2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式2.2.1基本不等式導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修第一冊

第1課時(shí)基本不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)學(xué)會(huì)推導(dǎo)、證明不等式ab≤a+b2【問題探究】如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b.過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何說明嗎？題型1對基本不等式的理解例1(多選)下列推導(dǎo)過程，其中正確的是()A．因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以ba+aB．因?yàn)閍>3，所以4a＋a≥24C．因?yàn)閍<0，所以4a＋a≥24D．因?yàn)閤，y∈R，xy<0，所以xy+yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2學(xué)霸筆記：基本不等式的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“和式”與“積式”的相互轉(zhuǎn)化，當(dāng)題目中不等號(hào)的兩端一端是“和式”而另一端是“積式”時(shí)，就要考慮利用基本不等式來解決，在應(yīng)用過程中留意“一正、二定、三相等”．跟蹤訓(xùn)練1已知a≠0，下列各不等式恒成立的是()A．a(chǎn)＋1a>2B．a(chǎn)＋1C．a(chǎn)＋1a≤－2D．|a＋1題型2利用基本不等式干脆求最值例2(1)當(dāng)x>0時(shí)，求12x＋4x(2)當(dāng)x<0時(shí)，求12x＋4x學(xué)霸筆記：應(yīng)用基本不等式求最值，必需根據(jù)“一正，二定，三相等”的條件進(jìn)行，若具備這些條件，則可干脆運(yùn)用基本不等式，若不具備這些條件，則應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危櫽?xùn)練2(1)已知a>0，則a＋4aA．2B．3C．4D．5(2)設(shè)x>0，則y＝3－3x－1xA．3B．3＋23C．3－23D．－1題型3利用基本不等式求兩個(gè)變量和(積)的最值例3把36寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小？一題多變把18寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？學(xué)霸筆記：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，(1)若a＋b＝p(和為定值)，則當(dāng)a＝b時(shí)，積ab有最大值p24，這可以用基本不等式(2)若ab＝S(積為定值)，則當(dāng)a＝b時(shí)，和a＋b有最小值2S，這可以用基本不等式a＋b≥2ab求得．不論哪種狀況都要留意等號(hào)取得的條件．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知正數(shù)a，b滿意ab＝8，則a＋2b的最小值是()A．4B．6C．22D．8(2)已知x>0，y>0，且滿意x＋6y＝6，則xy有()A．最大值32B．最小值C．最大值1D．最小值1隨堂練習(xí)1.不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是()A．a(chǎn)＝±1B．a(chǎn)＝1C．a(chǎn)＝－1D．a(chǎn)＝02．下列不等式中，正確的是()A．a(chǎn)＋4a≥4B．a(chǎn)2＋b2≥4C．x2＋3x2≥233．已知m>0，n>0，mn＝81，則m＋n的最小值是()A．9B．18C．93D．274．已知y＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a課堂小結(jié)1.基本不等式的推導(dǎo)與證明．2．利用基本不等式求最值要滿意條件“一正、二定、三相等”，缺一不行．第1課時(shí)基本不等式問題探究提示：如題圖，可證△ACD∽△DCB，因而CD＝ab.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為ab≤a+b2.明顯，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a例1解析：對于A，a，b為正實(shí)數(shù)，有ba>0，ab>0，且ba·ab＝1，又當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ba對于B，4a＋a≥24a·a＝4，當(dāng)a>3時(shí)，4a>0，且a·4a＝4，明顯不存在大于3的正數(shù)a使a＝對于C，因?yàn)閍<0，則4a對于D，x，y∈R，xy<0，則－xy>0，－yx>0，且-xy·-yx＝1，又當(dāng)且僅當(dāng)y＝－答案：AD跟蹤訓(xùn)練1解析：取a＝－1時(shí)，a＋1a＝－2，可推斷選項(xiàng)A、B不正確；取a＝1時(shí)，a＋1a＝2，可推斷選項(xiàng)C不正確；因?yàn)閍，1a同號(hào)，|a＋1a|＝|a|＋|答案：D例2解析：(1)∵x>0，∴12x>0，4x∴12x＋4x≥212x·當(dāng)且僅當(dāng)12x＝4x，即x＝3時(shí)取最小值83∴當(dāng)x>0時(shí)，12x＋4x的最小值為83(2)∵x<0，∴－x>0.則12-x＋(－4x)≥212-當(dāng)且僅當(dāng)12-x＝－4x時(shí)，即x＝－∴12x＋4x≤－83∴當(dāng)x<0時(shí)，12x＋4x的最大值為－83跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閍>0，所以a＋4a＋1≥2a·4a＋1＝5.當(dāng)且僅當(dāng)a＝4a，即a(2)因?yàn)閤>0，所以3x＋1x≥23x·1x＝23，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝1x，即x＝33時(shí)取等號(hào)，所以3－3x－1x≤3－23，即y＝3－3x答案：(1)D(2)C例3解析：設(shè)兩個(gè)正數(shù)為a，b，由題意ab＝36，則a＋b≥2ab＝12，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝6時(shí)等號(hào)成立，即a＝b＝6時(shí)，它們的和最小，為12.一題多變解析：設(shè)兩個(gè)正數(shù)為a，b，由題意a＋b＝18，則ab≤a+b24＝81當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝9時(shí)等號(hào)成立，即a＝跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)由a，b為正實(shí)數(shù)，則a＋2b≥22ab＝22×8＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝4，(2)xy＝x·6y6≤16x+6y22答案：(1)D(2)A[隨堂練習(xí)]1．解析：當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0即a＝1時(shí)，“＝”成立．故選B.答案：B2．解析：A.當(dāng)a<0時(shí)，a＋4a≤－4，故錯(cuò)誤；B.因?yàn)閍2＋b2≥2ab，故錯(cuò)誤；C.由基本不等式得x2＋3x2≥23，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝3時(shí)，取等號(hào)，故正確；D.當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，ab答案：C3．解析：因?yàn)?/p>