()

兩個單項式相乘，積的次數(shù)是兩個單項式次數(shù)的積()

兩個單項式相乘，每一個因式所含的字母都在結果里出現(xiàn)()

5.計算：0.4x2y?(-xy)2-(-2x)3?xy3

2

6.已知玳=2,a=3,求(我+丁的值

求證：52?32n+1?2n-3n?6n+2能被13整除

七、板書設計

14.1.4單項式乘以單項式

1、單項式乘以單項式的乘法法則例l：(l)3x2y?(—2xyb練習:

把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，(2)(—5a2b3)?(—4bJc)

對于只在一個單項式里含有的字母，例2衛(wèi)星繞地球運動的速度

則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.約為7.9X10)米/秒，則衛(wèi)星運行

3X10，'秒所走的路程約是多少？

14.1.4單項式與多項式相乘

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

讓學生通過適當嘗試，獲得一些直接的經(jīng)驗，體驗單項式與多項式的乘法

運算法則，會進行簡單的整式乘法運算.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索單項式與多項式相乘的運算過程，體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化

思想，發(fā)展有條理地思考及語言表達能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的探究意識與合作交流的能力，體會整式運算的應生價值.

重、難點與關鍵

1.重點：單項式與多項式相乘的法則.

2.難點：整式乘法法則的推導與應用.

3.關鍵：應用乘法分配律把單項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化到單項式與單項式

相乘上來，注意知識遷移.

教學方法

采用“情境一探究”教學方法，讓學生直觀地理解單項式與多項式相乘

的法則.

教學過程

一、回顧交流，課堂演練

1.口述單項式乘以單項式法則.

2.口述乘法分配律.

3.課堂演練，計算：

I0

(1)(-5x)?(3x)2(2)(―3x)?(-X)(3)-xy-—xy2

33

(4)—5m"?(--mn)(5)--x4y6-2x2y?(——x2y5)

52

【教師活動】組織練習，關注中下水平的學生.

【學生活動】先獨立完成上述“演練題”，再相互交流，部分學生上臺演示.

二、創(chuàng)設情境，引入新課

小明作了一幅水彩畫，所用紙的大小如圖1,她在紙的左右兩邊各留了

6

米的空白，請同學們列出這幅畫的畫面面積是多少？

【學生活動】小組合作，討論.

上米什米

Q米

砌米

【教師活動】在學生討論的基礎上，提問個別學生.

【情境問題2】夏天將要來臨，有3家超市以相同價格n(單位：元/臺)

銷售A牌空調(diào)，他們在一年內(nèi)的銷售量(單位：臺)分別是x,y,z,請你采

用不同的方法計算他們在這一年內(nèi)銷售這種空調(diào)的總收入.

【學生活動】分四人小組，與同伴交流，尋求不同的表示方法.

方法一：首先計算出這三家超市銷售A牌空調(diào)的總量(單位：臺)，再計

算出總的收入(單位：元).

即：n(x+y+z).

方法二：采用分別計算出三家超市銷售A牌空調(diào)的收入，然后再計算出他

們的總收入(單位：元).

即：nx+ny+nz.由此可得：n(x+y+z)=nx+ny+nz.

【教師活動】引導學生在不同的代數(shù)式呈現(xiàn)中，找到規(guī)律：單項式與多項

式相乘，就是用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加.

三、范例學習，應用所學

［例1］計算：(-2a?)-(3ab2-5ab3).

解:原式=(-2a2)(3ab2)一(-2a2)?(5ab3)

=-6a3b2+10a3b3

【例2】化簡：—3x2?(-xy-y2)—lOx?(x2y—xy2)

3

解：原式二-x'y+3x2y2—lOx'y+lOx2y之

=-llx3y+13x2y2

【例3】解方程:8x(5-x)=19-2x(4x-3)

40X~8X2=19-8X2+6X

40x—6x=19

34x=19

四、隨堂練習，鞏固深化

課本P100練習.

