（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測(cè)07 基本立體圖形（教師版）

第頁(yè)專(zhuān)題07基本立體圖形思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的組合體考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)與折疊問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個(gè)相互平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱(chēng)底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)．棱柱中不在同一平面上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)叫做棱柱的對(duì)角線(xiàn)．過(guò)不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對(duì)角面．2、棱柱的分類(lèi)：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點(diǎn)的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對(duì)角線(xiàn)表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)河袃蓚€(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿(mǎn)足“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個(gè)幾何體是否是棱柱時(shí)，除了看它是否滿(mǎn)足：“有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形”這兩個(gè)條件外，還要看其余平行四邊形中“每?jī)蓚€(gè)相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．知識(shí)點(diǎn)二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類(lèi)：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點(diǎn)和底面的字母表示，如四棱錐．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)豪忮F有兩個(gè)本質(zhì)特征：（1）有一個(gè)面是多邊形；（2）其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，二者缺一不可．知識(shí)點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線(xiàn)．2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用一個(gè)平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個(gè)與底面全等的圓面．（2）經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面是一個(gè)矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線(xiàn)和底面直徑，經(jīng)過(guò)圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．（3）圓柱的任何一條母線(xiàn)都平行于圓柱的軸．知識(shí)點(diǎn)四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線(xiàn)．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個(gè)比底面小的圓面．（2）經(jīng)過(guò)圓錐的軸的截面是一個(gè)等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線(xiàn)．（3）圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線(xiàn)都是圓錐側(cè)面的母線(xiàn)．知識(shí)點(diǎn)五：棱臺(tái)和圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征１、定義：用一個(gè)平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺(tái)（圓臺(tái)）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；原圓錐的母線(xiàn)被平面截去后剩余的部分叫做圓臺(tái)的母線(xiàn)；棱臺(tái)的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的頂點(diǎn)；圓臺(tái)可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺(tái)的軸．2、棱臺(tái)的表示方法：用各頂點(diǎn)表示，如四棱臺(tái)；3、圓臺(tái)的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺(tái)；知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）棱臺(tái)必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺(tái)可還原為棱錐，即延長(zhǎng)棱臺(tái)的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點(diǎn)．（2）棱臺(tái)的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺(tái)可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．（4）圓臺(tái)的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．知識(shí)點(diǎn)六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．如果截面經(jīng)過(guò)球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過(guò)球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為的球的一個(gè)截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．知識(shí)點(diǎn)七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺(tái)特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱(chēng)為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱(chēng)為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱(chēng)為正棱錐；側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)的正三棱錐又稱(chēng)為正四面體；特殊的棱臺(tái)：由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)；知識(shí)點(diǎn)八：簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成的簡(jiǎn)單組合體；②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見(jiàn)的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．①多面體與多面體的組合體由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組成的幾何體稱(chēng)為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)三棱柱的組合體；如圖（2）是一個(gè)四棱柱與一個(gè)四棱錐的組合體；如圖（3）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)三棱臺(tái)的組合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由一個(gè)多面體與一個(gè)旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱(chēng)為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個(gè)三棱柱與一個(gè)圓柱組合而成的；如圖（2）是一個(gè)圓錐與一個(gè)四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個(gè)球與一個(gè)三棱錐組合而成的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個(gè)球體和一個(gè)圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個(gè)圓臺(tái)和兩個(gè)圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的．幾何體中的計(jì)算問(wèn)題幾何體的有關(guān)計(jì)算中要注意下列方法與技巧：（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形，有關(guān)證明及運(yùn)算往往與兩者相關(guān)．（2）正四棱臺(tái)中要掌握其對(duì)角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計(jì)算，有關(guān)問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個(gè)等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_(tái)、正三棱臺(tái)中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(lái)．（3）研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)等問(wèn)題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因?yàn)樵谳S截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．（4）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)是把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題處理的重要手段之一．（5）圓臺(tái)問(wèn)題有時(shí)需要還原為圓錐問(wèn)題來(lái)解決．（6）關(guān)于球的問(wèn)題中的計(jì)算，常作球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識(shí)解決；關(guān)于球與多面體的切接問(wèn)題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．下列描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的是（

