統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例學(xué)生用書

第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例·最新考綱·駕馭正弦定理和余弦定理，并能解決一些簡潔的三角形度量問題．·考向預(yù)料·考情分析：利用正、余弦定理解三角形，推斷三角形的形態(tài)，尤其是正、余弦定理的綜合問題仍將是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題．學(xué)科素養(yǎng)：通過利用正、余弦定理解決實(shí)際問題考查數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．積累必備學(xué)問——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記3個學(xué)問點(diǎn)1．仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線______時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線______時叫俯角．(如圖所示)2．方位角一般指正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角45°，是指________________，即東北方向．3．方向角相對于某一正方向的角(如圖)(1)北偏東α：指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(2)東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.(3)其他方向角類似．二、必明2個常用結(jié)論1．坡角坡面與水平面的夾角．(如圖所示)2．坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝hl＝tanα(i為坡比，α三、必練4類基礎(chǔ)題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．(1)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，π(2)若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏東44°，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的東偏北46°.()(3)方位角大小的范圍是[0，π)，方向角大小的范圍是0，π(二)教材改編2．[必修5·P15練習(xí)T1改編]從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°3．[必修5·P11例1改編]如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．502mB．503mC．252mD．252(三)易錯易混4．一船向正北航行，望見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，接著航行半小時后，望見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里5．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的________方向上．(四)走進(jìn)高考6．[2024·全國乙卷]魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”．則海島的高AB＝()A．表高×表距表目距的差B．表高×表距表目距的差C．表高×表距表目距的差D．表高×表距提升關(guān)鍵實(shí)力——考點(diǎn)突破駕馭類題通法考點(diǎn)一解三角形應(yīng)用舉例[應(yīng)用性]角度1距離問題[例1][2024·山東測試]自古以來，人們對于崇山峻嶺都心存敬畏，同時感慨大自然的鬼斧神工，一代詩圣杜甫曾賦詩《望岳》：“岱宗夫如何？齊魯青未了．造化鐘神秀，陰陽割昏曉．蕩胸生層云，決毗入歸鳥．會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山?。比欢?，隨著技術(shù)手段的發(fā)展，山高路遠(yuǎn)便不再阻礙人們出行，宏大領(lǐng)袖毛主席曾作詞：“一橋飛架南北，天塹變通途”．在科技騰飛的當(dāng)下，路橋建設(shè)部門仍舊潛心探討如何縮短空間距離便利出行，如港珠澳跨海大橋等．如圖為某工程隊(duì)將A到D修建一條隧道，測量員測得一些數(shù)據(jù)如圖所示(A，B，C，D在同一水平面內(nèi))，則A，D間的距離為________．聽課筆記：反思感悟求解距離問題應(yīng)留意(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則干脆解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.角度2高度問題[例2][2024·遼寧高三月考]岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽樓的高度CD約為(2≈1.414，3≈1.732)()A．18米B．19米C．20米D．21米聽課筆記：反思感悟求解高度問題應(yīng)留意(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角；(2)精確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，留意方程思想的運(yùn)用.角度3角度問題[例3][2024·河南豫西名校聯(lián)考]當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60°時，一根長為2m的竹竿如圖所示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角為()A．30°B．60°C．45°D．90°聽課筆記：反思感悟測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．[提示]方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時，必需先弄清晰哪一個點(diǎn)的方向角．【對點(diǎn)訓(xùn)練】1．甲船在A處視察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的3倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東θ方向前進(jìn)，則θ＝()A．15°B．30°C．45°D．60°2．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，須要測量兩山頂間的距離．已知山高AB＝1km，CD＝3km，在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為60°，∠BED＝120°，則兩山頂A，C之間的距離為()A．22kmB．10kmC．13kmD．33km3．[2024·福建漳州市月考]為了增加數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，強(qiáng)化學(xué)生的理解，某學(xué)校開展了一次戶外探究．當(dāng)?shù)赜幸蛔?，高度為OT，同學(xué)們先在地面選擇一點(diǎn)A，在該點(diǎn)處測得這座山在西偏北21.7°方向，且山頂T處的仰角為30°；然后從A處向正西方向走140米后到達(dá)地面B處，測得該山在西偏北81.7°方向，山頂T處的仰角為60°.同學(xué)們建立了如圖模型，則山高OT為()A．207米B．257米C．2021米D．2521米考點(diǎn)二正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用[綜合性][例4][2024·廣東廣州市高三模擬]如圖，在四邊形ABCD中，△BCD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝55，BD＝2，AC與BD交于點(diǎn)E(1)求sin∠ACD；(2)求△ABE的面積．聽課筆記：