【探研時空】

計算：(1)5x2(2x2—3X3+8)(2)—16x(x2—3y)

(3)—2a2(—ab2+b1)(4)(—x2y3—16xy)?—xy2

232

【教師活動】巡視，關注中差生.

五、課堂總結，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.單項式與多項式相乘法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘

多項式的每一項，再把所得的積相加.

2.單項式與多項式相乘，應注意(1)“不漏乘”；(2)注意“符號”.

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P105習題14.1第4題.

2.附加練習

1.^(-5an+,b2n-1)(2anbB)=-10a4b4,則m-n的值為

2.計算：(a3b)2(a2b)3

3.計算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

4.計算：(?［孫)?(：孫2-2個+1、)

7

5.計算：(-3xy)(5x2y)+6x2(-xy2-2y2)

6.已知a=2,b=3,求-ab)-ab2(2a2+3ab-2a)的值

7.解不等式：2x(x+1)-(3x-2)x+2x2)x2-1

8.若2x?一3彳+m與/+〃優(yōu)一2的和中不含4項，求小的值，并說明不

論x取何值，它的值總是正數(shù)

七、板書設計

14.1.4單項式乘以多項式

1、單項式乘以多項式的乘法法則例1計算：練習

單項式與多項式相乘，就是用單項(—2a2)?(3ab2—5ab3).

式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.例2化簡：

注意(1)“不漏乘”；(2)注意“符號”.—3x2?(-xy—y2)—lOx,(x2y—xy2)

3

14.1.4多項式與多項式相乘

課型：新授

教學目標

1.知識與技能

讓學生理解多項式乘以多項式的運算法則，能夠按多項式乘法步驟進行簡

單的乘法運算.

2.過程與方法

經(jīng)歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的推理過程，體會其運算的算理.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過推理，培養(yǎng)學生計算能力，發(fā)展有條理的思考，逐步形成主動探索的

習慣.

重、難點與關鍵

1.重點：多項式與多項式的乘法法則的理解及應用.

2.難點：多項式與多項式的乘法法則的應用.

3.關鍵：多項式的乘法應先轉(zhuǎn)化為單項式與多項式相乘而后再應用已學

過的運算法則解決.

教學方法

采用“情境一探索”教學方法，讓學生在設置的情境中，通過操作感知

多項式與多項式乘法的內(nèi)涵.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，操作感知

【動手操作】

首先，在你的硬紙板上用直尺畫出一個矩形，并且分成如下圖1所示的四

部分，標上字母.

【學生活動】拿出準備好的硬紙板，畫出上圖1,并標上字母.

mb

【教師活動】要求學生根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求一下這個矩形的面積.

【學生活動】與同伴交流，計算出它的面積為：(m+b)X(n+a).

【教師引導】請同學們將紙板上的矩形沿你所畫豎著的線段將它剪開，分

成如下圖兩部分，如圖2.剪開之后，分別求一下這兩部分的面積，再求一下

它們的和.

n

a

nt

【學生活動】分四人小組，合作探究，求出第一塊的面積為m(n+a),第

二塊的面積為b(n+a),它們的和為in(n+a)+b(n+a).

【教師活動】組織學生繼續(xù)沿著橫的線段剪開，將圖形分成四部分，如圖3,

然后再求這四塊長方形的面積.

n2

4

~b

【學生活動】分四人小組合作學習，求出Si=mn；S2=nb；S；=am；S4=ab,

它們的和為S=mn+nb+am+ab.

【教師提問】依據(jù)上面的操作，求得的圖形面積，探索(m+b)(n+a)應該

等于什么？

【學生活動】分四人小組討論，并交流自己的看法.

(m+b)X(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab,因為我們?nèi)斡嬎?/p>

是按照不同的方法對同一個矩形的面積進行了計算，那么，兩次的計算結果應

該是相同的，所以(m+b)X(n-a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.

【師生共識】多項式與多項式相乘，用第一個多項式的每一項乘以另一個

多項式的每一項，再把所得的結果相加.

-E-r佃+W)+6)

字母呈現(xiàn)：三/=ma+mb+na+nb.

