湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

湖北省部分中學(xué)聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題試卷滿(mǎn)分：150分★?？荚図槷?dāng)★留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、考號(hào)、班級(jí)、姓名等填寫(xiě)在答題卡上.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷、草稿紙上無(wú)效.3.填空題和解答題的作答：用0.5毫米黑色簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷、草稿紙上無(wú)效.4.考生必需保持答題卡的整齊.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則集合的真子集有（）A.3個(gè) B.4個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合并確定元素的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求其真子集的個(gè)數(shù)，即得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，即集合中有3個(gè)元素，所以的真子集有個(gè).故選：C2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合，再由并集的定義即可得出答案.【詳解】，所以.故選：B.3.若命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將命題“”是假命題，轉(zhuǎn)化為命題“”是真命題，利用判別式法求解.【詳解】因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題“”是真命題，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D4.已知：，：，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)是的充分條件列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意：：，：，：或；：或，由于是的充分條件，所以，所以.故選：B5.已知正數(shù)、滿(mǎn)意，求的最小值是（）A. B.9 C. D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)基本不等式“1”的妙用，可得答案.【詳解】因?yàn)?，均為正?shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.6.已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)給定條件結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，求解即可得a的取值范圍.【詳解】因函數(shù)是R上的增函數(shù)，則，解得，所以a的取值范圍是：.故選：B7.已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)與，其中，方程的兩根為，則下列推斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將方程的兩根為的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】由題意可知方程的兩根為，即的兩根為，則可轉(zhuǎn)化為圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)的圖象如圖示：函數(shù)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)如圖示，則；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)圖象如圖示：函數(shù)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)如圖示，則；綜合上述，可知，故選：C8.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，假如關(guān)于的方程恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值等于（）A.5 B.－4 C.4 D.－5【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合題意可得出關(guān)于的方程的兩根，再利用韋達(dá)定理即可得解.【詳解】解：函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以或，所以，所以.故選：A.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有若干個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的可能取值（）A.0 B.3 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由集合間的關(guān)系，依據(jù)、探討，運(yùn)算即可得解.【詳解】∵集合，，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)意題意；當(dāng)時(shí)，，要使，則須要滿(mǎn)意或，解得或，a的值為0或或.故選：ACD.10.若函數(shù)對(duì)定義域中的每一個(gè)都存在唯一的，使成立，則稱(chēng)為“影子函數(shù)”，以下說(shuō)法正確的有（）A.“影子函數(shù)”可以是奇函數(shù)B.“影子函數(shù)”的值域可以是C.函數(shù)是“影子函數(shù)”D.若，都是“影子函數(shù)”，且定義域相同，則是“影子函數(shù)”【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)新定義舉例推斷．【詳解】，在其定義域內(nèi)，對(duì)隨意的，存在，使得成立，是“影子函數(shù)”，它也是奇函數(shù)；A正確；若“影子函數(shù)”值域是R，則當(dāng)滿(mǎn)意時(shí)，不存在，使得，B錯(cuò)誤；，對(duì)隨意的，，是唯一的，C正確；若，，，不是“影子函數(shù)”，如，，或時(shí)，都有，不唯一，D錯(cuò)誤．故選：AC．11.德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.函數(shù)的值域是C.若且為有理數(shù)，則對(duì)隨意的恒成立D.在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形.【答案】ABC【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性，值域的概念，周期性，對(duì)選項(xiàng)逐一推斷【詳解】對(duì)于A(yíng)，由得，故為偶函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，的值域是，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)且為有理數(shù)時(shí)，若為有理數(shù)，則為有理數(shù)，若為無(wú)理數(shù)，則為無(wú)理數(shù)，故，故C正確，對(duì)于D，取得為等邊三角形，故D錯(cuò)誤，故選：ABC12.已知函數(shù)的最小值為0，（為自然常數(shù)，），則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】由已知得當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A(yíng)C，當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，則，代入解不等式得解；對(duì)于BD，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，推斷的單調(diào)性，求出最小值即可推斷.【詳解】由函數(shù)的最小值為0，當(dāng)時(shí)，，即，故當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)榈淖蛹?，即?duì)于A(yíng)C，當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，又，則，即，故A正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由A知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則，即，故D正確；故選：AD第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若集合，，則_________（用列舉法表示），集合與集合的關(guān)系為：A____B（填入適當(dāng)?shù)姆?hào)）.【答案】①.②.【解析】【分析】由集合及集合中元素與的關(guān)系知是由集合的子集構(gòu)成的集合，應(yīng)用列舉法寫(xiě)出集合，即可得到答案【詳解】因?yàn)?