2025年高考數學二輪復習 專題五 概率與統(tǒng)計 第1講　計數原理與概率解析版

第1講計數原理與概率（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 8【考點一】排列與組合問題 8【考點二】二項式定理 12【考點三】概率 16【專題精練】 21考情分析：1.主要考查兩個計數原理、排列、組合的簡單應用，時常與概率相結合，以選擇題、填空題為主.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數等知識，近幾年也與函數、不等式、數列交匯考查.3.概率重點考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應用．真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．202．（2023·全國·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種3．（2023·全國·高考真題）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種二、填空題6．（2024·全國·高考真題）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．7．（2024·全國·高考真題）的展開式中，各項系數中的最大值為．8．（2024·全國·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．9．（2023·全國·高考真題）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數字作答）．10．（2022·全國·高考真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．11．（2022·全國·高考真題）從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區(qū)服務工作，則甲、乙都入選的概率為．12．（2022·全國·高考真題）的展開式中的系數為（用數字作答）．參考答案：題號12345答案BCADB1．B【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數有種.故選：B.2．C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據分步乘法公式則共有種，故選：C.3．A【分析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結果，并求出抽到不同主題的結果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：乙甲123456123456共有36個不同結果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結果有，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率.故選：A4．D【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學生來自不同年級的概率為.故選：D.5．B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B6．【分析】根據排列可求基本事件的總數，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當，則，則為：，，故有16種，當，則，同理有16種，當，則，同理有10種，當，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數為，故所求概率為.故答案為：7．5【分析】先設展開式中第項系數最大，則根據通項公式有，進而求出即可求解.【詳解】由題展開式通項公式為，且，設展開式中第項系數最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數最大的項是第9項，且該項系數為.故答案為：5.8．24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.故答案為：24；112【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結果.9．64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結合組合數運算求解.【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.10．.【分析】根據古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個頂點中任取個，有個結果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．11．/0.3【分析】根據古典概型計算即可【詳解】解法一：設這5名同學分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學中隨機選3名的方法數為甲、乙都入選的方法數為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：12．-28【分析】可化為，結合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數為-28故答案為：-28考點突破考點突破【考點一】排列與組合問題核心梳理：解決排列、組合問題的一般過程：(1)認真審題，弄清楚要做什么事情；(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數是多少及取出多少元素．一、單選題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數字，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（

）A．48 B．32 C．24 D．162．（23-24高二上·河南·期末）2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結束.亞運會結束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種二、多選題3．（2024·山西晉中·模擬預測）某中學的3名男生和2名女生參加數學競賽，比賽結束后，這5名同學排成一排合影留念，則下列說法正確的是（

）A．若要求2名女生相鄰，則這5名同學共有48種不同的排法B．若要求女生與男生相間排列，則這5名同學共有24種排法C．若要求2名女生互不相鄰，則這5名同學共有72種排法D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這5名同學共有72種排法4．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）正方體的8個頂點中的4個不共面頂點可以確定一個四面體，所有這些四面體構成集合，則（