二、范例學習，應用所學

［例1］計算：(1)(x+2)(x-3)(2)(3x-l)(2x+l)

【例2】計算：(1)(X—3y)(x+7y)(2)(2x+5y)(3x—2y)

【例3】先化簡，再求值：

(a—3b)2+(3a+b)2—(a+5b)2+(a—5b)2,其中a=—8,b=-6.

【教師活動】例1?例3,啟發(fā)學生參與到例題所設置的計算問題中去.

【學生活動】參與其中，領會多項式乘法的運用方法以及注意的問題.

三、隨堂練習，鞏固新知

課本P102練習第1、2題.

【探究時空】

一塊長m米，寬n米的玻璃，長寬各裁掉a米后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺

面(玻璃與臺面?樣大小)，問臺面面積是多少？

四、課堂總結，發(fā)展?jié)撃?/p>

1,多項式與多項式相乘，應充分結合導圖中的問題來理解多項式與多項

式相乘的結果，利用乘法分配律來理解(m+n)與(a+b)相乘的結果，導出多

項式乘法的法則.

2,多項式與多項式相乘，第一步要先進行整理，在用一個多項式的每一

項去乘另一個多項式的每一項時，要“依次”進行，不重復，不遺漏，且各個

多項式中的項不能自乘，多項式是幾個單項式的和，每一項都包括前面的符號,

在計算時要正確確定積中各項的符號.

五、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P105習題14.1第5、7、9、10題.

2.備用題

(x+2)(x+3)—x(x+1)(22

1.

(x-l)(x+6)〉(x+5)(x+2)

2.求證：對于任意自然數(shù)〃，〃伽+5)-(〃-3)(〃+2)的值都能被6整除

3.計算：(x+ZyT)〉

4.已知x?-2x=2,將下式化簡，再求值.

(x-l)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

5.小明找來一張掛歷畫包數(shù)學課本.已知課本長a厘米，寬b厘米，厚c

厘米，小明想將課本封面與封底的每一邊都包進去m厘米.問小明應該在掛歷

畫上裁下多大面積的長方形？

六、板書設計

14.1.4多項式乘以多項式

1、多項式乘以多項式的乘法法則［例1］計算：

用一個多項式的每一項依次去乘(1)(x+2)(x-3)(2)(3x-l)(2x+l)

另一個多項式的每一項【例2】計算:

注：1各個多項式中的項不能自乘(1)(x3y)(x*7y)(2)(2x?5y)(3x2y)

2每一項都包括前面的符號【例3】先化簡，再求值：

(a—3b)2+(3a+b)2~(a+5b)2+(a—5b)2,

其中a=—8,b=—6.

14.L4同底數(shù)塞的除法

教學目標

(一)教學知識點

1.同底數(shù)幕的除法的運算法則及其應用.

2.同底數(shù)幕的除法的運算算理.

(二)能力訓練要求

1.經(jīng)歷探索同底數(shù)幕的除法的運算法則的過程，會進行同底數(shù)辱的除法運

算.

2.理解同底數(shù)幕的除法的運算算理，發(fā)展有條理的思考及表達能力.

(三)情感與價值觀要求

1.經(jīng)歷探索同底數(shù)累的除法運算法則的過程，獲得成功的體驗，積累豐

富的數(shù)學經(jīng)驗.

2.滲透數(shù)學公式的簡潔美與和諧美.

教學重點

準確熟￡地運用同底數(shù)察的除法運算法則進行計算.

教學難點

根據(jù)乘:除互逆的運算關系得出同底數(shù)累的除法運算法則.

教學方法

探索討論、歸納總結的方法.

教具準備

投影片.

教學過程

I.提出問題，創(chuàng)設情境

［師］出示投影片

i.敘述同底數(shù)幕的乘法運算法則.

2.問題：種數(shù)碼照片的文件大小是2%,個存儲量為26M

的移動存儲器能存儲多少張這樣的數(shù)碼照片？

［生］1.同底數(shù)第相乘，指數(shù)相加，底數(shù)不變.即：a-an=aB，n(m、n是正

整數(shù)).

