2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：向量法求距離、探索性及折疊問題（原卷版）

專題42向量法求距離、探索性及折疊問題（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點突破】................................................................3

【考點1】利用向量法求距離..................................................3

【考點2］立體幾何中的探索性問題............................................6

【考點3】折疊問題..........................................................8

【分層檢測】...............................................................11

【基礎(chǔ)篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................15

【培優(yōu)篇】.................................................................17

真題自測

一、解答題

1.(2024?天津?高考真題)已知四棱柱A2CZ)-a4G2中，底面ABCD為梯形，AB〃CD,平面ABCD,

AD.LAB,其中AB=44,=2,A￡>=￡>C=1.N是Bg的中點，Al是的中點.

⑴求證RN〃平面C印W；

(2)求平面CB}M與平面BB°q的夾角余弦值;

⑶求點8到平面CBM的距離.

2.(2023?全國?高考真題)如圖，在正四棱柱ABC。一44GR中，AB=2,=4.點4也?,鼻分別在

棱,BB],CC{fDD{上,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(2)點尸在棱8片上，當(dāng)二面角尸-4c2-3為150。時，求昆P.

3.(2022?全國?高考真題)如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點.

⑴證明：平面跳Z)_L平面AC￡>；

⑵設(shè)AB=BD=2,/AC3=60。，點尸在3。上，當(dāng)-AFC的面積最小時，求C尸與平面所成的角的正弦

值.

2

4.（2024?全國?高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，AB=8,CD=3,AD=573,ZADC=90°,ZBAD=30°,

2i

點E,尸滿足=AF=-AB,將△>!￡T尸沿所翻折至！PEF,使得PC=4道.

⑴證明：EF1PD；

（2）求平面PC。與平面P8E所成的二面角的正弦值.

考點突破

【考點11利用向量法求距離

一、解答題

1.（2024?海南?模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱ABCO-A4GR中，底面四邊形ABCD為梯形,

AD//BC,AB^AD=2,BD=20,BC=4.

⑴證明：

⑵若直線4B與平面8c2所成角的正弦值為逅，點M為線段BD上一點，求點”到平面的距

6

離.

2.（2024?吉林?模擬預(yù)測）如圖所示，半圓柱。。與四棱錐A-3CDE拼接而成的組合體中，/是半圓弧BC

上（不含氏C）的動點，F(xiàn)G為圓柱的一條母線，點A在半圓柱下底面所在平面內(nèi)，

OB=2OQ=2,AB=AC=2血.

3

(1)求證：CGLBF；

⑵若〃平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值；

⑶求點G到直線。。距離的最大值.

3.(2024?河北,模擬預(yù)測)如圖，四棱錐A-BCED中,平面ABC±平面BCED,AB=AC,AD=AE,BC//DE,

BD=CE,BC=IDE=心/DAE=-ABAC,AD=ABsinZDAE.設(shè)BC中點為H,過點H的平面a同時垂

2

直于平面BAD與平面CAE.

⑴求sin/ZME

⑵求平面a與平面BCED夾角的正弦值；

⑶求平面a截四棱錐A-8CED所得多邊形的周長.

4.(2024?江蘇無錫?模擬預(yù)測)如圖，在棱長為4的正方體AB。-ABC2中，點E在棱M上，且AE=1.

⑴求四棱錐，-瓦皿瓦的表面積

⑵若點P在棱，。上，且尸到平面BQE的距離為運，求點尸到直線E片的距離.

2

5.(23-24高三下?湖南?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,AB=4,CD=2,BC=2,PC=PD=3,

平面PCDJ_平面ABC。，PDVBC.

P

(1)證明：BC_L平面尸CD；

(2)若點。是線段尸C的中點，M是直線A。上的一點，N是直線PD上的一點，是否存在點M,N使得

4

MV=2叵？請說明理由.

9

6.(2024?天津和平?二模)如圖，三棱臺ABC-A4G中，VABC為等邊三角形，AB=2A4=4,A4,，平

面A8C,點M,N,。分別為48,AC,8c的中點，AXB±AC,.

(1)證明：C￡〃平面AMN；

(2)求直線\D與平面&MN所成角的正弦值；

⑶求點D到平面AMN的距離.

反思提升：

(1)向量法求點到直線距離的步驟

①根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量0.