）A．三棱錐有4個(gè)面是三角形 B．棱錐的側(cè)面都是三角形C．棱錐都有兩個(gè)互相平行的多邊形面 D．棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn).【答案】C【解析】A中，根據(jù)棱錐的幾何結(jié)構(gòu)，可得三棱錐有4個(gè)面是三角形

，所以A正確；B中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)面都是三角形，所以B正確；C中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐都沒(méi)有兩個(gè)互相平行的多邊形面，所以C錯(cuò)誤；D中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)棱交于一點(diǎn)，所以D正確.故選：C.例2．下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個(gè)斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的矩形【答案】C【解析】對(duì)于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；對(duì)于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對(duì)于C中，根據(jù)棱錐的分類(lèi)，可得有一個(gè)面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對(duì)于D中，平行六面體的三組對(duì)面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯(cuò)誤.故選：C.例3．下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺(tái)【答案】C【解析】對(duì)于A，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺(tái)或組合圖形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；對(duì)于D，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺(tái)，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式1．下列命題中正確的是（

）A．兩個(gè)底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)B．三棱柱的側(cè)面為三角形C．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)D．棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形【答案】D【解析】棱臺(tái)的側(cè)面梯形的腰（即棱臺(tái)的側(cè)棱）的延長(zhǎng)線(xiàn)都相交于一點(diǎn)，C錯(cuò)誤；而選項(xiàng)A中側(cè)面梯形的腰不一定交于一點(diǎn)，A錯(cuò)誤；棱柱的各側(cè)面都是平行四邊形，B錯(cuò)誤；棱錐的側(cè)面都是三角形，底面可以是三角形，如三棱錐，D正確.故選：D變式2．下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（

）A．五棱錐 B．三棱臺(tái)C．三棱柱 D．四棱錐【答案】A【解析】因?yàn)槲謇忮F有10條棱，三棱臺(tái)有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選：A考點(diǎn)二：幾何體中的基本計(jì)算例4．長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)處的相鄰三個(gè)面的面積分別為12，6，8，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為．【答案】【解析】設(shè)長(zhǎng)方體從頂點(diǎn)B出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，且，，，則，，，所以長(zhǎng)方體中線(xiàn)段的長(zhǎng)等于.故答案為：例5．圓柱的母線(xiàn)長(zhǎng)為5，底面半徑為2，稱(chēng)過(guò)圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為.【答案】20【解析】軸截面為矩形，兩邊長(zhǎng)分別為5和4，故軸截面的面積為.故答案為：20例6．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得的兩個(gè)幾何體分別為一個(gè)小圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，若小圓錐的底面面積與原圓錐的底面面積之比為1：4，圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為9cm，則原來(lái)的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為.【答案】18cm【解析】設(shè)軸截面如圖所示，由已知得圓與圓的面積比為，所以半徑比，進(jìn)而得，所以是的中點(diǎn)，且，故,故答案為：18cm變式3．長(zhǎng)、寬、高分別為3、4，5的兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，把它們某兩個(gè)全等的面重合在一起，組成大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)為.【答案】【解析】當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線(xiàn)為.當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線(xiàn)為.當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、時(shí)，體對(duì)角線(xiàn)為.因?yàn)?，所以大長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)最長(zhǎng)為.故答案為：考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的組合體例7．已知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD且，梯形ABCD繞AB所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由、、的幾何體構(gòu)成的組合體.【答案】圓錐圓柱圓錐【解析】如圖所示：作于，于，繞所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；矩形繞所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱；繞所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；故答案為：圓錐；圓柱；圓錐；例8．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是．【答案】①⑤【解析】一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形去掉上側(cè)一條邊，而圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線(xiàn)的一部分，且三角形頂點(diǎn)必在矩形下側(cè)底邊中點(diǎn)上、拋物線(xiàn)頂點(diǎn)不可能在矩形下側(cè)底邊上．故答案為：①⑤例9．如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是.①該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體；②該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)；③該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形；④該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形．【答案】④【解析】平面ABCD可將該幾何體分割成兩個(gè)四棱錐，因此該幾何體是這兩個(gè)四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個(gè)截面，而不是一個(gè)面.故答案為：④.考點(diǎn)四：簡(jiǎn)單幾何體的表面展開(kāi)與折疊問(wèn)題例10．如圖，直三棱柱中，，，為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.