2.移動器的存儲量單位與文件大小的單位不一致，所以要先統(tǒng)一單位.移

動存儲器的容量為26X2』2'.所以它能存儲這種數(shù)碼照片的數(shù)量為2怖?28.

［生］2,2,是同底數(shù)幕，同底數(shù)累相除如何計算呢？

［師］這正是我們這節(jié)課要探究的問題.

II.導入新課

［師］請同學們做如下運算：

1.(1)28X28(2)52X53

(3)102X105(4)a3?a3

2.填空;

(1)()-28=2胎

(2)()-5=55

(3)()?105=107

(4)()?a3=a6

［生］1.(1)28X28=216

(2)52X53=55

(3)102X105=107

(4)a3?a3=a6

2.除法與乘法兩種運算互逆，要求空內(nèi)所填數(shù)，其實是一種除法運算，

步以這四個小題等價于：

(1)2164-28=()

(2)554-53=()

(3)1074-105=()

(4)a6-?a3=()

再根據(jù)第1題的運算，我們很容易得到答案：(1)2'；(2)52；(3)102；

(4)a3.

［師］其實我們用除法的意義也可以解決，請同學們思考、討論.

［生］(1)2164-28

(2)554-53=

(3)1074-105

(4)a64-a3=

［師］從上述運算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關系？

(學生以小組為單位，展開討論，教師可深入其中，及時發(fā)現(xiàn)問題)

［生甲］我們可以發(fā)現(xiàn)同底數(shù)零相除，如果還是寤的形式，而且這個事的底

數(shù)沒有改變.

［生乙］指數(shù)有所變化.(1)8=16-8；(2)2=5-3；(3)2=7-5；(4)3=6-3.所

以商的指數(shù)應該等于被除數(shù)的指數(shù)減去除數(shù)的指數(shù).

［生丙］這說明同底數(shù)幕的除法與同底數(shù)幕的乘法的運算法則類似.相同之

處是底數(shù)不變.不同之處是除法是指數(shù)相減，而乘法是指數(shù)相加.

［生?。萏珜α?那么同底數(shù)鼎的除法運算法則可以敘述為：同底數(shù)基相除,

底數(shù)不變，指數(shù)相減.即：afaT

［師］同學們總結得很好.但老師還想提一個問題：對于除法運算，有沒有

什么特殊要求呢？

［生］噢，對了，對于除法運算應要求除數(shù)(或分母)不為零，所以底數(shù)不

能為零.

［師］下面我們來共同推導同底數(shù)幕相除的運算法則：

方法一：aB4-an==am-n

方法二：根據(jù)除法是乘法的逆運算

?.?am-n?an-=am-n+n_=am

:.am4-an=am-n.

要求同學們理解著記憶同底數(shù)累的除法的運算法則：

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

即：a'4-an=aM(aWO,m,n都是正整數(shù)，并且m>n)

例題講解：(出示投影片)

1.計算：

(1)x-i-x(2)a4-ra(3)(ab)54-(ab)2

2.先分別利用除法的意義填空，再利用l+a”二十”的方法計算，你能得出

什么結論？

(1)324-32=()

(2)1034-103=()

(3)am4-an=()(a#0)

1.解：(1)X84-X2=X8-2=X.

(2)

(3)(ab)54-(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.

2.解：先用除法的意義計算.

324-32=11034-103=1a°4-a-=l(aWO)

再利用的方法計算.

Q2?Q2_Q2-2_Q0

1034-103=103-3=10°

a^a^a^a0(a#O)

這樣可以總結得a0=l(aWO)

于是規(guī)定：

a°=l(aHO)

BP：任何不等于0的數(shù)的0次寨都等于1.

［生］這樣的話，我們學習的同底數(shù)幕的除法的運算法則就可以擴展到：

(a^O,m、n都是正整數(shù)，且m，n).

［師］說得有理.下面請同學們完成一組闖關訓練，看哪一組完成得最出色.

m.隨堂練習

課本P1104練習1.

讓學生獨立運算，然后交流計算心得，從而達到熟悉運算法則的目的.

