2024-2025學(xué)年中國人民大學(xué)附中高二（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（三）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年中國人民大學(xué)附中高二（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（三）一、單選題：本大題共10小題，共40分。1.直線x+3y+2=0的傾斜角為A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知直線l的方向向量u=(?2,4)且過點A(?1,?2)，則l的方程為(

)A.2x+y+4=0 B.2x?y=0 C.x+2y+5=0 D.x?2y?3=03.過點A(3,5)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為(

)A.x?y+2=0 B.x+y?8=0

C.5x?3y=0或x+y?8=0 D.5x?3y=0或x?y+2=04.下列說法中正確的有(

)A.若兩直線平行，則兩直線的斜率相等

B.若兩直線的斜率相等，則兩直線平行

C.若兩直線的斜率乘積等于?1，則兩直線垂直

D.若兩直線垂直，則兩直線的斜率乘積等于?15.兩平行直線mx?3y?2=0與4x?6y?7=0之間的距離為(

)A.1326 B.1313 C.6.已知直線l1：ax+y+1=0與直線l2：x+ay?1=0，則“a=1”是l1//A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知一條光線從點(4,0)發(fā)出被直線x+y?10=0反射，若反射光線過點(0,1)，則反射光線所在的直線方程為(

)A.x?2y+2=0 B.3x?2y+2=0 C.2x?3y+3=0 D.2x?y+1=08.已知圓M經(jīng)過P(1,1)，Q(?7,?5)兩點，且圓心M在直線l：x?2y?1=0，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.(x?2)2+(y?3)2=5 B.(x?39.如圖，二面角α?l?β的大小為π3，棱l上有A，B兩點，線段AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l.若AC=3，BD=4，CD=7，則線段AB的長為(

)A.5 B.6 C.7 D.810.若直線kx?y?3k+2=0與直線x+ky?2k?1=0交于點P，則P到坐標(biāo)原點距離的最大值為(

)A.22 B.22+1 二、填空題：本大題共5小題，共20分。11.已知直線m：(a+2)x+ay+3=0，n：ax+2y?4=0，若m⊥n，則實數(shù)a=______．12.已知點A(2,1)，B(3,?2)，若直線l：y=k(x?1)與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是______．13.已知直線l1：2x+y?2=0與直線l2：22x?y?4=0交于點A，過點A14.已知實數(shù)x1，x2，y1，y2滿足x12+y115.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點，點P在正方體的表面上運動，且滿足平面AA1P⊥平面BB1E.給出下列四個結(jié)論：

①△AA1P的面積的最大值為5；

②滿足使△AA1P的面積為2的點P有且只有4個；三、綜合題：共40分。16.已知△ABC的頂點為A(0,2)，B(6,4)，C(4,0)．

(1)求邊AC的垂直平分線的一般式方程；

(2)求△ABC的外接圓的方程．17.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2EF=4，AE=DE=2．

(1)求證：AB/?/EF；

(2)從下面三個條件中選擇一個作為已知，使五面體ABCDEF存在.求直線AE與平面BCF所成角的正弦值．

條件①：平面CDEF⊥平面ABCD

條件②：平面ADE⊥平面ABCD

條件③：CD⊥AE

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18.如圖，設(shè)直線l1：x=0，l2：3x?4y=0點A的坐標(biāo)為(1,a)(a>34).過點A的直線l的斜率為k，且與l1，l2分別交于點M，N(M,N的縱坐標(biāo)均為正數(shù))．

(1)設(shè)a=1，求△MON面積的最小值；

(2)是否存在實數(shù)a，使得119.已知集合P的元素個數(shù)為3n(n∈N?)且元素均為正整數(shù)，若能夠?qū)⒓螾分成元素個數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合A，B，C，即P=A∪B∪C，A∩B=?，A∩C=?，B∩C=?，其中A={a1,a2,…,an}，B={b1,b2,…,bn}，C={c1,c2,…,cn}，且滿足c1<c2<…<cn，ak+bk=ck，k=1，參考答案1.D