）A．中元素的個數為58B．中每個四面體的體積值構成集合，則中的元素個數為2C．中每個四面體的外接球構成集合，則中只有1個元素D．中不存在四個表面都是直角三角形的四面體三、填空題5．（2024·河北滄州·一模）有位大學生要分配到三個單位實習，每位學生只能到一個單位實習，每個單位至少要接收一位學生實習，已知這位學生中的甲同學分配在單位實習，則這位學生實習的不同分配方案有種．（用數字作答）6．（2024·江蘇南通·模擬預測）把5個人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相鄰的兩天，乙丙安排在相鄰的兩天，則不同的安排方法有種．參考答案：題號1234答案CCACDABC1．C【分析】根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數，共有種排法，再把組合好的數全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C2．C【分析】分類當丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.【詳解】由題意可知，當丙站在左端時，有種站法；當丙不站在左端時，有種站法.由分類加法計數原理可得，一共有種不同的站法.故選：C.3．ACD【分析】利用捆綁法解決選項A，利用插空法解決選項BC，利用特殊元素優(yōu)先法解決選項D.【詳解】選項A，將2名女生捆綁在一起，再與3名男生進行全排列，則有（種），故A正確；選項B，要求女生與男生相間排列，采用插空法，先將3名男生進行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的2個空中，則有（種），故B錯誤；選項C，先將3名男生進行全排列，再將2名女生插到3名男生所形成的4個空中，則有（種），故C正確；選項D，將5名同學排成一排，相當于將他們放到排成一排的5個空位中，先將男生甲排在中間的3個空位中，再將剩下4名同學進行全排列，則有（種），故D正確.故選：ACD.4．ABC【分析】由8個頂點中選取4個不共面頂點，確定中元素的個數判斷選項A；由每個四面體的結構特征，計算體積值判斷選項B；由每個四面體的外接球特征判斷選項C；尋找四個表面都是直角三角形的四面體判斷選項D.【詳解】正方體的8個頂點中任取4個，共有種情況，其中四點共面的有六個表面和六個對角面共12種情況，不構成四面體，所以中元素的個數為58，A選項正確；四面體的體積有以下兩種情況：第一種情況如下圖所示，四面體的四點在相對面且異面的對角線上，如四面體，若正方體棱長為，則四面體體積為，

第二種情況如下圖所示，四面體的四點中有三個點在一個側面上，另一個點在相對側面上，如四面體，若正方體棱長為，則四面體體積為，

所以中每個四面體的體積值構成集合，則中的元素個數為2，B選項正確；每個四面體的外接球都是原正方體的外接球，中只有1個元素，C選項正確；如下圖，四面體的每個面都是直角三角形，D選項錯誤.

故選：ABC5．【分析】根據特殊元素進行分類計數，具體分類下是不相同元素分配問題，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以順序.【詳解】根據特殊元素“甲同學”分類討論，當單位只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；當單位不只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；合計有種不同分配方案，故答案為：.6．36【分析】根據分步計數原理，結合相鄰問題和不相鄰問題的方法即可求出．【詳解】根據題意，設5人為甲乙丙丁戊，①，將乙丙看成一個整體，考慮2人之間的順序，有種情況，②，將這個整體與丁戊全排列，有種安排方法，③，排好后，有4個空位，由于甲乙安排在不相鄰的兩天，則只能從3個空中任選1個，安排甲，有種安排方法，不同的安排方案共有種；故答案為：規(guī)律方法：排列、組合問題的求解方法與技巧(1)合理分類與準確分步；(2)排列、組合混合問題要先選后排；(3)特殊元素優(yōu)先安排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題除法處理；(7)“小集團”排列問題先整體后局部；(8)正難則反，等價轉化．【考點二】二項式定理核心梳理：1．求二項展開式中特定項或項的系數問題的思路：(1)利用通項公式將Tk＋1項寫出并化簡．(2)令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出k.(3)代回通項公式即得所求．2．對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討論求解．一、單選題1．（2024·浙江·二模）展開式的常數項為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）的展開式中的系數為（

）A．6 B．8 C．27 D．33二、多選題3．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數項的二項式系數的和為128B．二項式系數最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數的和為4．（2024·廣西來賓·一模）的展開式中，下列結論正確的是（

