高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題11 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根解析版

專題11利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根一、單選題1．若方程有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，令，解得或，則，隨的變化如下表單調(diào)遞增極大值4單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則當(dāng)時，函數(shù)有極大值；當(dāng)時，函數(shù)有極小值，又當(dāng)時，，當(dāng)，，所以當(dāng)時，有三個不同的實數(shù)根，此時，故選：.2．若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意得，設(shè)，.當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù),且.所以有最大值，簡圖如下，由圖可知，時符合題意.故選：C.3．若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，當(dāng)時，無實數(shù)解，不符合題意，故.于是有，令，顯然當(dāng)時，；當(dāng)時，.，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，函數(shù)的圖象一致如下圖所示：因此要想有實數(shù)根，只需方程組：有交點，如上圖，則有實數(shù)的取值范圍是.故選：D4．已知是方程的實根，則關(guān)于實數(shù)的判斷正確的是（）A． B．C． D．【解析】設(shè)，其中，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)，且，可得方程的實根，則，又由，可得，即，構(gòu)造新函數(shù)，可得，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，因為實數(shù)是方程的實根，則，即，所以，即，所以A正確，B不正確.令，可得，為單調(diào)遞增函數(shù)，由，即，所以，又由，且，所以，所以C、D不正確.故選：A.5．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】由，求導(dǎo)得，在上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，，即，此時的另外一個根為，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，，即，且，所以，化簡函數(shù)，所以則，所以，因為，所以，所以的最小值是5.故選：A.6．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其大致圖象如圖所示，由，得，令，關(guān)于的方程有四個不同的實根等價于函數(shù)，的圖象有四個不同的交點.當(dāng)時，的圖象在點處切線斜率為，該切線過點時，滿足，即，解得，所以的圖象過點的切線斜率為；的圖象在點處的切線斜率為，該切線過點時，，因為，解得，所以的圖象過點的切線斜率為.結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r，的圖象有四個不同的公共點.故選:A.7．已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由的方程，則，，設(shè)，，則，令，，則，即在上為增函數(shù)，，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，關(guān)于的方程在，上有兩解，，又，即，故選：B8．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，設(shè)，則，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，故，故在區(qū)間上遞增，又∵，故在上單調(diào)遞增．∴在上的值域為．又∵上的值域是，故，，存在區(qū)間滿足題意，等價于方程在上至少有兩個不等正根，分離參數(shù)得，令，則題意等價于函數(shù)的圖象與直線的圖象至少有兩個不同的公共點．，得，由得，當(dāng)?shù)?，得在遞減，在遞增，又∵當(dāng)時，，趨近于時，趨近于．∴題意等價于，∵，，，故選：B．二、多選題9．若函數(shù)的圖像和直線y＝ax有四個不同的交點，則實數(shù)a的取值可以是（）A．4 B．2 C．0 D．【解析】當(dāng)時，由得，即；當(dāng)時，由得，此時是方程的一個根，當(dāng)時，得，設(shè)，所以原題等價于函數(shù)的圖像和直線有三個不同的交點，當(dāng)時，，由得，此時單調(diào)遞增；由得，此時單調(diào)遞減，故，取得極小值；當(dāng)時，，作出的函數(shù)圖象，如圖：數(shù)形結(jié)合知：要使函數(shù)的圖像和直線有三個不同的交點，則實數(shù)a滿足或，結(jié)合選項知BD符合.故選：BD.10．已知函數(shù)，，若，，則的可能取值為（）A． B． C． D．【解析】由題意得，，，因為，，易得f(x)在(-∞，)上單調(diào)遞減，在(，+∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x∈(，0)時，f(x)<0，x∈(0，+∞)時，f(x)>0，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)t>0時，有唯一解，故，且，∴，設(shè)，則，令解得t=e，易得在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即的取值范圍為.故選：BC.11．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的值可能為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則是偶函數(shù)，由已知＝0有4個解，所以時，有2個解．時，，，顯然不是方程的解，因此有兩個正實根．設(shè)，則，當(dāng)且時，時，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，是極小值，所以時，，而且時，，時，，所以有兩個正實根時，．只有CD滿足．故選：CD．12．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程的解，則實數(shù)的可能取值為（）A． B． C．0 D．1【解析】，，當(dāng)時，，故在單調(diào)遞減，則恒成立，則當(dāng)時，在無解，故C錯誤；令，若，則時，，此時恒成立，顯然D錯誤；對于A，B，，．，當(dāng)時，在上恒為正，故在上單調(diào)遞增．又因為，．