2019年中考數(shù)學復習第四單元圖形的初步認識與三角形第19講解直角三角形練習

第19講解直角三角形重難點1解直角三角形(2018·眉山)如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD相交于點O，則tan∠AOD＝2．【思路點撥】設以BC為頂點的小正方形為EKBC，連接BE，BE與CD相交于點F.由題意易得BF＝CF，△ACO∽△BKO.由相似三角形的對應邊成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，繼而求得答案．eq\x(方法指導)在網(wǎng)格中求某個角的銳角三角函數(shù)值，如果這個角是以格點為頂點的直角三角形的一個內角，可利用銳角三角函數(shù)的定義直接求解；若不是，則可利用相等的角轉化或通過添加輔助線的方法，使這個角成為直角三角形的內角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的邊長或對應邊的比值，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解．(2018·上海)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝eq\f(3,4).(1)求邊AC的長；(2)設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D，求eq\f(AD,BD)的值．【思路點撥】(1)過點A作AE⊥BC，解Rt△ABE求出AE，BE，再根據(jù)勾股定理，即可在Rt△AEC中求出AC的長；(2)作DF垂直平分BC，則BF＝eq\f(1,2)BC，解Rt△BDF求出DF，再利用勾股定理求出BD，進而求出AD，則eq\f(AD,BD)的值即可求出．【自主解答】解：(1)過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△ABE中，tan∠ABC＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,4)，AB＝5.∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理，得AC＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).(2)作DF垂直平分BC，垂足為F，則BD＝CD，BF＝CF＝eq\f(5,2).∵tan∠DBF＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(3,4)，∴DF＝eq\f(15,8).在Rt△BFD中，根據(jù)勾股定理，得BD＝eq\r(（\f(5,2)）2＋（\f(15,8)）2)＝eq\f(25,8).∴AD＝5－eq\f(25,8)＝eq\f(15,8).則eq\f(AD,BD)＝eq\f(3,5).eq\x(方法指導)解直角三角形的問題時，通常都是根據(jù)圖形將已知條件在圖形中表示出來，再根據(jù)要求的邊或角并結合已知條件，尋找與之對應的邊角關系來解題．重難點2解直角三角形的實際應用(2018·廣安)據(jù)調查，超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一，小強用所學知識對一條筆直公路上的車輛進行測速．如圖，觀測點C到公路的距離CD＝200m，檢測路段的起點A位于點C的南偏東60°方向，終點B位于點C的南偏東45°方向上，一輛轎車由東向西勻速行駛，測得此車由A處行駛到B處的時間為10s，問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度？(觀測點C離地面的距離忽略不計．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)【思路點撥】根據(jù)速度＝eq\f(路程,時間)，而時間已知，故要求速度，則需要求出A到B的距離．解Rt△CDA和Rt△CDB分別求出DA和BD，則AB即可求出，進而可以求出AB的速度，與16m/s比較大小即可得出結論．【自主解答】解：由題意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°.在Rt△CDB中，tan∠DCB＝eq\f(DB,DC)＝eq\f(DB,200)＝1.解得DB＝200.在Rt△CDA中，tan∠DCA＝eq\f(DA,DC)＝eq\f(DA,200)＝eq\r(3)，解得DA＝200eq\r(3).∴AB＝DA－DB＝200eq\r(3)－200≈146(m)．騎車速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(146,10)＝14.6(m/s)＜16(m/s)．答：此車沒有超過該路段16m/s的限制速度．(2018·遂寧)如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度i＝1∶eq\r(3)的坡面AD走了200米到達D處，此時在D處測得山頂B的仰角為60°，求山高BC.(結果保留根號)【思路點撥】過點D作DF⊥AC，則DF＝EC，∴BC＝BE＋DF.解Rt△BDE和Rt△DAF分別求出BE，DF即可求解．【自主解答】解：過點D作DF⊥AC，垂足為F.∵坡面AD的坡i＝1∶eq\r(3)且AD＝200，∴tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∴∠DAF＝30°.∴DF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×200＝100.∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形．∴EC＝DF＝100.又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°.∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°.∴∠ABD＝∠BAD.∴AD＝BD＝200.在Rt△BDE中，sin∠BDE＝eq\f(BE,BD).∴BE＝BD·sin∠BDE＝200×sin60°＝200×eq\f(\r(3),2)＝100eq\r(3).∴BC＝BE＋EC＝100＋100eq\r(3).∴山高BC為(100＋100eq\r(3))米．eq\x(方法指導)1．對于解直角三角形的實際應用題，要靈活運用轉化思想，通常是根據(jù)以下方法和步驟解決：(1)有圖的要先將題干中的已知量在圖中表示出來，找與已知量和未知量相關聯(lián)的三角形，畫出平面幾何圖形，弄清已知條件中各量之間的關系；(2)若三角形是直角三角形，根據(jù)邊角關系進行計算．若三角形不是直角三角形，可通過添加輔助線構造直角三角形來解決，其中作某邊上的高是常用的輔助線．總的來說，解直角三角形的實際應用問題，關鍵是要根據(jù)實際情況建立數(shù)學模型，正確畫出圖形或作出輔助線并找準直角三角形．2．解直角三角形的實際應用題常見圖形類型及輔助線作法如圖所示：eq\x(易錯提示)在利用銳角三角函數(shù)求解變形時，易把分子和分母的位置顛倒，從而產(chǎn)生錯誤．考點1銳角三角函數(shù)的定義1．(2018·云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為(A)A．3B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(10),10)D.eq\f(3\r(10),10)2．