反思感悟平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所供應(yīng)的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解．(2)找尋各個三角形之間的聯(lián)系，交叉運(yùn)用公共條件，求出結(jié)果.【對點(diǎn)訓(xùn)練】[2024·廣東湛江市高三模擬]如圖，在平面四邊形ABCD中，∠DAB＝5π6，∠ADC＝π4，AB＝2AC＝22，(1)求cos∠ACD的值；(2)求BC的值．微專題20滲透智育教化激活思維潛能五育并舉[例][2024·河南高三模擬]“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于今山西永濟(jì)市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳聞常有鸛雀在此停留，故有此名．下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客(身高忽視不計(jì))從地面D點(diǎn)看樓頂點(diǎn)A的仰角為30°，沿直線前進(jìn)79米到達(dá)E點(diǎn)，此時看點(diǎn)C的仰角為45°，若BC＝2AC，則樓高AB約為()A．65米B．74米C．83米D．92米解析：設(shè)AC的高度為x，則由已知可得AB＝3x，BC＝BE＝2x，BD＝ABtan∠ADB＝33所以DE＝BD－BE＝33x－2x＝79，解得x＝793所以樓高AB≈3×24.7＝74.1≈74(米)．答案：B名師點(diǎn)評本題以“鸛雀樓”為背景設(shè)計(jì)試題，考查解三角形等學(xué)問，體現(xiàn)了智育的素養(yǎng)導(dǎo)向．破解此類題的關(guān)鍵是精確獲得有效信息，合理運(yùn)用獲得到的信息畫出草圖，把所求的問題轉(zhuǎn)化到幾何圖形中，通過合理運(yùn)用平面幾何相關(guān)學(xué)問進(jìn)行求解．[變式訓(xùn)練][2024·東北三省四市教研聯(lián)考]如圖，小明同學(xué)為了估算某建筑物的高度，在該建筑物的正東方向找到一座建筑物AB，高為(153－15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測得樓頂A、該建筑物頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得該建筑物C的仰角為30°，則小明估算該建筑物的高度為()A．20mB．30mC．203mD．303m第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例積累必備學(xué)問一、1．上方下方2．北偏東45°三、1．答案：(1)×(2)×(3)×2．解析：由已知及仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖，則α＝β.答案：B3．解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又由題意得∠CBA＝30°，所以AB＝ACsin答案：A4.解析：如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是這艘船的速度是50.5答案：C5.解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.答案：北偏西15°6．解析：因?yàn)镕G∥AB，所以FGAB＝GCCA，所以GC＝FGAB·CA.因?yàn)镈E∥AB，所以DEAB＝EHAH，所以EH＝DEAB·AH.又DE＝FG，所以GC－EH＝DEAB(CA－AH)＝DEAB×HC＝DEAB×(HG＋GC)＝DEAB×(EG－EH＋GC)．由題設(shè)中信息可得，表目距的差為GC－EH，表高為DE，表距為答案：A提升關(guān)鍵實(shí)力考點(diǎn)一例1解析：如圖，連接BD，在△BCD中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝9＋25－2×3×5×-1所以BD＝7，由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，即解得sin∠DBC＝33因?yàn)椤螦BD＝∠ABC－∠DBC，所以cos∠ABD＝cos(90°－∠DBC)＝sin∠DBC＝33在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD＝16＋49－2×4×7×3314＝65－12所以AD＝65-123，即A，D間的距離為65-12答案：65-123例2解析：Rt△ADC中，∠DAC＝30°，則AC＝3CD，Rt△BDC中，∠DBC＝45°，則BC＝CD，由AC－BC＝AB得3CD－CD＝14?CD＝143-1＝7(3＋1)≈19.124，答案：B例3解析：設(shè)竹竿與地面所成的角為α，影子長為xm．由正弦定理得2sin60°＝xsin120°-α，所以x＝433sin(120°－α)，因?yàn)?0°<120°－α答案：A對點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：如圖，設(shè)兩船在C處相遇，則由題意得∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得ACBC＝sin120所以sin∠BAC＝12又因?yàn)?°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進(jìn)．答案：B2．解析：由題意知，AB＝1km，CD＝3km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠BED＝120°.所以BE＝ABtan30°＝1DE＝CDtan60°＝3在△BED中，由余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2×BE×DE×cos∠BED＝3＋3－2×3×所以AC＝BD2+CD-AB2＝即兩山頂A，C之間的距離為13km.故選C.答案：C3．解析：設(shè)山OT的高度為h，在Rt△AOT中，∠TAO＝30°，AO＝htan30°＝在Rt△BOT中，∠TBO＝60°，BO＝htan60°＝在△AOB中，∠AOB＝81.7°－21.7°＝60°，由余弦定理得，AB2＝AO2＋BO2－2·AO·BO·cos60°；即1402＝3h2＋13h2－2×3h×33h×12，化簡得h2＝3又h>0，所以解得h＝140×37＝2021即山OT的高度為2021(米)．答案：C考點(diǎn)二例4解析：(1)因?yàn)椤鰾CD是等腰直角三角形，∠BCD＝90°，BD＝2，所以∠CBD＝∠CDB＝45°，BC＝CD＝BDsin45°＝2；在△ABD中，∠ADB＝90°，sin∠ABD＝55，所以cos∠ABD＝1-55因此AB＝BDcos∠ABD＝5，則AD＝記∠ACD＝θ，則∠CAD＝180°－∠ADC－θ＝45°－θ，0°<θ