（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測09 簡單幾何體的表面積與體積（原卷版）

第頁專題09簡單幾何體的表面積與體積思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積考點(diǎn)二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積考點(diǎn)三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積考點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積考點(diǎn)五：球的表面積與體積（外接球）考點(diǎn)六：球的表面積與體積（內(nèi)切球）考點(diǎn)七：球的表面積與體積（棱切球）知識(shí)點(diǎn)一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)是多面體，它們的各個(gè)面均是平面多邊形，它們的表面積就是各個(gè)面的面積之和．計(jì)算時(shí)要分清面的形狀，準(zhǔn)確算出每個(gè)面的面積再求和．棱柱、棱錐、棱臺(tái)底面與側(cè)面的形狀如下表：項(xiàng)目名稱底面?zhèn)让胬庵矫娑噙呅纹叫兴倪呅蚊娣e=底·高棱錐平面多邊形三角形面積=·底·高棱臺(tái)平面多邊形梯形面積=·（上底+下底）·高知識(shí)點(diǎn)詮釋：求多面體的表面積時(shí)，只需將它們沿著若干條棱剪開后展開成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積．知識(shí)點(diǎn)二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)是旋轉(zhuǎn)體，它們的底面是圓面，易求面積，而它們的側(cè)面是曲面，應(yīng)把它們的側(cè)面展開為平面圖形，再去求其面積．1、圓柱的表面積（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長，那么這個(gè)矩形的長等于圓柱底面周長C=2πr，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高），由此可得S圓柱側(cè)=C=2πr．（2）圓柱的表面積：．2、圓錐的表面積（1）圓錐的側(cè)面積：如下圖（1）所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為，那么這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面周長C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為，由此可得它的側(cè)面積是．（2）圓錐的表面積：S圓錐表．3、圓臺(tái)的表面積（1）圓臺(tái)的側(cè)面積：如上圖（2）所示，圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)．如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r＇、r，母線長為，那么這個(gè)扇形的面積為，即圓臺(tái)的側(cè)面積為S圓臺(tái)側(cè)=．（2）圓臺(tái)的表面積：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí)，可從旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)三、柱體、錐體、臺(tái)體的體積1、柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V棱柱=Sh．圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V圓柱=Sh=πr2h．綜上，柱體的體積公式為V=Sh．2、錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積．圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積；如果底面積半徑是r，用πr2表示S，則．綜上，錐體的體積公式為．3、臺(tái)體的體積公式棱臺(tái)的體積：如果棱臺(tái)的上、下底面的面積分別為S＇、S，高是h，那么它的體積是．圓臺(tái)的體積：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r＇、r，高是h，那么它的體積是．綜上，臺(tái)體的體積公式為．知識(shí)點(diǎn)四、球的表面積和體積1、球的表面積（1）球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．（2）球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S球=4πR2．即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2、球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．球的體積公式為．1、正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝a22、球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面有r2＝2a3、長方體的外接球長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對(duì)角面有球的半徑為r3＝a24、正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a．5、正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a．6、有關(guān)球的截面問題常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積例1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.例2．如圖，正四棱錐的底面邊長為4，頂點(diǎn)S到底面中心O的距離為4，求它的表面積．

例3．正六棱錐被過棱錐高的中點(diǎn)且平行于底的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐．(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐的側(cè)棱長為，小棱錐的底面邊長為，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面積與全面積．變式1．如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺(tái)和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺(tái)的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺(tái)的側(cè)面面積和表面積.考點(diǎn)二：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積例4．已知正六棱柱最長的對(duì)角線長為13cm，其一個(gè)側(cè)面的面積為，求棱柱的體積.例5．已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；(2)三棱錐的體積．例6．如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點(diǎn)，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；(2)求六棱錐的表面積和體積．變式2．已知正四棱臺(tái)，上底面邊長為2，下底面邊長為4，高為1．求(1)該四棱臺(tái)的側(cè)棱長(2)該四棱臺(tái)的體積變式3．如圖，在正四棱臺(tái)中，上底面邊長為1，下底面邊長為3，側(cè)棱長為2.（1）求此正四棱臺(tái)的側(cè)面積；（2）求此正四棱臺(tái)的體積.考點(diǎn)三：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積例7．若一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)腰長為，底邊上的高為1的等腰三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B．C． D．例8．已知圓臺(tái)的上、下底面面積分別為和，高為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．例9．如圖，已知圓錐的底面半徑，高，過上一點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱.