【答案】【解析】將圖中的和放置于同一平面內(nèi)，如圖所示，則.因?yàn)橹比庵?，，，所以中?同理，在中，,所以所以在圖中，,所以,即.所以的最小值是.故答案為：.例11．如圖正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為2，一只螞蟻要從頂點(diǎn)沿三棱柱的表面爬到頂點(diǎn)，若側(cè)面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是．

【答案】【解析】正三棱柱的側(cè)面部分展開(kāi)圖如圖所示，圖1，連接與交于點(diǎn)，則爬行的最短路程時(shí)沿著爬行，此時(shí)，圖2，連接，過(guò)作AB的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，則，則，所以，∵，∴爬行的最短路程是.故答案為：.例12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，一螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離是．【答案】【解析】如圖所示，將正方體的側(cè)面與展開(kāi)，則最短距離為，故答案為：.變式4．正三棱錐中，，過(guò)點(diǎn)A作一截面與側(cè)棱分別交于點(diǎn)，，則截面周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【解析】將三棱錐的側(cè)面沿,,剪開(kāi)，得到如圖所示的五邊形，連接，分別交,于,，再將展開(kāi)圖圍成三棱錐的側(cè)面，得到，即為周長(zhǎng)最小的截面三角形，由此可得截面周長(zhǎng)的最小值等于線(xiàn)段的長(zhǎng).正三棱錐中，，所以，又，所以等腰中，，即截面周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.變式5．如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線(xiàn)上有一點(diǎn)，且，在母線(xiàn)上取一點(diǎn)，使，則圓柱側(cè)面上P、Q兩點(diǎn)的最短距離為．

【答案】【解析】如圖，把圓柱的半個(gè)側(cè)面展開(kāi)，是一個(gè)下長(zhǎng)為，寬為的矩形，，，過(guò)作，為垂足，所以，即可把放在一個(gè)直角邊為和的直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：.故答案為：.變式6．圓錐的母線(xiàn)，高為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路程為．【答案】【解析】將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，連接，則的長(zhǎng)即為質(zhì)點(diǎn)繞行的最短路程，由題設(shè)易知：圓錐底面半徑為2；在中，，，弧長(zhǎng)，；利用余弦定理得：，；質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)的最短路程為.故答案為：.過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列說(shuō)法正確的有（

）A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面均是平行四邊形的多面體是棱柱B．用任意一個(gè)平面去截球得到的截面一定是一個(gè)圓面C．側(cè)面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱D．過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，軸截面面積最大【答案】B【解析】如下圖的多面體，有兩個(gè)面互相平行，其余各面均是平行四邊形的，但它不是棱柱，A錯(cuò)；用任意一個(gè)平面去截球得到的截面一定是一個(gè)圓面，B正確；側(cè)面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五邊形，C錯(cuò)；過(guò)圓錐頂點(diǎn)的所有截面中，設(shè)兩條母線(xiàn)的平角為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則截面面積為，當(dāng)軸截面等腰三角形的頂角大于，截面中兩條母線(xiàn)夾角為的截面面積最大，D錯(cuò)．故選：B．2．一個(gè)正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（）A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）【答案】D【解析】設(shè)截后棱錐的高為h，原棱錐的高為H，由于截面與底面相似，一個(gè)正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，，則此正棱錐的高被分成的兩段之比：.故選：D3．下列說(shuō)法正確的是（