(2018·孝感)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，則sinA等于(A)A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)3．(2018·濱州)在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝eq\f(1,2)，則sinB＝eq\f(2\r(5),5)．考點2特殊角的三角函數(shù)值4．(2018·大慶)2cos60°＝(A)A．1B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.eq\f(1,2)5．(2018·煙臺)計算：(π－3.14)0＋tan60°＝1＋eq\r(3)．6．(2018·白銀)計算：2sin30°＋(－1)2018－(eq\f(1,2))－1＝0．考點3解直角三角形7．(2018·貴陽)如圖，A，B，C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)8．(2018·湖州)如圖，已知菱形ABCD對角線AC，BD相交于點O.若tan∠BAC＝eq\f(1,3)，AC＝6，則BD的長是2．9．(2018·自貢)如圖，在△ABC中，BC＝12，tanA＝eq\f(3,4)，∠B＝30°，求AC和AB的長．解：過點C作CH⊥AB于點H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝6，BH＝eq\r(BC2－CH2)＝6eq\r(3).在Rt△ACH中，tanA＝eq\f(3,4)＝eq\f(CH,AH).∴AH＝8.∴AB＝AH＋BH＝8＋6eq\r(3)，AC＝eq\r(AH2＋CH2)＝10.考點4解直角三角形的實際應用10．(2018·宜昌)如圖，要測量小河兩岸相對的兩點P，A的距離，可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C，測得PC＝100米，∠PCA＝35°，則小河寬PA等于(C)A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米11．(2018·咸寧)如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為300m.(結果保留整數(shù)，eq\r(3)≈1.73)12．(2018·襄陽)為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦，某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛40秒到達B處時，測得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示．求建筑物P到賽道AB的距離．(結果保留根號)解：過點P作PC⊥AB于點C，由題意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°.在Rt△PAC中，eq\f(PC,AC)＝tan∠PAC，∴AC＝eq\f(\r(3),3)PC.在Rt△PBC中，eq\f(PC,BC)＝tan∠PBC，∴BC＝eq\r(3)PC.∵AB＝AC＋BC＝eq\f(\r(3),3)PC＋eq\r(3)PC＝10×40＝400.∴PC＝100eq\r(3).答：建筑物P到賽道AB的距離為100eq\r(3)米．13．(2018·荊州)如圖，在平面直角坐標系中，⊙P經(jīng)過三點A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，點D是⊙P上的一動點．當點D到弦OB的距離最大時，tan∠BOD的值是(B)A．2B．3C．414．(2018·婁底)如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積是49，則sinα－cosβ＝(D)A.eq\f(5,13)B．－eq\f(5,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)15．(2018·廣西六市)如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點C落在點E處，PE，DE分別交AB于點O，F(xiàn)，且OP＝OF，則cos∠ADF的值為(C)A.eq\f(11,13)B.eq\f(13,15)C.eq\f(15,17)D.eq\f(17,19)16．(2018·齊齊哈爾)在四邊形ABCD中，BD是對角線，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝eq\f(3,4)，AB＝20，BC＝10，AD＝13，則線段CD＝eq\r(89)或17．17．(2018·荊門)數(shù)學實踐活動小組借助載有測角儀的無人機測量象山嵐光閣與文明湖湖心亭之間的距離．如圖，無人機所在位置P與嵐光閣閣頂A、湖心亭B在同一鉛垂面內，P與B的垂直距離為300米，A與B的垂直距離為150米，在P處測得A，B兩點的俯角分別為α，β，且tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\r(2)－1，試求嵐光閣與湖心亭之間的距離AB.(計算結果若含有根號，請保留根號)解：過點P作PD⊥QB于點D，過點A作AE⊥PD于點E.由題意得，∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC＝150，PD＝300.在Rt△PBD中，BD＝eq\f(PD,tan∠PBD)＝eq\f(300,tanβ)＝eq\f(300,\r(2)－1)＝300(eq\r(2)＋1)．∵∠AED＝∠BDC＝∠ACD＝90°，∴四邊形EDCA為矩形．∴DC＝EA，ED＝AC＝150.∴PE＝PD－ED＝300－150＝150.在Rt△PEA中，EA＝eq\f(PE,tan∠PAE)＝eq\f(150,tanα)＝eq\f(150,\f(1,2))＝300.∴BC＝BD－CD＝BD－EA＝300(eq\r(2)＋1)－300＝300eq\r(2).在Rt△ACB中，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(1502＋（300\r(2)）2)＝450.答：嵐光閣與湖心亭之間的距離AB為450米．18．(2018·赤峰)閱讀下列材料：如圖1，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，可以得到：圖1S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D.在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,c)，∴AD＝c·sinB.∴S△ABC＝eq\f(1,2)a·AD＝eq\f(1,2)acsinB.同理：S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(1)通過上述證明：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)；(2)運用(1)中的結論解決問題：如圖2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20eq\r(3)，求AC的長度；(3)如圖3，為了開發(fā)公路旁的城市荒地，測量人員選擇A，B，C三個測量點，在B點測得A在北偏