）A．二項式系數最大項為第五項 B．各項系數和為0C．含項的系數為4 D．所有項二項式系數和為16三、填空題5．（23-24高三上·山東濱州·期末）的展開式中的系數為．（用數字作答）6．（2024·云南楚雄·一模）除以的余數是．參考答案：題號1234答案ADABBD1．A【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數為0，得出常數項的項數，即可得常數項．【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項為.故選：A.2．D【分析】解法一：將原展開式可以看作與展開式各項的乘積，然后根據二項式定理展開式的通項，分別求出兩個二項式展開式中含的項，即可得出答案；解法二：化為，然后反復根據二項式定理展開式求解即可得出答案.【詳解】解法一：因為，即原展開式可以看作兩個二項式展開式各項的乘積.展開式的通項為，則，展開式中含的項為，含的項為，含的項為；展開式的通項為，則，展開式中含的項為，含的項為，含的項為.綜上所述，的展開式中的項為，系數為.解法二：因為，展開式的通項為.要使展開式中含，則可取或.當時，，展開式的通項為，顯然時，展開式含，該項為；當時，，展開式的通項為，顯然時，展開式含，該項為.綜上所述，的展開式中的項為，系數為.故選：D．3．AB【分析】先求出二項式系數和，奇數項二項式系數和等于偶數項二項式系數和，即可確定A；二項式系數的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數的和，從而確定D.【詳解】對于A,二項式系數和為，則所有奇數項的二項式系數的和為，故A正確；對于B,二項式系數最大為，則二項式系數最大的項為第5項，故B正確；對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；對于D,令，則所有項系數和為，故D錯誤.故選：AB.4．BD【分析】利用二項式系數的性質判斷AD；利用賦值法判斷B；利用二項式定理得到的展開通項，從而求得含項的系數判斷C.【詳解】對于A，因為展開式一共五項，所以二項式系數最大項為第三項，故A錯誤；對于B，令時，，所以各系數的和為0，故B正確；對于C，因為的展開通項公式為，令，得，故含項的系數為，故C錯誤；對于D，所有項的二項式的系數和為，故D正確.故選：BD.5．【分析】由二項式定理得到的通項公式，結合，得到，得到的系數.【詳解】的通項公式為，令得，，此時，令得，，此時，故的系數為故答案為：6．24【分析】利用二項式定理得到，故求出余數.【詳解】，∴除以1000的余數是24．故答案為：24規(guī)律方法：二項式(a＋b)n的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二項式的展開式的第k＋1項，而不是第k項；其中Ceq\o\al(k,n)是二項式展開式的第k＋1項的二項式系數，而二項式的展開式的第k＋1項的系數是字母冪前的常數，要區(qū)分二項式系數與系數．【考點三】概率核心梳理：1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的樣本點數,試驗的樣本點總數).2．條件概率公式設A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).3．全概率公式設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．一、單選題1．（2024·河南·模擬預測）袋子中裝有5個形狀和大小相同的球，其中3個標有字母個標有字母.甲先從袋中隨機摸一個球，摸出的球不再放回，然后乙從袋中隨機摸一個球，若甲?乙兩人摸到標有字母的球的概率分別為，則（

）A． B．C． D．2．（2024·山西·二模）一個盒子里裝有5個小球，其中3個是黑球，2個是白球，現依次一個一個地往外取球（不放回），記事件表示“第次取出的球是黑球”，，則下面不正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（21-22高三上·江蘇南通·階段練習）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（

）A． B．C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則4．（23-24高三下·江蘇泰州·階段練習）甲、乙兩個口袋各裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．把從甲、乙兩個口袋中各任取一個球放入對方口袋中稱為一次操作，重復n次操作后，甲口袋中恰有0個紅球，1個紅球，2個紅球分別記為事件，，，則（

