2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單：復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）

維構(gòu)建?耀精向紿

復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）的敷叫做復(fù)數(shù)

其中實部是a,虛獻b

詡(b=0))

題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的分類01

K0知識點一復(fù)數(shù)的基本癡四（bw0）（a:0時為純虛數(shù)））題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長計算

題型04共匏復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念〉<共姬復(fù)數(shù)）

1■（復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)「:空酗盛］I：耍直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點一對應(yīng)

及

O知識點二復(fù)數(shù)的幾何意義；實軸與虛軸娜U做實軸，y軸叫做虛軸題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對應(yīng)

其題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

蔓的幾何薪

應(yīng)

用.一._—,二、復(fù)數(shù)的運算法則一力口、減、乘、題型01復(fù)數(shù)的四則運算

知識點三復(fù)數(shù)的四則運算題型02復(fù)數(shù)的乘方運算

Y、__o_______:____________________，/?復(fù)數(shù)運…算的幾二個重要~結(jié)-論-----

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

轆的定義

蔓的輻角T）八、

-----------輻角主值

T：。知識點四復(fù)數(shù)的三角形式題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

一復(fù)數(shù)的三角旃C：亙cos0+isine）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運算

復(fù)數(shù)的三角吩及運氟―卜；贏的乘法霞：）題型03復(fù)數(shù)的新定義問題

復(fù)數(shù)的除法^

口識盤點?置翡非煤

知識點1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷3，6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實部是“，虛部是從

2、復(fù)數(shù)的分類：

實數(shù)6=0,

復(fù)數(shù)z=a+歷

「純虛數(shù)a=0,

a,Z?￡R虛數(shù)厚（T

.非純虛數(shù)存0.

3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共粗復(fù)數(shù)a+Ai與c+di共輛0a=c且Z?=—d(a,b,c,d￡R)

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=〃+Z?i的模，記作|z|或|〃+歷

管粉的精

BP\z\=\a+bi\=r=yJa2+b2(r>0,a,b￡R)

知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù)；除原點以外，虛軸上

的點都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z="+bi?一一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點zm，b)..?對應(yīng),平面向量無.

知識點3復(fù)數(shù)的四則運算

1、復(fù)數(shù)的運算法則

設(shè)+歷，z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

(1)zi+z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(〃+c)+S+4/)i；

(2)zi-Z2=(〃+bi)—(c+di)=(?！猚)+(b—d)i；

(3)zi22=(〃+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

Z1_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad八、

(4)

z2c+di(c+di)(c-di)

2、復(fù)數(shù)運算的幾個重要結(jié)論

(1)|zi+z2|2+|zi—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z-z=|z|2=|ZI2.

(3)若z為虛數(shù)，貝”z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i；i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知識點4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i的對應(yīng)向量為前，以X軸的非負半軸為始邊，向量被所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W8<2兀范圍內(nèi)的輔角8的值為輔角的主值，通常記作wgz.

【注意】因為復(fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)。的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運算

(1)定義：任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成2=「(°05。+15譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負，角相同，余正弦，加號連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is譏。J,z2=r2(cos02+isin02),

則ZjZ]=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

(3)復(fù)數(shù)除法運算的三角表示：已知Z]=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin%)

則迫=斐。s7+is譏黑=3_+is譏（88）］.

z2r2（cos02+^in02）r2

這就是說，兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點突破?春分好?檢

重難點01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

（1）把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典例1】（2024.山東煙臺.三模）若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則忖的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

【典例2】（2024.云南.二模）已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則或-i|的最小值為（）

A.正B.4C.-D.0

223

重難點02共朝復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算的綜合問題

共朝復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軟復(fù)數(shù)的定義，可以寫出再進行復(fù)數(shù)的四則運算.

2、已知關(guān)于z和I的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bqR）,則』=a-歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024.福建泉州?一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-L則（）

Z

A.z.z=lB.z2=zC.z+z=-1D.|z-z|=A/3

【典例2］（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）己知復(fù)數(shù)4/2的共輾復(fù)數(shù)分別為，意，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若均為純虛數(shù)，則4+1=0

B.若z；+z：=0,則4=z?=0

C.若|z「Zz|=0,則I與=0

D.若|z-l|=|z+l|,則z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線

法技巧?1g親學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)“十歷，

（1）當且僅當6=0時，它是實數(shù)；

（2）當且僅當。=6=0時，它是實數(shù)0；

（3）當厚0時，叫做虛數(shù)；

（4）當。=0且以0時，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024.廣東東莞.模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足（5+i）（l+i）=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【典例2］（23-24高三上?甘肅慶陽?階段練習(xí)）（多選）下列各式的運算結(jié)果是實數(shù)的是（）

A.z=i（l-i）2B.z=（l+i）2

C.z=（l+i）（l+2i）（l+3i）D.z=|^

二、求復(fù)數(shù)標準代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運算化簡為復(fù)數(shù)的標準代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標準式，代入己知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實部和虛部的

方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實部與虛部.