2.A

3.D

4.BC

5.C

6.C

7.A

8.C

9.B

10.B

11.0或?4

12.[0,π13.2x?4y?214.4+215.①④

16.解：(1)設(shè)AC中點為D，

因為A(0,2)，C(4,0)．

所以D(2,1)，

由題意得kAC=0?24?0=?12，所以邊AC上高的斜率為2，

又因為AC的垂直平分線過點D(2,1)，

所以AC的垂直平分線的方程為：y?1=2(x?2)，即2x?y?3=0．

(2)設(shè)△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．

將A，B，C三點坐標(biāo)代入上式得2E+F+4=017.解：(1)證明：因為四邊形ABCD為矩形，所以AB/?/CD，

又AB?平面CDEF，CD?平面CDEF，

所以AB/?/平面CDEF，

又平面ABEF∩平面CDEF=EF，AB?平面ABEF，

所以AB/?/EF；

(2)若選條件①：平面CDEF⊥平面ABCD，

則平面CDEF∩平面ABCD=CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，

所以AD⊥平面CDEF，ED?平面CDEF，所以AD⊥ED，

但是AE=DE=2，因此AD⊥ED不可能，所以選擇條件①的五面體不存在，

若選擇條件②：平面ADE⊥平面ABCD，

取AD的中點O，BC的中點M，連接OE，OM，

則OM⊥AD，由AE=DE=2，得OE⊥AD，且OE=1，

因為平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，OE?平面ADE，

所以O(shè)E⊥平面ABCD，由OM?平面ABCD，得OE⊥OM，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系O?xyz，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(?1,4,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,2,1)，

則AE=(?1,0,1),BC=(?2,0,0),BF=(?1,?2,1)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面BCF的一個法向量，

則n?BC=?2x=0n?BF=?x?2y+z=0，

令y=1，得x=0，z=2，所以n=(0,1,2)，

|cos?n,AE?|=|n?AE||n||AE|=25×2=105，

設(shè)直線AE與平面BCF所成角為α，則sinα=105．

所以直線AE與平面BCF所成角的正弦值為105．

若選擇條件③：CD⊥AE，

由于CD⊥AE，CD⊥AD，AD∩AE=A，AD，AE?平面AED，

所以CD⊥平面AED，CD?平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD，

因為平面ADE∩平面ABCD=AD，OE?平面ADE，

所以O(shè)E⊥平面ABCD，由OM?平面ABCD，得OE⊥OM，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系O?xyz，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(?1,4,0)，E(0,0,1)18.解：(1)∵直線l過點A(1,a)(a>34)，且斜率為k，

∴直線l的方程為y=k(x?1)+a，

∵直線l與l1，l2分別交于點M，N，∴k≠34，

因此由x=0y=k(x?1)+a，得x=0y=a?k，即M(0,a?k)，

由3x?4y=0y=k(x?1)+a，得x=4k?4a4k?3y=3k?3a4k?3，即N(4k?4a4k?3,3k?3a4k?3).

又∵M，N的縱坐標(biāo)均為正數(shù)，∴a?k>03k?3a4k?3>0，即a?k>04k?3<0．

而a>34，因此k<34．

又∵當(dāng)a=1時，直線OA的方程為x?y=0，

則M(0,1?k)，N(4k?44k?3,3k?34k?3)，且|OA|=2，

∴點M到直線OA的距離為|k?1|2=2(1?k)2，

點N到直線OA的距離為|4k?44k?3?3k?34k?3|2=2|k?1|2|4k?3|=2(1?k)2(3?4k)，

因此△MON的面積S=12?2?[2(1?k)2+19.解：(Ⅰ)將P分為{1}，{2}，{3}滿足條件，是完美集合．將Q分成3個，每個中有兩個元素，則a1+b1=c1，a2+b2=c2；Q中所有元素之和為21，21÷2=10.5=c1+c2，不符合要求．