②在直線上任取一點〃(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量謝V.

③垂線段長度d=q9一(加電)2.

(2)求點到平面的距離的常用方法

①直接法：過P點作平面a的垂線，垂足為Q,把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ

的長度就是點尸到平面a的距離.

②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線/平行于平面a,則轉(zhuǎn)化為直線/上某一個點到平面a的距離來

求.

③等體積法.

④向量法：設(shè)平面a的一個法向量為〃，A是a內(nèi)任意點，則點P到a的距離為4=埠我.

【考點2］立體幾何中的探索性問題

一、解答題

1.(2024?貴州貴陽二模)由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺ABC。-A瓦G2中，及尸分別

為A2A8的中點，AB=2AiBl=4,側(cè)面2瓦。夕與底面ABCD所成角為45。.

5

⑴求證：平面AEF；

(2)線段A3上是否存在點使得直線與平面AEP所成的角的正弦值為述，若存在，求出線段40

10

的長；若不存在，請說明理由.

2.(2024?福建泉州,模擬預(yù)測)如圖，棱柱ABC-aqG中，側(cè)棱9_1底面ABC,AC=BC=2,E,F分

別為。4和(74的中點.

⑴求證：EF//平面ABBiA；

(2)設(shè)AB=4a(0<a4#),在平面上是否存在點尸，使EPLFP?若存在，指出尸點的位置：若不

存，請說明理由.

3.(2024?天津?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AD//BC,CDLAD,

AD=CD=2BC=2,平面平面ABCD,PA±PD,PA=PD.

⑴若點E是邊A3的中點，點P是邊PC的中點，求異面直線2C,取所成角的余弦值；

(2)求平面PAC和平面PAD的夾角的余弦值；

PM

⑶在棱PC上是否存在點使得物平面PCD?若存在，求正的值?若不存在，說明理由.

4.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)在正四棱柱ABC。-中，AB=L"=3.

6

⑴在線段CC|上是否存在一點M,使得直線4"，平面BOG，若存在，求出。0長，若不存在，請說明

理由；

⑵已知點N在線段A4上，且AN=1,求二面角A-N四-C的余弦值.

5.（2024?湖南常德?一模）已知直三棱柱ABC-4耳￡中，AB=AC=A^,〃,N分別為BC和8月的中點,

尸為棱AG上的動點，AN，4G.

⑴證明：平面4vp_L平面4MP；

（2）設(shè)AP=4AG，是否存在實數(shù)X，使得平面441AB與平面9V所成的角的余弦值為當(dāng)？

6.（2024?湖南?三模）如圖，四棱錐P-ABCZ）的底面ABC。是梯形，

BCHAD,PA=AB=BC=1,A。=2,PC="PA_L平面ABCD.

⑴求證：平面PBC_L平面上鉆；

（2）在棱尸。上是否存在一點E,使得二面角E-AC-尸的余弦值為".若存在，求出PE.ED的值;若不存在,

3

請說明理由.

反思提升：

第一步根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法證明線線垂直

7

第二步求兩平面的法向量

第三步計算向量的夾角（或函數(shù)值）

第四步借助于函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式確定最值

第五步反思解題思路，檢查易錯點

【考點3】折疊問題

一、解答題

1.（2024?北京大興?三模）如圖（1）,在VABC中，CDLAB,BD=2CD=2AD=4,將.ACD沿CD折起

到APCD的位置，E,F分別為PC,3C上的動點，過EF作平面EFQ，交CD于點Q,使得CD，平面EFQ,

如圖（2）.

圖⑵

S1

⑵若1=7,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角P-flE-F的余弦值.

?BDP4

條件①：平面CDP_L平面BCD；

條件②：EQ1BC.

2.（23-24高三上?河北?期末）如圖所示，直角梯形B18C中，AB//PC,?B90?,。為PC上一點，且

AB=PA=PD=2DC=2,將沿AO折起到SA。位置.

S

⑴若SDLCD,M為的中點，求證：平面團平面SAD；

（2）若SB=?,求平面與平面SBC夾角的余弦值.

3.（21-22高二下?江蘇常州?期中）在RtaABC中，ZC=90°,BC=3,AC=6,D、E分別是AC、AB上的點,

滿足DE〃BC且DE經(jīng)過VA2C的重心，將VADE沿DE折起到△ADE的位置，使4C_LC￡>,“是其。的

中點，如圖所示.