【典例1】（2024.新疆?三模）復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,貝」的虛部為（）

A.-iB.iC.-ID.1

【典例2】（2024.福建泉州.模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足目=2,|z-2|=2,貝丘+刊=（）

A.2A/3B.2C.-2D.-273

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）任一個復(fù)數(shù)z=a+歷（a,bdR）與復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b）是---對應(yīng)的.

（2）一個復(fù)數(shù)z=o+bi（a,bGR）與復(fù)平面內(nèi)的向量應(yīng)=（a,b）是——對應(yīng)的.

【典例1】（2024?四川自貢.三模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4,z?對應(yīng)的向量分別是函=（-2,3）,OB=（3,-2）,

則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【典例2】（2024?安徽馬鞍山.三模）已知復(fù)數(shù)z滿足zN=2（z+行=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不在第一象

限，貝UZ=.

四、虛數(shù)單位i的乘方

計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=—Li3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

從而對于任何wGN+,都有i4,!+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可證i4"+2=—1,i4"+3=—i,i4"+4=l.

這就是說,如果“6N+,那么有i4"+l=i,i4"+2=—1,g=—i,i4"+4=l.

由此可進一步得(l+i)2=2i,(1-i)2=—2i,—1,—i.

【典例1】（2024?湖北?二模）己知復(fù)數(shù)2="（1+口，則z2°24=)

A.1B.-1C.—iD.i

【典例2】（2024?河北三模）已知復(fù)數(shù)［滿足2y°23+12期）=12。25,貝匹的共軌復(fù)數(shù)的虛部是（）

1.1.1

A.—1B.C.—1D.

2222

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程a%?+力％+。=0（aH0）的求解方法：

（1）求根公式法：

①當A20時，X=gbi②當△＜（）時，X=-i（bj哂

2a2a

（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為尤=巾+市（機，nER）,

將此代入方程a/+bx+c=0（a^0）,化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例11（23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí)）已知z=1-i是方程z?+2az-b=0（a,6eR）的根,則a+6=（）

A.-3B.-1C.2D.3

【典例2】（2024.江蘇鹽城?模擬預(yù)測）（多選）已知4，句為方程/+2*+3=0的兩根，則（）

A,1^-z2|=25/2B.—+—=

C.團+4=2』

D.Zj—z2=z1+z2

六、復(fù)數(shù)的三角表示

將復(fù)數(shù)z=a+歷(a,beR)化為三角形式z=r(cosd+is譏時，要注意以下兩點：

(1)r=y/a2+b2,

(2)cosd=sind-\其中8終邊所在象限與點(a,6)所在象限相同，

當a=0,b>0時，argz=

【注意】每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個非零復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1］(23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))(多選)任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi(。，6eR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cos6?+isin。)(r>0,6eR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：［r(cos0+isin=r"(cosnd+isinn0)(〃eN*),我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A.復(fù)數(shù)z=1-后的三角形式為z=2^cos|-isin三］

232024

B.當r=l,6=3時，Z+Z+Z+--+Z=0

IT

C.當r=2,6=§時，z3——8

TT

D.當r=3,6時，"W為偶數(shù)”是“Z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

【典例2】(2024?黑龍江哈爾濱?三模)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為Z,設(shè)

r=|OZ|,。是以無軸的非負半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，貝!|z=a+歷=〃(cose+isin，)，把

r(cos，+isin，)叫做復(fù)數(shù)〃+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進行復(fù)數(shù)的指數(shù)運算，

［「(cose+isin。)］“=r〃(cos幾，+isin幾，,例如：」+^i=fcos—+isin—=cos27i+isin27i=1,

31

(l+i)4=[e]cos：+isin："=4(cos7i+isin7i)=-4,復(fù)數(shù)z滿足：z=l+i,貝Jz可能取值為()

x笏庇笏錯?聯(lián)券嗜相

易錯點1忽視復(fù)數(shù)2=。+次是純虛數(shù)的充要條件

a=0

點撥：對復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復(fù)數(shù)2=。+加為純虛數(shù)0,八，往往容易忽略虛部不等于0.

【典例1］（24-25高三上?湖南?開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z=2-i,Z2=a+i（"R）,若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實

數(shù)”的值為（）

A.—B.-C.-2D.2

22

【典例2］（23-24高三上.廣西.開學(xué)考試）已知i是虛數(shù)單位，若2=牛％是純虛數(shù)，則實數(shù)〃=（）

1-1

A.±B