，，所以集合中的元素是集合的子集：，所以集合，因?yàn)榧鲜羌系囊粋€(gè)元素，所以，故答案為：；14.若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性可得，依據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】解：由題意可得，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案為：.15.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分，和三種狀況探討，結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的值域，再依據(jù)題意列出不等式，從而可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，則此時(shí)函數(shù)的值域不是，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，則此時(shí)函數(shù)的值域不是，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，解得，綜上所述實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋?，則的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】[1,13]【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到m與n的關(guān)系，化簡(jiǎn)后利用不等式即可求出其范圍.【詳解】二次函數(shù)f(x)對(duì)稱(chēng)軸為，∵f(x)值域?yàn)椋嗲?，n＞0.，∵====∴，，∴∈[1,13].故答案為：[1,13].四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)全集為，，.（1）若，求；（2）若，是否存在實(shí)數(shù)使得是的_________，存在求實(shí)數(shù)的取值范圍，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)?jiān)赺________處從“①充分不必要條件”、“②必要不充分條件”中選擇一個(gè)再作答.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得，結(jié)合分式不等式解法運(yùn)算求解；（2）若選擇①：分析可得包含關(guān)系，依據(jù)真子集的概念列式運(yùn)算；若選擇②：分析可得包含關(guān)系，依據(jù)真子集的概念列式運(yùn)算.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樾铦M(mǎn)意，解得，所以.所以.【小問(wèn)2詳解】若選擇①充分不必要條件，則是B真子集，因?yàn)?，故，不等式無(wú)解，即不存在實(shí)數(shù)使得是的充分不必要條件.若選擇②必要不充分條件，則是A的真子集，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知，命題p：，恒成立；命題q：存，使得.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p，q有且只有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）命題為真命題時(shí)，轉(zhuǎn)化為，求的取值范圍；（2）當(dāng)命題為真命題時(shí)，即，再求當(dāng)兩個(gè)命題一真一假時(shí)，的取值范圍的交集.【詳解】（1）∵，∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是（2）當(dāng)q為真命題時(shí)，則，解得∵p，q有且只有一個(gè)真命題當(dāng)真假時(shí)，，解得：當(dāng)假真時(shí)，，解得：綜上可知，或故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或.19.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x2+4x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）當(dāng)x∈[t，t+1]（t＞0）時(shí)，求f（x）最大值g（t），并求函數(shù)g（t）的最小值．【答案】（1）（2），的最小值為【解析】【分析】（1）由已知偶函數(shù)定義結(jié)合已知區(qū)間上函數(shù)解析式即可求解；（2）由已知函數(shù)，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸與已知區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)探討可求．【小問(wèn)1詳解】若，則，則，為偶函數(shù)，則，故.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)最小值為；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)最小值大于.故，.20.已知集合具有性質(zhì)：對(duì)隨意，（），與至少一個(gè)屬于.（1）分別推斷集合，與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（2）證明：；（3）具有性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，求集合.【答案】（1）集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）.【解析】【分析】（1）由性質(zhì)定義推斷，（2）由性質(zhì)定義證明，（3）由（2）得，再由性質(zhì)定義求解，【小問(wèn)1詳解】集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)理由如下：對(duì)集合，由于所以集合具有性質(zhì)；對(duì)集合，由于，故集合不具有性質(zhì).【小問(wèn)2詳解】由于，則，故，，故得證.【小問(wèn)3詳解】由于，故，又，故，又，故，.因此集合.21.已知函數(shù)，，.（1）若，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)隨意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，記為函數(shù)在上的最大值，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用在上的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域；（2）轉(zhuǎn)化為在上，，分類(lèi)探討求的最大值，然后可得參數(shù)范圍；（3）依據(jù)肯定值的意義求得的表達(dá)式，然后由的單調(diào)笥得最小值．【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，所以在上為減函數(shù).故的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】∵對(duì)隨意的，總存在，使得，∴在上，，∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，又∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為，①當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去.②當(dāng)時(shí)，在上的值域，∴，得，∴；③當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椋恍?，?綜上，的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】函數(shù)為的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，解，得，故當(dāng)，.綜上，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時(shí)取最小值為.22.定義：若函數(shù)對(duì)于其定義域內(nèi)的某一數(shù)，有，則稱(chēng)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且圖像上兩個(gè)點(diǎn)、橫坐標(biāo)恰是函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且、的中點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，求的最小值.（參考公式：，的中點(diǎn)坐標(biāo)為）【答案】（1）不動(dòng)點(diǎn)為3和；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義令，則有，解出即可；（2）令，化簡(jiǎn)得到，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式得到，最終得到的最小值，再