8

⑴求CM與平面\BE所成角的大??；

（2）在線段48上是否存在點N（N不與端點A、8重合），使平面CMN與平面DEN垂直？若存在，求出AN

與BN的比值；若不存在，請說明理由.

4.（2023?山東濰坊?模擬預(yù)測）如圖（1）五邊形"CDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,ZEDC=150,

將.E4D沿AD折到△R4D的位置，得到四棱錐尸-ABCD,如圖（2）,點M為線段PC的中點，且回平

面PCD.

ABAB

圖⑴圖⑵

⑴求證：PA=AD；

（2）若直線PC與AB所成角的正切值為1,求直線BM與平面PDB所成角的正弦值.

5.（23-24高二上?四川南充?階段練習(xí)）如圖，菱形ABC。的對角線AC與3。交于點。，AB=5,AC=6,

點E,尸分別在AD,CD±,AE=CF=^,所交8。于點H,將/E/沿E尸折到小斯位置，OD=M.

⑴證明：。'”，平面48。。；

（2）求平面BAD'與平面ACD'的夾角的余弦值.

6.（2023?江西?模擬預(yù)測）一年一度的創(chuàng)意設(shè)計大賽開幕了.今年小王從世界名畫《永恒的記憶》中獲得靈

感，創(chuàng)作出了如圖1的《垂直時光》.已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同

一個標(biāo)準的圓形鐘沿著直徑MN折成了直二面角（其中M對應(yīng)鐘上數(shù)字3,N對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)MN的

9

中點為。，若長度為2的時針Q4指向了鐘上數(shù)字8,長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準

備安裝長度為3的秒針0C（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移；不考慮三根北針的粗細）.

⑴若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,如圖2.連接N4、BC,若N4//平面03C.求半圓形鐘組件的半徑；

（2）若秒針0C指向了鐘上數(shù)字5,如圖3.設(shè)四面體。4BC的外接球球心為G,求二面角A-OG-C的余弦

值.

反思提升：

1.折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，尤其是

隱含的垂直關(guān)系.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一平面上的性

質(zhì)發(fā)生變化.

2.由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著

線面垂直這個核心展開，這是解決空間垂直問題的技巧.

■分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?山西?三模）正方體A4cd的棱長為2,瓦R分別為ARI用的中點，。為底面ABC。的

中心，則三棱錐O-EFC的體積是（）

J3053J3

A.要B.-C.-D.

6642

2.（2024?山東臨沂?二模）已知正方體A8C。一A瓦G2中，M,N分別為CG，CQ的中點，貝|（）

A.直線MN與4C所成角的余弦值為逅B.平面與平面BGA夾角的余弦值為巫

310

C.在BG上存在點Q,使得用。，82D.在瓦。上存在點P,使得24〃平面

3.（23-24高二上?北京豐臺?期中）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只

由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體,

即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個正八面體ABCDEf1的棱長

為2,M,N分別為棱AZ）,AC的中點，則直線和FN夾角的余弦值為（）

10

「后n而

66

4.（2024?北京順義?二模）如圖，正方體A3C。-48cl2中，尸是線段BG上的動點，有下列四個說法:

①存在點P,使得D\PH平面A}DB；

②對于任意點P,四棱錐P-AA。。體積為定值；

③存在點P,使得\P1平面CQB；

④對于任意點尸，尸都是銳角三角形.

其中，不正卿的是（）

A.①B.②C.③D.④

二、多選題

5.（2024?山東濱州?二模）圖，在邊長為4的正方形AEFC中，8為跖的中點，H為的中點.若分別沿

AB,把這個正方形折成一個四面體，使E、歹兩點重合，重合后的點記為P,則在四面體P-ABC中，

下列結(jié)論正確的是（）

A.PBVAC

11

B.H到直線A4的距離為行

C.三棱錐P-ABC外接球的半徑為巨

3

D.直線P4與BC所成角的余弦值為拽

5

6.（2024?貴州六盤水?三模）（多選）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-A5cA中，點尸是線段4。上的

A.P8G的面積為交

2

B.三棱錐用-PBG的體積為上

O

C,存在點P,使得3尸團PC]

