最大面積是多少教案

課時課題：第二章第七節(jié)最大面積是多少課型：新授課授課人：滕州市西崗中學(xué)授課時間：2013年1月8日星期二第一節(jié)課教學(xué)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值；（2）能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值問題；（3）能夠?qū)鉀Q問題的基本策略進(jìn)行反思，形成個人解決問題的風(fēng)格．進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)與人類社會的密切聯(lián)系．教法及學(xué)法指導(dǎo)：本節(jié)應(yīng)用五環(huán)教學(xué)模式：創(chuàng)設(shè)情境—感知探究—合作交流—拓展應(yīng)用—總結(jié)升華．先復(fù)習(xí)常見圖形：三角形、矩形、圓等面積公式，能借助相似三角形的性質(zhì)用自變量表示出相關(guān)邊的長度，從而列出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決面積最大問題．學(xué)生對于圖形的面積公式應(yīng)掌握較好，但是缺乏用自變量表示相關(guān)邊的長度，這也是列二次函數(shù)的難點所在，因而要讓學(xué)生通過合作、交流與探究，掌握表示方法和所使用的原理．在實際教學(xué)中，盡可能采取學(xué)生自主探索、合作交流，通過分析交流，總結(jié)規(guī)律及建立數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗．課前準(zhǔn)備：教師準(zhǔn)備：課件學(xué)生準(zhǔn)備：①預(yù)習(xí)課本第67頁—69頁；②探究活動：以小組為單位，用長1米的繩子圍成不同的圖形，看哪個小組圍成的圖形最多，并估算出所圍成的這些圖形中，哪個圖形的面積最大？圖形面積【設(shè)計意圖】增加學(xué)生的動手能力和小組合作探究能力，同時也為了復(fù)習(xí)圖形的面積公式，會用估算的方法比較這些圖形的面積大小，探究其中的規(guī)律，為本節(jié)課學(xué)習(xí)最大面積問題做好鋪墊．【實際效果】學(xué)生興致很高，能圍成所學(xué)過的幾乎所有圖形，利用所學(xué)的面積公式求出圖形的面積，能夠探究出所圍成的圖形中圓的面積最大．教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境師：請小組展示你們探究的成果．生：我們圍成的圖形有：直角三角形、正方形、圓，面積最大的是圓．生：等邊三角形、長方形、梯形、正方形，正方形的面積最大．生：……生：我們各種都嘗試了，得出：用1米長的繩子圍成的所有圖形中，圓的面積最大．最大面積的故事有一位有錢的農(nóng)場主想圈一塊地，于是他便請來了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來幫忙，他的條件是：用最少的籬笆圍成最大的面積。他們認(rèn)為自己的本事大，誰都不服誰，便想一較高低。工程師比劃了一會，開始忙活起來，好大一會后，他用籬笆圍成了一個圓，告訴他們說這是最優(yōu)設(shè)計。他非常自信。覺得已經(jīng)沒有什么比這種設(shè)計更好的了，既用了最少的籬笆又得到了最大的面積。物理學(xué)家呢？只見他把籬笆拉開了一條長長的直線，然后說假設(shè)籬笆有無限長，那么圍起來半個地球就夠大的了吧。他很是滿意覺得別人都沒有他設(shè)計的面積大。最大面積的故事有一位有錢的農(nóng)場主想圈一塊地，于是他便請來了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來幫忙，他的條件是：用最少的籬笆圍成最大的面積。他們認(rèn)為自己的本事大，誰都不服誰，便想一較高低。工程師比劃了一會，開始忙活起來，好大一會后，他用籬笆圍成了一個圓，告訴他們說這是最優(yōu)設(shè)計。他非常自信。覺得已經(jīng)沒有什么比這種設(shè)計更好的了，既用了最少的籬笆又得到了最大的面積。物理學(xué)家呢？只見他把籬笆拉開了一條長長的直線，然后說假設(shè)籬笆有無限長，那么圍起來半個地球就夠大的了吧。他很是滿意覺得別人都沒有他設(shè)計的面積大。到數(shù)學(xué)家了，他先是嘲笑了工程師和物理學(xué)家，然后用很少的籬笆把自己圍起來，對他們說：“我現(xiàn)在是站在籬笆外面?！