四川省蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試題理含解析

四川省蓉城名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試題（理）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（）．A．1 B．2 C． D．2．已知集合，，且，則a＝（）．A．0或 B．0或1 C．1或 D．03．若角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則（）．A． B． C． D．4．設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（）．A． B． C． D．5．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則b＝（）．A．8 B．6 C．5 D．36．已知實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為（）．A． B． C． D．37．將3名醫(yī)護(hù)人員，6名志愿者分成3個(gè)小組，分別支配到甲、乙、丙三個(gè)新增便民核酸采樣點(diǎn)參與核酸檢測(cè)相關(guān)工作，每個(gè)小組由1名醫(yī)護(hù)人員和2名志愿者組成，則不同的支配方案共有（）．A．90種 B．540種 C．1620種 D．3240種8．折扇是我國(guó)傳統(tǒng)文化的持續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“和善”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、智勇雙全的象征（如圖1），圖2為其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖，設(shè)扇面A，B間的圓弧長(zhǎng)為l，AB間的弦長(zhǎng)為d，圓弧所對(duì)的圓心角為（為弧度角），則l、d和所滿意的恒等關(guān)系為（）． B．C． D．9．定義在R上的偶函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，則（）．A．0 B．1 C． D．310．的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）．A．240 B． C．400 D．8011．如圖，點(diǎn)A，B，C在球心為O的球面上，已知，，，球O的表面積為，下列說(shuō)法正確的是（）．A．B．平面平面OBCC．OB與平面ABC所成角的正弦值為D．平面OAB與平面ABC所成角的余弦值為12．對(duì)于三個(gè)不等式：①；②；③（；）．其中正確不等式的個(gè)數(shù)為（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．四川省將于2024年秋季啟動(dòng)實(shí)施新高考綜合改革，某校開(kāi)展“新高考”動(dòng)員大會(huì)，參會(huì)的有100名老師，1500名學(xué)生，1000名家長(zhǎng)，為了解大家對(duì)推行“新高考”的認(rèn)可程度，現(xiàn)采納分層抽樣調(diào)查，抽取了一個(gè)容量為n的樣本，其中老師與家長(zhǎng)共抽取了55名，則n＝______．14．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于x軸，則a＝______．15．如圖為陜西博物館保藏的國(guó)寶一唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的部分的旋轉(zhuǎn)體．若該雙曲線上存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB（點(diǎn)A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)）的斜率之和為4，則該雙曲線離心率的取值范圍為_(kāi)_____．16．已知點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為a；使直線平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為b；使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為c．則a，b，c的大小關(guān)系為_(kāi)_____．（用“＜”符號(hào)連接）三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）已知數(shù)列中，，點(diǎn)對(duì)隨意的，都有，數(shù)列滿意，其中為的前n項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）致敬百年，讀書筑夢(mèng)，某學(xué)校組織全校學(xué)生參與“學(xué)黨史頌黨恩，黨史網(wǎng)絡(luò)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽”活動(dòng)，并從中抽取100位學(xué)生的競(jìng)賽成果作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．規(guī)定：成果在內(nèi)為優(yōu)秀，成果低于60分為不及格．（1）求a的值，并用樣本估算總體，能否認(rèn)為該校參與本活動(dòng)的學(xué)生成果符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求；（2）若樣本中成果優(yōu)秀的男生為5人，現(xiàn)從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．19．（12分）如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，，，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）直線l在x軸上的截距為且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線對(duì)稱軸的平行線與直線交于C，D兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的大小；（2）摸索究直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，懇求出該定點(diǎn)并證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）分別過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線，求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，已知，是兩個(gè)不相等的正數(shù)且，求證：．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，點(diǎn)，曲線M是以O(shè)A為直徑，為圓心的半圓，點(diǎn)B在曲線M上，四邊形OBCD是正方形．（1）當(dāng)時(shí)，求B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)B在曲線M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求D點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程．23．[選修4-5；不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．蓉城名校聯(lián)盟2024～2024學(xué)年度上期中學(xué)2024級(jí)入學(xué)聯(lián)考理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．123456789101112DABACDBACDCD1．