）A．多面體至少有5個(gè)面B．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【答案】D【解析】對(duì)于A，一個(gè)多面體至少有4個(gè)面，如三棱錐有4個(gè)面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，反例如下圖，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)棱柱的定義，知選項(xiàng)D正確.故選：D4．下列命題正確的是（）A．用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形C．圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線(xiàn)都可以構(gòu)成直角三角形D．一直角梯形繞下底所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)【答案】C【解析】只有在平面平行于圓錐底面時(shí)，才能將圓錐截為一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，當(dāng)平面不平行于圓錐底面時(shí)，得到的幾何體并非圓錐和圓臺(tái)，所以A錯(cuò)；棱柱的側(cè)棱都相等且平行，且側(cè)面是平行四邊形，但其底面多邊形各邊不一定相等，則側(cè)面并不一定全等，所以B錯(cuò)；圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線(xiàn)都可以構(gòu)成直角三角形，所以C對(duì)；直角梯形繞下底所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示，所以D錯(cuò).故選：C.5．如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長(zhǎng)為，一只蟲(chóng)子從A點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲(chóng)子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】將正三棱錐沿剪開(kāi)，得到側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示，因?yàn)?，即，由的周長(zhǎng)為，要使的周長(zhǎng)的最小，則共線(xiàn)，即，又由正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為，是等邊三角形，所以，即蟲(chóng)子爬行的最短距離是.故選：B.6．某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線(xiàn)醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫(xiě)了“致敬最美逆行”六個(gè)字，該正方體紙盒水平放置的六個(gè)面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開(kāi)圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（

）

A．最 B．美 C．逆 D．敬【答案】A【解析】把正方體的表面展開(kāi)圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．故選：A．7．已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開(kāi)圖為圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（

）A．6 B． C．4 D．3【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，，可得母線(xiàn)長(zhǎng)，圓錐的高．故選：B8．某景區(qū)為提升游客觀賞體驗(yàn)，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1）．現(xiàn)測(cè)量其中一個(gè)屋頂，得到圓錐的底面直徑長(zhǎng)為，母線(xiàn)長(zhǎng)為（如圖2）．若是母線(xiàn)的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S），從點(diǎn)A到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓錐側(cè)面沿母線(xiàn)展開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇形，則的長(zhǎng)度即為燈光帶的最小長(zhǎng)度，，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長(zhǎng)度為.故選：C.二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．棱臺(tái)的側(cè)面都是等腰梯形B．棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面C．底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．以三角形的一邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐【答案】BC【解析】A.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，但側(cè)面不一定是等腰梯形，如一條側(cè)棱垂直于底面，那么會(huì)有兩個(gè)側(cè)面為直角梯形，故錯(cuò)誤；B.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面，故正確；C.底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形，故正確；D.當(dāng)以直角三角形的直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，故錯(cuò)誤；故選：BC10．長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，則從點(diǎn)沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)點(diǎn)的距離可以為（

）

A． B． C． D．【答案】ABC【解析】從點(diǎn)沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)有三種展開(kāi)方式，若以為軸展開(kāi)，則；以為軸展開(kāi)，則，以為軸展開(kāi)，．故選：ABC．11．下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個(gè)平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)D．平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形【答案】BC【解析】對(duì)于A，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺(tái)，而不是用一個(gè)平面去截圓錐，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于D，平行六面體的每個(gè)面都是平行四邊形，故選項(xiàng)D正確，故選：BC.12．在直三棱柱中，，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，則的（