）A． B．

C． D．三、填空題5．（2024·江蘇揚州·模擬預測）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第2，3臺加工的次品率均為，加工出來的零件混放在一起.已知第臺車床加工的零件數分別占總數的.任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是第2臺車床加工的概率為.6．（2024·湖南衡陽·二模）已知有兩個盒子，其中盒裝有3個黑球和3個白球，盒裝有3個黑球和2個白球，這些球除顏色外完全相同．甲從盒、乙從盒各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，并將取出的2個球全部放入盒中，若2個球異色，則乙勝，并將取出的2個球全部放入盒中．按上述方法重復操作兩次后，盒中恰有7個球的概率是．參考答案：題號1234答案ADACDABD1．A【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正確的選項.【詳解】設為“甲摸到標有字母的球”，為“乙摸到標有字母的球”，則，而，故.故選：.2．D【分析】根據給定條件，借助排列、組合應用問題，利用古典概率、條件概率公式逐項計算即得.【詳解】依次一個一個地往外取球（不放回）的試驗，基本事件總數是，它們等可能，對于A，表示第3次取出黑球，，A正確；對于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正確；對于C，，，所以，C正確；對于D，，所以，D錯誤.故選：D3．ACD【分析】根據條件概率、獨立事件、互斥事件的基本概念，以及對應的概率計算公式可以得到答案.【詳解】因為，A正確，B錯誤；由獨立事件定義，若A，B獨立，則，，C正確；若A，B互斥，則，，，D正確．故選：ACD4．ABD【分析】對于A項，重復一次操作，甲袋中有1紅的情況有兩種，運用互斥事件的概率加法公式計算即得；對于B項，運用條件概率公式，分別算出和代入公式計算即得；對于C項，運用獨立事件的概率乘法公式計算即得；對于D項，運用相容事件的并的概率公式計算即得.【詳解】因在操作前，甲袋中：1紅2白，乙袋中：1紅2白．對于A項，重復1次操作，甲口袋中有1紅的概率，故A項正確；對于B項，，，，故，故B項正確；對于C項，因事件與相互獨立，則，，故C項錯誤；對于D項，，故D項正確．故選：ABD．【點睛】關鍵點點睛：對所求事件所包含的情況的判斷，求若干事件的并的概率，需要判斷互斥還是相容，對于條件概率題，要么用樣本空間中基本事件數計算，要么用概率公式計算，對于積事件的概率應先判斷兩事件的獨立性，再用公式求.5．【分析】結合全概率公式與條件概率公式計算即可得.【詳解】設表示“取到的零件是第臺車床加工”，表示“取到的零件是次品”，則，，故.故答案為：.6．【分析】確定出兩次取球后盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝，再分別計算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得結果.【詳解】若兩次取球后，盒中恰有7個球，則兩次取球均為乙獲勝；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率為，第一次取球后盒中有2個黑球和3個白球，盒裝有4個黑球和2個白球，第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；此時盒中恰有7個球的概率為；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率為，第一次取球后盒中有3個黑球和2個白球，盒裝有3個黑球和3個白球，第二次取到異色球為取到一個白球一個黑球，其概率為；此時盒中恰有7個球的概率為；所以盒中恰有7個球的概率為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的突破口在于先分清楚兩次取球后，盒中恰有7個球必須滿足兩次取球均為乙獲勝；再分別討論并計算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得結果.規(guī)律方法：求概率的方法與技巧(1)古典概型用古典概型概率公式求解．(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解．(3)根據事件間關系，利用概率的加法、乘法公式及對應事件的概率公式求解．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·福建·模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往A，B，C等3個受災點執(zhí)行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去B，C兩個數點中的一個，則不同的安排方法數是（

）A．72 B．84 C．88 D．1002．（2023·廣東·模擬預測）如圖，在兩行三列的網格中放入標有數字的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數字之和為5”的不同的排法有（

）A．96種 B．64種 C．32種 D．16種3．（2023·遼寧沈陽·一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種4．（2024·甘肅隴南·一模）已知3名男同學、2名女同學和1名老師站成一排，女同學不相鄰，老師不站兩端，則不同的排法共有（

）A．336種 B．284種 C．264種 D．186種5．（2023·廣東深圳·一模）安排5名大學生到三家企業(yè)實習，每名大學生只去一家企業(yè)，每家企業(yè)至少安排1名大學生，則大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為（

）A． B． C． D．6．（2023·山東德州·三模）若，則（

）A． B．C． D．7．（2023·四川南充·二模）在二項式的展開式中，二項式的系數和為256，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．8．（2021·全國·模擬預測）的展開式中的系數是（