解：，∴，故選D．2．解：∵，∴或，∴或，又由于集合元素的互異性，應(yīng)舍去1，故選A．3．解：，故選B．4．解：，其中同向，反向，故選A．5．解：∵，∴，由正弦定理得，故選C．6．解：如圖，由，，三點(diǎn)組成的平面區(qū)域?yàn)榭尚杏颍硎究尚杏騼?nèi)過(guò)與原點(diǎn)的直線的斜率，最優(yōu)解為點(diǎn)，故的最大值為3，故選D．7．解：第一步，醫(yī)護(hù)人員的支配方案有種，其次步，志愿者的支配方案有種，∴不同的支配方案共有種，故選B．8．解：如圖，由弧長(zhǎng)公式，得，在直角三角形中，化簡(jiǎn)得，故選A．9．解：∵定義在R上的偶函數(shù)滿意，∴關(guān)于，對(duì)稱，∴是周期為4的函數(shù)，∴，故選C．10．解：第一步，關(guān)于的綻開(kāi)式，依據(jù)二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的應(yīng)用：，令，，得，令，，得，其次步，原式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D．11．解：如圖，圖一 圖二由已知中，平面ABC（點(diǎn)為AC中點(diǎn)），，A選項(xiàng)，如圖二，，不成立；B選項(xiàng)，如圖二，假設(shè)面面垂直，過(guò)點(diǎn)C作OB垂線，則該垂線垂直平面OAB，不成立；C選項(xiàng)，如圖一，OB與平面ABC所成角為，得，成立；D選項(xiàng)，如圖二，，不成立．綜上，故選C．（另解：本題也可以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算平面法向量和直線的方向向量來(lái)計(jì)算驗(yàn)證．）12．解：選項(xiàng)①：，故①正確；選項(xiàng)②：，，或，故②正確；選項(xiàng)③：，由（時(shí)等號(hào)成立）得，∴，故③正確，綜上可知選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．130解：由，得，故填130．14．1解：由已知，得，解得，符合題意，∴，故填1．15．解：設(shè)點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)，，且有，則，，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，，，則，，且，由基本不等式可得，∵存在點(diǎn)P，使得直線PA，PB的斜率之和為4，則，即，∴，故填．16．解：若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為2，則點(diǎn)P的軌跡為球的表面與正方體交軌，在平面ABCD內(nèi)，P的軌跡為以A為圓心，2為半徑的圓弧，由對(duì)稱性知，這樣的圓弧同樣在平面內(nèi)和平面內(nèi)，故P的軌跡長(zhǎng)度；若平面，則點(diǎn)P的軌跡為過(guò)點(diǎn)A且平行于平面的平面與正方體交軌，而平面平面，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為三角形的周長(zhǎng)（除掉A點(diǎn)，不影響周長(zhǎng)），故，若直線AP與平面ABCD所成的角為45°，則點(diǎn)P的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體交軌，在平面內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡為對(duì)角線（除掉A點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡為對(duì)角線（除掉A點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，∵，∴，即．故填．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）解：（1）∵，可得，∴是公差為2的等差數(shù)列，∴，．（2），∴，∴．18．（12分）解：（1），解得，成果不及格的頻率為，∴“成果不及格”的概率估計(jì)值為21％，∵21％＞20％，∴不能認(rèn)為該校參與本活動(dòng)的學(xué)生成果符合“不及格的人數(shù)低于20％”的要求．（2）法一：由（1）可知樣本中成果優(yōu)秀有20人，其中男生5人，故女生15人，記事務(wù)A＝“從樣本的優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份作進(jìn)一步分析，求其中至少有1份是男生”，則，∴所求概率為．法二：由（1）可知樣本中成果優(yōu)秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，記事務(wù)A＝“從優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份，其中至少有1份是男生”，則“從優(yōu)秀答卷中隨機(jī)選取3份，全是女生”，則，∴，∴所求概率為．19．（12分）解：（1）法一：由已知在四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，得底面，∴， ①又易求，，，由勾股定理的逆定理得：， ②由①②，且，∴平面，∴平面．法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)題意得，，，，，∴，即，且，而，∴，，∴平面．法三：∵，∴與確定一平面，∵點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，∴平面與平面是同一平面，易得，，∴平面，即平面；（2）同（1）法二，建立空間直角坐標(biāo)系，∵平面CAM與平面是同一平面，∴平面CAM的法向量，又，而，可求得平面的法向量，∴，∴二面角的正弦值為．20．（12分）解：（1）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴．（2）明顯，當(dāng)軸時(shí)，由對(duì)稱性可知直線AD與直線BC交于原點(diǎn)，下面證明當(dāng)AB斜率存在時(shí)，AD，BC也恒交于原點(diǎn)，由（1）知，，且此時(shí)，，，，∴，故O、A、D三點(diǎn)共線，同理O、B、C三點(diǎn)共線，∴直線AD與直線BC交于原點(diǎn)，綜上，直線AD與直線BC的交點(diǎn)恒為原點(diǎn)．（3）由（1）知，，拋物線在A，B兩點(diǎn)的切線方程分別為，，兩式相除消去y得，解得，∵，∴，∴兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．21．（12分）解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即．（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，依據(jù)題意不妨設(shè)，①先證明，即證，∵在上單調(diào)遞增，∴只需證，設(shè)，則，∵，，∴，，∴，在上單調(diào)遞減，∴由得，即得證，∴．②再證明，構(gòu)造過(guò)函數(shù)的切線，過(guò)與兩點(diǎn)函數(shù)的割線，不妨設(shè)，設(shè)，，∴，，∴，∴單調(diào)遞增，∵得，單調(diào)遞增，∴得，∴得．設(shè)，，由（當(dāng)?shù)厝〉龋?，得，則，∴得，∴得．由得，得，∴，∴．綜上得．22．（10分）解：（1）由題意知在中，，，∴，∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為，在正方形OBCD中，，∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為．（2）設(shè)，，且，由題可知曲線M的極坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，O，B兩點(diǎn)重合，不合題意，∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)方