(1)若圓柱的底面半徑，求剩余部分體積；(2)試求圓柱側(cè)面積的最大值.變式4．已知一個(gè)圓錐的底面半徑為2，母線長為4.(1)求圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角；(2)如圖，若圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求該圓柱的側(cè)面積.變式5．如下圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5cm，盆壁長為15cm．為了美化花盆的外觀，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆，涂100個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結(jié)果精確到1毫升）考點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積例10．如圖，高與底面直徑相等的圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，圓錐與圓柱的體積之比為．例11．圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是，，且圓臺(tái)的母線長為5，則該圓臺(tái)的體積是.例12．圓錐的高擴(kuò)大到原來的倍,底面半徑縮短到原來的，則圓錐變化后的體積與原體積的比值為.變式6．圓臺(tái)的軸截面上、下底邊長分別為和，母線長為，則圓臺(tái)的體積是.考點(diǎn)五：球的表面積與體積（外接球）例13．如圖，在長方體中，四邊形是邊長為1的正方形，，則該長方體的外接球表面積是（

）

A． B． C． D．例14．直角三角形中，斜邊長為2，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體．若該幾何體外接球表面積為，則長為（

）A． B．1 C． D．例15．如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，，是線段的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球的表面積為，則（

）A． B． C． D．變式7．已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．變式8．某正方體的外接球體積，則此正方體的棱長為（

）A．6 B．3 C． D．考點(diǎn)六：球的表面積與體積（內(nèi)切球）例16．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為.例17．一個(gè)正四面體表面積為，其內(nèi)切球表面積為S2.則=.例18．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A． B． C． D．變式9．棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（

）A． B． C． D．變式10．已知正方體的內(nèi)切球(球與正方體的六個(gè)面都相切)的體積是，則該正方體的體積為（

）A．4 B．16 C．8 D．64考點(diǎn)七：球的表面積與體積（棱切球）例19．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是．例20．正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．例21．在棱長為的正方體中，與其各棱都相切的球的表面積是（

）A． B． C． D．過關(guān)檢測一、單選題1．已知一個(gè)圓錐的表面積為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．2．如圖是一個(gè)實(shí)心金屬幾何體的直觀圖，它的中間部分是高為的圓柱，上、下兩端均是半徑為2的半球，若將該實(shí)心金屬幾何體在熔爐中高溫熔化(不考慮過程中的原料損失)，熔成一個(gè)實(shí)心球，則該球的直徑為（

）A． B． C． D．3．已知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為4和6，斜高為1，則該正三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．4．已知圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為1，3，其表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．5．若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為（

）A． B． C． D．6．已知棱長為2的正方體的體積與球的體積相等，則球的半徑為（

）A． B． C． D．7．某幾何體為棱柱或棱錐，且每個(gè)面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個(gè)值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④8．如圖，已知正六棱柱的最大對(duì)角面的面積為，互相平行的兩個(gè)側(cè)面的距離為2m，則這個(gè)六棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．以上都不對(duì)二、多選題9．已知圓錐的底面圓的半徑與球的半徑相等，且圓錐，與球的表面積相等，則（

）A．圓錐的母線與底面所成角的余弦值為B．圓錐的高與母線長之比為C．圓錐的側(cè)面積與底面積之比為3D．球的體積與圓錐的體積之比為10．某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，，且，則（

）

A．該圓臺(tái)的高為1cm B．該圓臺(tái)軸截面面積為C．該圓臺(tái)的側(cè)面積為 D．該圓臺(tái)的體積為11．一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等B．圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為C．圓柱的表面積為D．圓柱的體積等于球與圓錐的體積之和12．若某正方體的棱長為，則（

）A．該正方體的體積為5 B．該正方體的內(nèi)切球的體積為C．該正方體的表面積為30 D．該正方體的外接球的表面積為三、填空題13．已知正三棱錐的內(nèi)切球半徑為l，若底面邊長為，則該棱錐體積為.14．“升”是我國古代測量糧食的一種容器，在“升”裝滿后用手指成筷子沿升口刮平，這叫“平升”，如圖所示的“升”，從內(nèi)部測量，其上、下底面均為正方形，邊長分別為和，側(cè)面是全等的等腰梯形，梯形的高為，那么這個(gè)“升”的“平升”可以裝mL的糧食．（結(jié)果保留整數(shù)）15．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為．16．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的表面積是．四、解答題17．正四棱錐的底面邊長為4，高為1，求：(1)求棱錐的體積和側(cè)棱長；(2)求棱錐的表面積．18．某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到1元）19．如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)．(1)求四邊形的周長；(2)求多面體的體積．20．如圖，一個(gè)幾何體是由一個(gè)正三棱柱內(nèi)挖去一個(gè)倒圓錐組成，該三棱柱的底面正三角形的邊長為2，高為4．圓錐的底面內(nèi)切于該三棱柱的上底面，頂點(diǎn)在三棱柱下底面的中心處．(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．簡單幾何體的表面積與體積隨堂檢測1.已知正四棱柱的側(cè)棱長為，它的體對(duì)角線長為，則這個(gè)正四棱柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．2.已知正四棱錐的側(cè)棱長為2，高為.則該正四棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．3.以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D