IV.課時小結

這節(jié)課大家利用除法的意義及乘、除互逆的運算，揭示了同底數(shù)事的除法

的運算規(guī)律，并能運用運算法則解決簡單的計算問題，積累了一定的數(shù)學經(jīng)驗.

V.課后作業(yè)

1.課本P105習題14.1第6（1）題.

2.預習“整式的除法”

板書設計

§14.1.4同底數(shù)募的除法

一、1.am,an=am+n（m^n是正整數(shù)）

3.3

2.計算（1）28X28（2）52X53（3）102X105(4)aa

3.填空：（）?28=216-2,64-28=（）

二、同底數(shù)幕的除法運算法則：

同底數(shù)暴相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

即:am4-an=am-n（a^O,m、n都是正整數(shù)且m2n）

規(guī)定：a°=l（aHO）

三、應用

［例1］（略）［例2］（略）

14.1.4單項式除以單項式

教學目標

（一）教學知識點

1.單項式除以單項式的運算法則及其應用.

2.單項式除以單項式的運算算理.

（二）能力訓練要求

1.經(jīng)歷探索單項式除以單項式的運算法則的過程，會進行單項式與單項

式的除法運算.

2.理解單項式與單項式相除的算理，發(fā)展有條理的思考及表達能力.

（三）情感與價值觀要求

1.從探索單項式除以單項式的運算法則的過程中，獲得成功的體驗，積

累研究數(shù)學問題的經(jīng)驗.

2.提倡多樣化的算法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神與能力.

教學重點

單項式除以單項式的運算法則及其應用.

教學難點

探索單向式與單項式相除的運算法則的過程.

教學方法

自主探索法.

有同底數(shù)幕的除法的研究基礎，學生可以用己有的知識與數(shù)學經(jīng)驗，自主

探索得出單項式與單項式相除的運算法則，并能用息的語言有條理地表達及應

用.

教具準備

多媒體課件.

教學過程

I.提出問題，創(chuàng)設情境

問題：木星的質(zhì)量約是1.90X1()21噸.地球的質(zhì)量約是5.08X1()21噸.

你知道木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的多少倍嗎？

［生］這是除法運算，木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的(L90X10")4-(5.98

X1O21)倍.

繼續(xù)播放：

討論：(1)計算(1.90X102二(5.98X1021).說說你計算的根據(jù)是什

么？

(2)你能利用(1)中的方法計算下列各式嗎？

8a34-2a；5x3y4-3xy；12aW4-3ab2.(3)你能根據(jù)(2)說說單項

式除以單項式的運算法則嗎？

IE導入新課

［師］觀察討論(2)中的三個式子是什么樣的運算.

［生］這三個式子都是單項式除以單項式的運算.

［師］前一節(jié)我們學過同底數(shù)幕的除法運算，同學們思考一下可不可以用自

己現(xiàn)有的知識和數(shù)學方法解決“討論”中的問題呢？

(學生以小組為單位進行探索交流，教師可參與到學生的討論中，對遇到

困難的同學及時予以啟發(fā)和幫助)

討論結果展示：

可以從兩方面考慮：

1.從乘法與除法互為逆運算的角度.

(1)我們可以想象5.98X1()21?()=1.90X1024,根據(jù)單項式與單

項式相乘的運算法則：單項式與單項式相乘，是把它們的系數(shù)、相同字母的察

分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變作為積的因式，可以繼續(xù)聯(lián)想：所求單

項式的系數(shù)乘以5.98等于1.90,所以所求單項式系數(shù)為1.90:5.98^0.318,

所求單項式的幕值部分應包含IO?—IO?1即103,由此可知5.98X1()21?(0.318

X103)=1.90X1024.所以(1.90X1024)+(5.98X1021)=0.38X103.

(2)可以想象2a?()=8a\根據(jù)單項式與單項式相乘的運算法則，可

以考慮：8+2=4,a34-a=a2即2a?(4￡)=8a3,所以8a3+2a=4/.

同樣的道理可以想象3xy?()=6x:y；

3ab2