惫こ處熀臀锢韺W(xué)家想了一下，都很佩服數(shù)學(xué)家的聰慧，便認(rèn)輸了。只有莊主還是一頭霧水。你知道這是怎么回事嗎？生：我也沒明白怎么回事？生：數(shù)學(xué)家的意思是說：除了我站的這塊區(qū)域外都是籬笆圍成的面積．生：換一個角度來思考問題，確實是個聰明的做法．生：學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)，活學(xué)活用才是硬道理！師：最大面積在日常生活中應(yīng)用很廣泛，比如如何在一個三角形的下角料中截出一個面積最大的矩形，以充分利用？這節(jié)課我們就來探究類似問題，希望大家學(xué)后能解決此關(guān)問題，幫助工人師傅最大限度地廢物利用．【設(shè)計意圖】展示小組活動成果，增強(qiáng)學(xué)生的動手能力，復(fù)習(xí)求圖形面積的方法，體驗收獲的喜悅，感知數(shù)學(xué)的魅力．通過故事，啟發(fā)學(xué)生思考問題要從多個角度考慮．為本節(jié)課的主要內(nèi)容最大面積專題的探究做好鋪墊．【實際效果】學(xué)生興致很高，動手又動腦，在做中總結(jié)規(guī)律．笑話的引入，既涉及到最大面積這個課題，也讓學(xué)生思考問題拓寬思路，多角度多方位想問題，學(xué)生觸動很大！二．感知探究ACBACBDEF40m30m師：如圖1，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中和分別在兩直角邊上．如果設(shè)矩形的一邊，那么邊的長度如何表示？生：由，則．由圖可得，∽，（1）∴，即，（1）解得，∴．師：設(shè)矩形的面積為，當(dāng)取何值時，的值最大？最大值是多少？生：．生：當(dāng)時，有最大值，最大值為．師：如果設(shè)矩形的一邊，當(dāng)取何值時，矩形的面積的值最大？最大值是多少？生：由∽得，∴，即，解得．生：．生：當(dāng)時，有最大值，最大值為．生：由此看來，不論是設(shè)還是，最大值都是一樣的．生：解題思路也一樣，都是先利用相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”用表示出矩形的另一條邊，再套用矩形的面積公式即可列出關(guān)于的二次函數(shù)，最后用二次函數(shù)求最值的公式求出最大面積．【設(shè)計意圖】從矩形的面積公式入手，利用相似三角形的性質(zhì)表示出另外一條邊，才能列出函數(shù)表達(dá)式，這一過程先由學(xué)生獨立思考后，分組合作探究、交流，幫助個別存在困難的同學(xué)解決．此題的思路也是解決矩形最大面積問題最常用的方法．ACBDACBDEF40m30mG2、探究一邊在直角三角形斜邊上內(nèi)接矩形的最大面積師：如圖1，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD，其中在斜邊上，在直角邊上．如果設(shè)矩形的一邊，那么邊的長度如何表示？當(dāng)取何值時，矩形面積的值最大？最大值是多少？生：這怎么和上面的不一樣呀，不能表示吧？生：也是利用相似，不過要利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，這個在八年級時學(xué)過的，如圖（2），過點作于點交于點，在中，由勾股定理，得．再由等積法求斜邊上的高，，即，∴．設(shè)矩形的一邊，由，得，即，∴．∴．ACBDACBDEF40m30mGMN（2）當(dāng)時，有最大值，最大值為．（2）生：雖說這兩個內(nèi)接矩形情形不同，但得到最大面積都是300．師：如果設(shè)矩形的一邊，大家可課下求出此時當(dāng)取何值時，矩形面積的值最大？最大值是多少？【設(shè)計意圖】在上一道題的基礎(chǔ)上，利用相似三角形的性質(zhì)表示出矩形的另一條邊長，列出二次函數(shù)表達(dá)式，但此題上了難度，難度在于利用的是相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比這一性質(zhì)，而且還要用到等積法求直角三角形斜邊上的高．充分發(fā)揮學(xué)生的主動探究能力，并由個別程度較好的學(xué)生講解，最后再板書進(jìn)行反思總結(jié)．【實際效果】有了前面知識和探究方法，學(xué)生能想到設(shè)與列的思路，多數(shù)學(xué)生沒有想到如何表示另一條邊．經(jīng)過同學(xué)的提示之后頓悟．