江蘇省鹽城市響水縣清源高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源響水縣清源高級(jí)中學(xué)2023年春學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試題分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4頁.2.滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.第Ⅰ卷（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，求得，再求其對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】．故選：A.3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.球體是旋轉(zhuǎn)體 B.圓柱的母線平行于軸C.斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形 D.用平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)【答案】C【解析】【分析】利用球體的定義判斷；利用圓柱的結(jié)構(gòu)特征判斷；舉例說明判斷；利用正棱臺(tái)的定義判斷.【詳解】因球體是半圓面繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體，即球體是旋轉(zhuǎn)體，A正確；由圓柱的結(jié)構(gòu)特征知，圓柱的母線平行于圓柱的軸，垂直于其底面，正確；如圖，斜平行六面體中，若平面，則側(cè)面四邊形是矩形，錯(cuò)誤；由正棱臺(tái)的定義知：用平面截正棱錐所得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)，正確.故選：C4.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：由，得，故選：B．5.在中，D為的中點(diǎn)，E為邊上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形即可得解.【詳解】由E為邊上的點(diǎn)，且，得.故選：C6.設(shè)有兩條不同的直線和兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)與判定逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】若，則可以平行?相交或異面，故A錯(cuò)誤；若與相交，則，故B錯(cuò)誤；若，則或，故C錯(cuò)誤；若，則，故D正確.故選：D.7.在中，，，，則此三角形（）A.無解 B.一解C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，再根據(jù)所求值及a與b的大小關(guān)系即可判斷作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理得，而為銳角，且，則或，所以有兩解．故選：C8.已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】，結(jié)合題意得，結(jié)合即得解.【詳解】，因?yàn)?，所以，又，所以．故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式中，值為的是（）A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的倍角公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正確；由正切的倍角公式，可得，所以B正確；由正弦的倍角公式，可得，所以C正確；由，所以D不正確.故選：BC.10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法正確的是（）A.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是B.復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是C.若互為共軛復(fù)數(shù)，則是實(shí)數(shù)D.若互為共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和分類作出判斷；CD選項(xiàng)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念，乘法法則和幾何意義判斷出CD.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)時(shí)，，若，則為實(shí)數(shù)，故是實(shí)數(shù)的充要條件是，顯然成立，故A正確；對(duì)于B：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所以是實(shí)數(shù)，故C正確；對(duì)于D：若互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，則，所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為，，這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知向量，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.存在，使得C. D.當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)計(jì)算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，方程無解，所以不存在，使得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：CD.12.在正方體中，E，F(xiàn)，G分別為BC，，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線AF異面 B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面是平行四邊形 D.點(diǎn)C和點(diǎn)B到平面的距離相等【答案】ABD【解析】【分析】由圖可知直線與直線AF異面，利用面面平行的判定定理以及面面平行的性質(zhì)可證明平面；將平面擴(kuò)大至與相交于點(diǎn)，即可得截面為等腰梯形，顯然平面將線段平分，所以C和B到平面的距離相等.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖可知AF與顯然不平行，且不相交，所以AF與異面，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，取的中點(diǎn)為M，連接、，如下圖所示：易知，且平面，平面，所以平面，又易知，，因此，平面，平面，所以平面；，可得平面平面，又平面，從而平面，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，如下圖所示：易知，所以平面截正方體所得的截面為等腰梯形，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，平面過的中點(diǎn)E，即平面將線段平分，所以C與B到平面的距離相等，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復(fù)數(shù)，則________.【答案】1【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以.故答案為：114.如圖，是△OAB的直觀圖，其中，則的面積是_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，，的面積是．故答案為：.15.若，則______．【答案】【解析】【分析】化，從而平方即可.【詳解】因?yàn)椋?，兩邊平方得，即，．故答案為?6.在中，角所對(duì)邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長的最小值為________.【答案】【解析】【分析】先由等式得，再由的面積為得到，結(jié)合圖象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，即，因，所以，得，則，因?yàn)椋?如圖，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，在中，由余弦定理，得，又，所以由得代入上式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以AC邊上中線長的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知為銳角，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦的二倍角公式求解；（2）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角差的余弦公式求解即可．【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以．【小?詳解】因?yàn)椋?，所以?8.已知，，且.（1）求與的夾角；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【小問1詳解】因?yàn)?，所?設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，即，即，所以，即，解?19.如圖，在長方體中，，，點(diǎn)P為棱上一點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)P的位置，使得平面，并說明理由；（2）在（1）的條件下，求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）P為棱的中點(diǎn)，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線證明線線平行即可求證，（2）根據(jù)線線平行找到異面直線的所成角，即可結(jié)合三角形邊角關(guān)系求解.【小問1詳解】當(dāng)P為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面.理由如下：設(shè)和交于點(diǎn)O，則O為中點(diǎn).連接，又因?yàn)镻是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫妫矫?所以直線平面.【小問2詳解】由（1）知，，所以即為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，且，所?又，所以.故異面直線與所成角的大小為.20.如圖，在中，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，與交于點(diǎn)O.（1）若，求證：；（2）若，，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)D為的中點(diǎn)可得，再結(jié)合已知條件即可證明；（2）設(shè)，，，利用向量加減法法則可得，，從而可得，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，兩式相加得，所以，?【小問2詳解】由，得，設(shè)，，，則，又.所以，因?yàn)?，不共線，所以，解得.21.如圖，某運(yùn)動(dòng)員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練，長跑開始時(shí)，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.（1）小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？（2）求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，利用余弦定理求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出的最小值；（2）由正弦定理可求出結(jié)果.【小問1詳解】如圖，設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，在中，，故由余弦定理求得，則，整理得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故.即小艇至少以每小時(shí)的速度從處出發(fā)才能追上運(yùn)動(dòng)員.【小問2詳解】當(dāng)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間小時(shí)追上運(yùn)動(dòng)員，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角為.22.已知四邊形是由與拼接而成，如圖所示，，.（1）求證：；（2）若，，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析