）A．最小值為 B．最小值為C．最大值為 D．最大值為【答案】BD【解析】如圖展開(kāi)，其中是斜邊為的等腰直角三角形，是斜邊為6的等腰直角三角形．當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值．當(dāng)P位于C點(diǎn)位置時(shí)，取得最大值．故選：BD.三、填空題13．若一個(gè)圓錐的底面圓半徑為2，其側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是.【答案】6【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得，解得，即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6.故答案為：6.14．一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個(gè)幾何體是.【答案】正五棱柱【解析】如圖所示：由題意一個(gè)幾何體由7個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的五邊形，故此幾何體是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，故五棱柱的上下底面邊長(zhǎng)相等且側(cè)棱與底面垂直，根據(jù)正棱柱的定義可知該幾何體是正五棱柱.故答案為：正五棱柱.15．已知圓臺(tái)的上底半徑為2cm，下底半徑為4cm，圓臺(tái)的高為cm，則側(cè)面展開(kāi)圖所在扇形的圓心角為．【答案】【解析】把該圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，圓錐的軸截面如下圖所示：過(guò)作，為垂足，所以圓臺(tái)的母線(xiàn)，因?yàn)樯系装霃介L(zhǎng)為下底半徑的一半，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以側(cè)面展開(kāi)圖所在扇形的圓心角為，故答案為：16．建筑學(xué)上，建筑師利用各種彎曲空間可以建造出很多外型美觀的建筑物?？坍?huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.在幾何學(xué)中可用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，大小用弧度制表示），多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.則正方體的總曲率為；正四棱錐的總曲率為.【答案】【解析】正方體在每個(gè)頂點(diǎn)處有3個(gè)面角，每個(gè)面角的大小是，所以在各頂點(diǎn)處的曲率為，故其總曲率為；正四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故答案為：；.四、解答題17．如圖所示，長(zhǎng)方體.

(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側(cè)面)，且相鄰側(cè)面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．因?yàn)榈酌媸撬倪呅?，所以長(zhǎng)方體是四棱柱；（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四邊形和是底面.18．如圖是一個(gè)圓錐形物體，其母線(xiàn)長(zhǎng)為3cm，一只小蟲(chóng)子從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲(chóng)子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

【解析】作出該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖所示，易知該小蟲(chóng)子爬行的最短路程為，，，在中，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得.故圓錐底面圓的半徑為1cm.19．將常見(jiàn)的幾個(gè)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）作如下統(tǒng)計(jì)：空間圖形頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱錐4三棱柱5三棱臺(tái)9四棱錐5四棱柱21四棱臺(tái)8五棱錐10五棱柱10五棱臺(tái)7……(1)把上表中空缺的數(shù)據(jù)補(bǔ)上；(2)由此表可猜得棱柱、棱錐、棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）滿(mǎn)足一個(gè)關(guān)系式：_____________，并用石膏晶體和明礬晶體的空間圖形中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)驗(yàn)證你猜測(cè)的關(guān)系式的正確性．【解析】（1）空間圖形頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱錐446三棱柱659三棱臺(tái)659四棱錐558四棱柱8612四棱臺(tái)8612五棱錐6610五棱柱10715五棱臺(tái)10715……（2）由于，，，，，，……，所以，猜想棱柱、棱錐、棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）滿(mǎn)足.驗(yàn)證如下：空間圖形頂點(diǎn)數(shù)面數(shù)棱數(shù)石膏晶體201230明礬晶體12818顯然，頂點(diǎn)數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）滿(mǎn)足.基本立體圖形隨堂檢測(cè)1.下列命題中，正確的是（

）A．四棱柱是平行六面體B．直平行六面體是長(zhǎng)方體C．六個(gè)面都是矩形的六面體是長(zhǎng)方體D．底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)四棱柱的底面是梯形時(shí)，則此四棱柱不是平行六面體，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，底面可以是一般的平行四邊形，則它不是長(zhǎng)方體，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，六個(gè)面都是矩形的六面體是長(zhǎng)方體，所以C正確，對(duì)于D，當(dāng)四棱柱的側(cè)棱與底面不垂直時(shí)，則不是長(zhǎng)方體，所以D錯(cuò)誤，故選：C2．如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺(tái) B．是圓臺(tái)C．不是棱柱 D．是棱錐【答案】D【解析】對(duì)A，側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)不交于一點(diǎn)，不符合棱臺(tái)的定義，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，上下兩個(gè)面不平行，不符合圓臺(tái)的定義，所以B錯(cuò)誤；對(duì)C，將幾何體豎直起來(lái)看，符合棱柱的