高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題11 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根解析版

專題11利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根一、單選題1．若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，令，解得或，則，隨的變化如下表單調(diào)遞增極大值4單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故選：.2．若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意得，設(shè)，.當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù),且.所以有最大值，簡圖如下，由圖可知，時(shí)符合題意.故選：C.3．若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)解，不符合題意，故.于是有，令，顯然當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象一致如下圖所示：因此要想有實(shí)數(shù)根，只需方程組：有交點(diǎn)，如上圖，則有實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D4．已知是方程的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是（）A． B．C． D．【解析】設(shè)，其中，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)，且，可得方程的實(shí)根，則，又由，可得，即，構(gòu)造新函數(shù)，可得，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，因?yàn)閷?shí)數(shù)是方程的實(shí)根，則，即，所以，即，所以A正確，B不正確.令，可得，為單調(diào)遞增函數(shù)，由，即，所以，又由，且，所以，所以C、D不正確.故選：A.5．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】由，求導(dǎo)得，在上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，，即，此時(shí)的另外一個(gè)根為，且方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是，，2，，即，且，所以，化簡函數(shù)，所以則，所以，因?yàn)?，所以，所以的最小值?.故選：A.6．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其大致圖象如圖所示，由，得，令，關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于函數(shù)，的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的圖象在點(diǎn)處切線斜率為，該切線過點(diǎn)時(shí)，滿足，即，解得，所以的圖象過點(diǎn)的切線斜率為；的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，該切線過點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)?，解得，所以的圖象過點(diǎn)的切線斜率為.結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r(shí)，的圖象有四個(gè)不同的公共點(diǎn).故選:A.7．已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由的方程，則，，設(shè)，，則，令，，則，即在上為增函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，關(guān)于的方程在，上有兩解，，又，即，故選：B8．設(shè)函數(shù)，若存在區(qū)間，使在上的值域是，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，故在區(qū)間上遞增，又∵，故在上單調(diào)遞增．∴在上的值域?yàn)椋帧呱系闹涤蚴?，故，，存在區(qū)間滿足題意，等價(jià)于方程在上至少有兩個(gè)不等正根，分離參數(shù)得，令，則題意等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線的圖象至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．，得，由得，當(dāng)?shù)?，得在遞減，在遞增，又∵當(dāng)時(shí)，，趨近于時(shí)，趨近于．∴題意等價(jià)于，∵，，，故選：B．二、多選題9．若函數(shù)的圖像和直線y＝ax有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．4 B．2 C．0 D．【解析】當(dāng)時(shí)，由得，即；當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)是方程的一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，得，設(shè)，所以原題等價(jià)于函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由得，此時(shí)單調(diào)遞增；由得，此時(shí)單調(diào)遞減，故，取得極小值；當(dāng)時(shí)，，作出的函數(shù)圖象，如圖：數(shù)形結(jié)合知：要使函數(shù)的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a滿足或，結(jié)合選項(xiàng)知BD符合.故選：BD.10．已知函數(shù)，，若，，則的可能取值為（）A． B． C． D．【解析】由題意得，，，因?yàn)?，，易得f(x)在(-∞，)上單調(diào)遞減，在(，+∞)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x∈(，0)時(shí)，f(x)<0，x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)>0，作函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可知，當(dāng)t>0時(shí)，有唯一解，故，且，∴，設(shè)，則，令解得t=e，易得在(1，e)上單調(diào)遞增，在(e，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即的取值范圍為.故選：BC.11．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程有且僅有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則是偶函數(shù)，由已知＝0有4個(gè)解，所以時(shí)，有2個(gè)解．時(shí)，，，顯然不是方程的解，因此有兩個(gè)正實(shí)根．設(shè)，則，當(dāng)且時(shí)，時(shí)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，是極小值，所以時(shí)，，而且時(shí)，，時(shí)，，所以有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，．只有CD滿足．故選：CD．12．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程的解，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A． B． C．0 D．1【解析】，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，則恒成立，則當(dāng)時(shí)，在無解，故C錯(cuò)誤；令，若，則時(shí)，，此時(shí)恒成立，顯然D錯(cuò)誤；對(duì)于A，B，，．，當(dāng)時(shí)，在上恒為正，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，．∴在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)，；，．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴，而，故在上存在唯一零點(diǎn)，A，B正確．故選：AB.三、填空題13．若函數(shù)的圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【解析】，所以當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，極大值，極小值，的圖像與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，得14．函數(shù)，若方程有一個(gè)解，則的取值范圍為__________．【解析】，，在上，，單調(diào)遞減；在上，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取得極小值.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)趨近于時(shí)趨近于，∴函數(shù)的圖象如圖所示.方程有一個(gè)解，等價(jià)于函數(shù)的圖象與水平直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴或15．已知函數(shù)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以不是方程的根，當(dāng)時(shí)，方程可化為：，設(shè)，方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，時(shí),.作出的圖象如圖.由圖可得:當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像沒有交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)所以方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為16．已知關(guān)于x的方程在上有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【解析】，，方程兩邊同時(shí)除以得，，令，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由得出，則，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，則當(dāng)，即時(shí)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)解，，此時(shí)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)，故方程有四解，即四、解答題17．已知函數(shù).（1）當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域是，.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，，在和上恒成立，在上恒成立.∴時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若，，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn).，由解得或,由，解得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，又∵當(dāng)趨近于時(shí)趨近于，當(dāng)在定義域內(nèi)趨近于0時(shí)，趨近于-，∴趨近于-，∴的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)的取值范圍是.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)，求的解的個(gè)數(shù).【解析】（1）由，得，故，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）令，則，若，則，在上單調(diào)遞減，而，故有1個(gè)零點(diǎn)，若，可得時(shí)，，時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故時(shí)，，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，時(shí)，有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)與圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?令，即，解得；令，即，解得.因此，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間；（2）由已知得：在有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令，，由得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)在處取得極小值，又，且，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明．【解析】（1）由在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即求，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以時(shí)，函數(shù)取得極小值，也即是最小值，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是，易知，∵，∴，∴，∴，∵令，則，∴在上單調(diào)遞增，故，即，∴，∴．21．已知函數(shù)，其中．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)方程在上恰有個(gè)不等實(shí)根，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由得，，?dāng)時(shí)，，所以和時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以和時(shí)，，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為和，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為和，（2）由得，令（），則由題意得與直線恰有個(gè)交點(diǎn)，所以，令（），則易知單調(diào)遞減，，，所以存在，使得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，因?yàn)?，時(shí)，，故要使得與恰有個(gè)交點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以成立?2．已知函數(shù)，，（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；