學(xué)生感到本題所涉及到的知識點較多，應(yīng)及時總結(jié)歸納才能更充分全面地分析題目．三、交流提高1．直角三角形兩種情形下最大內(nèi)接矩形面積的解題思路師：請大家對剛才兩種不同情況下，求最大矩形面積問題時存在哪些困難，互相交流并總結(jié)出解題思路．生：利用相似三角形的性質(zhì)表示出另一條邊是難點．生：第二種情形用等積法求斜邊上的高是難點．設(shè)矩形的一邊為x用x表示出矩形的另一邊相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比設(shè)矩形的一邊為x用x表示出矩形的另一邊相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比列出二次函數(shù)表達(dá)式矩形的面積=一邊×另一邊求出當(dāng)x為何值時，最大面積當(dāng)時，y有最大值，最大值為生：兩種情形的解題思路差不多，大致是：（圖表）【設(shè)計意圖】先由學(xué)生歸納總結(jié)出解決問題存在的困難和解題思路，再通過圖表的形式讓學(xué)生掌握解決此類問題的流程及關(guān)鍵，落實所用到的知識點，讓學(xué)生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，及時總結(jié)規(guī)律，能夠做到舉一反三．【實際效果】學(xué)生都能意識到自己的存在的問題和差距，通過及時的總結(jié)，對列關(guān)于面積的二次函數(shù)表達(dá)式有了較深的認(rèn)識．2．窗戶通過光線最多時窗戶的最大面積（3）師：某建筑物的窗戶如圖（3）所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m．當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)？此時，窗戶的面積是多少？生：圖形由兩部分組成，一個矩形和一個半圓．x為半圓的半徑，所以半圓的面積為；矩形的一邊為，另一邊為，所以矩形的面積為．窗戶的面積．這不是二次函數(shù)呀?。?）生：我們還沒有用表示出來，由窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m可求得．所以窗戶的面積．這時已經(jīng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點式或代入頂點坐標(biāo)公式中即可．∴當(dāng)x＝時，有最大值，．此時，窗戶通過的光線最多．【設(shè)計意圖】本題含有兩個圖形的面積計算，主要是想進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，鞏固訓(xùn)練列二次函數(shù)表達(dá)式和求最值的方法．讓學(xué)生理解通過窗戶光線多少與窗戶面積大小有關(guān)．【實際效果】此題處理起來比較繁瑣，教師要給予學(xué)生及時的指導(dǎo)和幫助，同時也告訴學(xué)生數(shù)學(xué)基本運算也是培養(yǎng)大家做事嚴(yán)謹(jǐn)、有耐心的一個很好的途徑．四、拓展應(yīng)用師：本節(jié)所涉及到的圖形的面積都是在運動中變化，在變化中尋找面積與二次函數(shù)有關(guān)，再利用二次函數(shù)的最值問題來解決，大家繼續(xù)在運動中體驗面積的變化吧！ABCPQ如圖（4），在中，，，，點從點開始沿向點以速度運動，點從點開始沿向點以的速度運動，分別從同時出發(fā)．ABCPQ（1）求四邊形的面積與的運動時間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（4）（2）四邊形的面積有最小值嗎？如果有，求出這個最小值；如果沒有，請說明理由．（4）生：因為四邊形不是規(guī)則圖形，不易直接求出它的面積，我們可以利用和的差來表示，只需用時間表示，即可求出函數(shù)關(guān)系式，然后再利用二次函數(shù)的最值情況求出．生：（1）．由，得．∴與的函數(shù)關(guān)系式為．生：（2）由于二次項系數(shù)，當(dāng)時，有最小值，最小值為．【設(shè)計意圖】化動為靜即把動點看做某一位置的靜點，用自變量表示相關(guān)線段的長，利用可求面積的圖形的和差來表示所求圖形的面積．【實際效果】學(xué)生掌握較好，但對求自變量的取值范圍有點困難，另外通過練習(xí)暴露出學(xué)生的基本運算能力需要多加訓(xùn)練，一是錯誤太多，二是很不自信．五．