）A．60 B．80 C．84 D．120二、多選題9．（2024·山西·三模）已知函數，則（

）A． B．展開式中，二項式系數的最大值為C． D．的個位數字是110．（2023·山東·二模）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件11．（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎录嗀，B滿足，，則（

）A．若，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則A與B相互獨立三、填空題12．（2024·上?！じ呖颊骖}）某校舉辦科學競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，已知小申完成題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現他從所有的題中隨機選一題，正確率是．13．（2023·山東·一模）某企業(yè)的一批產品由一等品零件、二等品零件混裝而成，每包產品均含有10個零件．小張到該企業(yè)采購，利用如下方法進行抽檢：從該企業(yè)產品中隨機抽取1包產品，再從該包產品中隨機抽取4個零件，若抽取的零件都是一等品，則決定采購該企業(yè)產品；否則，拒絕采購．假設該企業(yè)這批產品中，每包產品均含1個或2個二等品零件，其中含2個二等品零件的包數占，則小張決定采購該企業(yè)產品的概率為．14．（2023·福建·模擬預測）若一個點從三棱柱下底面頂點出發(fā)，一次運動中隨機去向相鄰的另一個頂點，則在5次運動后這個點仍停留在下底面的概率是.參考答案：題號12345678910答案DBCADDCDBDACD題號11答案BD1．D【分析】由題意可知，若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.分別求出安排種法，相加即可得出甲去點的安排方法.同理，即可得出甲去點的安排方法，即可得出答案.【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去兩個點，也可分為3組去3個點.當剩余4人只去兩個點時，人員分配為或，此時的分配方法有；當剩余4人分為3組去3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，綜上可得，甲去點，不同的安排方法數是.同理，甲去點，不同的安排方法數也是，所以，不同的安排方法數是.故選：D.2．B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法數，再利用分步計數原理即可求出結果.【詳解】根據題意，分3步進行，第一步，要求“只有中間一列兩個數字之和為5”，則中間的數字只能為兩組數1，4或2，3中的一組，共有種排法；第二步，排第一步中剩余的一組數，共有種排法；第三步，排數字5和6，共有種排法；由分步計數原理知，共有不同的排法種數為.故選：B.3．C【分析】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個，再安排乙丙2人，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側；安排在甲有3個位置的一側，最后安排其余3人，綜上可得答案.【詳解】先安排甲，可從中間兩個位置中任選一個安排有種方法，而甲站好后一邊有2個位置，另一邊有3個位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個位置的一側有種方法；安排在甲有3個位置的一側有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊方法有：種.故選：C.4．A【分析】根據題意考慮兩端的位置排的是男生或女生的情況，結合女同學不相鄰，求出各種情況的排法數，根據分類計數加法原理，即可求得答案.【詳解】當2名女生站在兩端時，3名男生和1名老師排在中間，共有種排法；當有1名女生排在一端，另一端排男生時，共有種排法；當男生排在兩端時，共有種排法；故不同的排法共有（種），故選：A5．D【分析】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人，根據排列組合得出各自有多少種，再得出甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有多少種，即可計算得出答案.【詳解】5名大學生分三組，每組至少一人，有兩種情形，分別為2,2,1人或3,1,1人；當分為3,1,1人時，有種實習方案，當分為2,2,1人時，有種實習方案，即共有種實習方案，其中甲、乙到同一家企業(yè)實習的情況有種，故大學生甲、乙到同一家企業(yè)實習的概率為，故選：D.6．D【分析】將化為，利用二項式通項公式可求得，判斷A；根據二項式的系數和式的特征，利用賦值法可分別判斷B，C，D.【詳解】由題意可知，故，A錯誤；由，令，可得，B錯誤；令，則，故，C錯誤；令，則，故，D正確，故選：D7．C【分析】根據二項式系數和求得n，利用二項式展開式的通項公式確定有理項的項數，根據插空法排列有理項，再根據古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】在二項式展開式中，二項式系數的和為，所以.則即，通項公式為，故展開式共有9項，當時，展開式為有理項，把展開式中所有的項重新排成一