D.存在點P,使得4?；仄矫鍼BC

7.（2022?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,AD=2,ZA=6Q°,瓦廠分別為

A5,AT＞的中點，沿砂將△AEF折起到ZkAEF的位置（A不在平面ABCD上），在折起過程中，下列說法

7

C.當(dāng)二面角A-￡F-5為直二面角時，三棱錐A-BD右外接球的表面積為彳萬

2

TT

D.直線AC和平面ABCD所成的角的最大值為”

6

三、填空題

8.（22-23高二下?安徽?階段練習(xí)）已知力=（0,2,1）是平面a的法向量，點Q。,0,3）在平面a內(nèi)，則點尸（2,2,2）

12

到平面a的距離為.

9.（2024?北京房山?一模）如圖，在棱長為1的正方體與G2中，點P是對角線AQ上的動點（點

尸與點A,G不重合）.給出下列結(jié)論:

①存在點P,使得平面4。尸，平面441c|；

②對任意點P,都有人尸=。尸；

③△AQP面積的最小值為避；

6

④若4是平面與平面A與G"的夾角，％是平面與平面BBCC的夾角，則對任意點尸，都有

8產(chǎn)%.其中所有正確結(jié)論的序號是

10.（2024?北京西城?一模）如圖，正方形ABCD和矩形所所在的平面互相垂直.點P在正方形ABCD及

其內(nèi)部運動，點。在矩形ABEF及其內(nèi)部運動.設(shè)鉆=2,AF=1,給出下列四個結(jié)論:

①存在點P，。，使PQ=3；

②存在點尸，。，使CQ//EP；

③到直線的（和EF的距離相等的點尸有無數(shù)個；

④若R4LPE,則四面體尸AQE體積的最大值為g.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題

11.（2024?天津北辰?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面ABC。，AD1DC,ABSDC,

AB=AO=(CD=2,PD=2,M為棱PC的中點.

13

⑴證明：BM//平面PAD；

（2）求平面PDM和平面DMB夾角的余弦值；

⑶求A點到直線尸C的距離.

12.（2023?福建廈門?模擬預(yù)測）箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形ABC。為

箏形,其對角線交點為O,AB=y/2,BD=BC=2,^△ABD沿3。折到“ABD的位置,形成三棱錐A-BCD.

B

D

⑴求B到平面AOC的距離；

iArp

（2）當(dāng)AC=1時，在棱AD上是否存在點P,使得直線BA'與平面POC所成角的正弦值為；?若存在，求不；

4AD

的值；若不存在，請說明理由.

【能力篇】

一、單選題

1.（2023?湖南邵陽?二模）如圖所示，在矩形ABC。中，AB=5AD=1,平面ABC。，且Ab=3,

點E為線段CD（除端點外）上的動點，沿直線AE將翻折到一。NE,則下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)點E固定在線段CD的某位置時，點儀的運動軌跡為球面

B.存在點E,使平面DAE

14

C.點A到平面的距離為

2

D.異面直線即與BC所成角的余弦值的取值范圍是

二、多選題

2.（2024?山西晉城?二模）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A8GR中，點尸是側(cè)面AORA,內(nèi)的一點,

點E是線段CG上的一點，則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)點P是線段的中點時，存在點E,使得平面尸耳2

9

B.當(dāng)點石為線段CG的中點時，過點A,E,2的平面截該正方體所得的截面的面積為:

4

C.點￡到直線32的距離的最小值為近

D.當(dāng)點E為棱cq的中點且PE=20時，則點尸的軌跡長度為個

三、填空題

3.（2023?江西宜春?一模）如圖，多面體ABCD竹中，面ABCD為正方形，平面ABCD,C產(chǎn)〃。E,且

43=?！?2,。b=1,3為棱8（7的中點，”為棱DE上的動點，有下列結(jié)論：

①當(dāng)H為DE的中點時，GH〃平面ABE；

②存在點使得G"_LAC；

③直線GH與BE所成角的余弦值的最小值為竽；

④三棱錐A-BCF的外接球的表面積為9兀.

其中正確的結(jié)論序號為.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

15

四、解答題

4.（2024?北京?三模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZABC=6O°,PA=PC,

“為以中點，PC=3NC.