總結(jié)升華生：通過本節(jié)課掌握了利用相似三角形的性質(zhì)表示矩形的另一邊，是列矩形面積函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵．生：圖形最大面積問題，實質(zhì)上是二次函數(shù)的最值問題．師：解決此類問題，首先要理解問題，分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關(guān)系是難點，用數(shù)學(xué)的方式表示它們間的關(guān)系是關(guān)鍵，化歸為二次函數(shù)運用公式求解是易錯點，要做對做全需要我們一定基本功扎實，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)！……【設(shè)計意圖】讓學(xué)生小組交流，總結(jié)本節(jié)課的收獲與感想，教師適當(dāng)點撥與肯定．鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表見解，讓學(xué)生不僅總結(jié)知識，更重要的是要通過本節(jié)課總結(jié)情感體驗上的收獲，進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，對學(xué)生的觸動很大．【實際效果】學(xué)生在這一環(huán)節(jié)能大膽發(fā)言，暢談自己的收獲與疑問，臉上露出了獲取知識的喜悅．學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，體會到“學(xué)有用的數(shù)學(xué)，學(xué)有價值的數(shù)學(xué)”，越發(fā)感到數(shù)學(xué)的親切！六．當(dāng)堂反饋1．若兩個圖形重疊后，重疊部分的面積可以用解析式表示為，則要使重疊部分面積最大，的值為．ABCABCD（5）2．如圖（5），幼兒園計劃用20m的圍欄靠墻圍成一個矩形小花園，設(shè)，矩形的面積．（5）ACBD（1）請寫出與ACBD（2）當(dāng)為多少時，的值最大？【考查知識點】矩形的面積、二次函數(shù)的表達(dá)式、最值3．如圖（6），用長為10m的鋁合金條制成下部為矩形、上部為半圓的窗框（包括窗欞CD），若使此窗戶的透光面積最大，則最大面積是多少？【考查知識點】矩形的面積、圓的面積、二次函數(shù)的表達(dá)式、最值（6）七．作業(yè)設(shè)置（6）（7）1．【基礎(chǔ)知識】如圖（7），正方形ABCD的邊長為10，四個全等的小正方形的對稱中心分別在正方形ABCD的頂點上，且它們的各邊與正方形ABCD各邊平行或垂直．若小正方形的邊長為x，且0＜x≤10，陰影部分的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）（7）A．B．C．D．【考查知識點】正方形的面積、二次函數(shù)圖象、最值（8）2．【能力提升】如圖（8），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，當(dāng)直角三角板MPN的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經(jīng)過點A，設(shè)直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點Q．BP=x，CQ=y，那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是（）（8）A．B．C．D．【考查知識點】相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)表達(dá)式及圖象（9）3．【鏈接中考】（2011?武漢）星光中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成．已知墻長為18米．如圖（9）所示，設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米．

（1）若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；

（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；

（3）當(dāng)這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x（9）【考查知識點】矩形的面積、解連不等式、自變量取值范圍、二次