∴在上存在唯一零點，當(dāng)，；，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴，而，故在上存在唯一零點，A，B正確．故選：AB.三、填空題13．若函數(shù)的圖像與軸有三個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是___．【解析】，所以當(dāng)和時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，極大值，極小值，的圖像與軸有三個不同的交點，所以，得14．函數(shù)，若方程有一個解，則的取值范圍為__________．【解析】，，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，取得極小值.當(dāng)時，,當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)趨近于時趨近于，∴函數(shù)的圖象如圖所示.方程有一個解，等價于函數(shù)的圖象與水平直線有且只有一個公共點，∴或15．已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為______.【解析】當(dāng)時，，此時，所以不是方程的根，當(dāng)時，方程可化為：，設(shè)，方程有三個不同的實數(shù)根，即與函數(shù)的圖像有3個交點.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且時，，，當(dāng)時，，時,.作出的圖象如圖.由圖可得:當(dāng)時，與函數(shù)的圖像沒有交點當(dāng)時，與函數(shù)的圖像有1個交點當(dāng)時，與函數(shù)的圖像有2個交點當(dāng)時，與函數(shù)的圖像有3個交點當(dāng)時，與函數(shù)的圖像有2個交點所以方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為16．已知關(guān)于x的方程在上有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______【解析】，，方程兩邊同時除以得，，令，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，由得出，則，設(shè)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，則當(dāng)，即時，對應(yīng)方程有兩個解，，此時分別對應(yīng)兩個，故方程有四解，即四、解答題17．已知函數(shù).（1）當(dāng)且時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，關(guān)于的方程有三個不同的實根，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，.①當(dāng)時，在上恒成立，在上恒成立，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為.②當(dāng)時，，在和上恒成立，在上恒成立.∴時，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若，，關(guān)于的方程有三個不同的實根，等價于的圖象與直線有三個交點.，由解得或,由，解得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，又∵當(dāng)趨近于時趨近于，當(dāng)在定義域內(nèi)趨近于0時，趨近于-，∴趨近于-，∴的圖象與直線有三個交點時的取值范圍是.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)，求的解的個數(shù).【解析】（1）由，得，故，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）令，則，若，則，在上單調(diào)遞減，而，故有1個零點，若，可得時，，時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故時，，有2個零點，當(dāng)時，，有1個零點，綜上，時，有1個解，當(dāng)時，有2個解.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)與圖象在上有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，定義域為，且.令，即，解得；令，即，解得.因此，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間；（2）由已知得：在有兩個不相等的實數(shù)根.令，，由得.當(dāng)時，，此時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時，，此時，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)在處取得極小值，又，且，當(dāng)時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，因此，實數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，若方程有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍，并證明．【解析】（1）由在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即求，求導(dǎo)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，所以實數(shù)a的取值范圍是，（2）當(dāng)時，有兩個不等實數(shù)根，∴有兩個不等實數(shù)根，令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以時，函數(shù)取得極小值，也即是最小值，所以實數(shù)m的取值范圍是，易知，∵，∴，∴，∴，∵令，則，∴在上單調(diào)遞增，故，即，∴，∴．21．已知函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)方程在上恰有個不等實根，求證：．【解析】（1）因為，所以，由得，，當(dāng)時，，所以和時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以和時，，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為和，當(dāng)時，的減區(qū)間為，當(dāng)時，的減區(qū)間為和，（2）由得，令（），則由題意得與直線恰有個交點，所以，令（），則易知單調(diào)遞減，，，所以存在，使得，此時，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，因為，時，，故要使得與恰有個交點，則，又因為，所以成立．22．已知函數(shù)，，（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；