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認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：羅**（實名認(rèn)證）

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第21頁/共23頁2024屆高三上期10月階段考試數(shù)學(xué)試卷（理科）一?選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.把答案涂在答題卷上.）1.若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則z的虛部是（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算計算作答.【詳解】，所以z的虛部是3.故選：B2.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)散點圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.【詳解】由圖可知：所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對應(yīng)的相關(guān)性比對應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對應(yīng)的圖中的散點呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且依據(jù)散點的分布狀況可知,因此，故選：C3.設(shè)全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合N，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.【詳解】解不等式得：或，即或，則，而，所以.故選：A4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某個零件的三視圖，則這個零件的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知幾何體為一個圓錐體和圓柱體組合而成，利用圓錐體、圓柱體的體積公式即可求幾何體體積.【詳解】依據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由一個底面半徑為1，高為2的圓柱和一個底面半徑為2，高為3的圓錐組成；故這個零件的體積.故選：A5.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性及函數(shù)值的符號即可做出推斷.【詳解】因為，所以f（x）是奇函數(shù)，解除A，D，當(dāng)時，，，所以，解除C，故選：B．6.已知定義在上的函數(shù)滿意，且在上單調(diào)遞增，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先確定是關(guān)于直線對稱的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，再比較與x=1的距離依據(jù)單調(diào)性即可推斷.【詳解】依題意可得，的圖像關(guān)于直線對稱，因為，則，又在上單調(diào)遞增，所以；故選：B.7.在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．8.已知數(shù)列是公比不等于的等比數(shù)列，若數(shù)列，，的前2024項的和分別為m，，20，則實數(shù)m的值（）A.只有1個 B.有2個 C.無法確定 D.不存在【答案】B【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列前項和公式求得數(shù)列，，的前2024項的和，通過視察得出關(guān)于的方程，由此求得的值.【詳解】是公比不等于的等比數(shù)列，則數(shù)列，都是公比不為1的等比數(shù)列，前者公比為，后者公比為.設(shè)的公比為q，則，，，視察可知：，即，所以或.故選：B9.《九章算術(shù)》中有“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步．問：勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為b和a的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長d．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到很多重要的結(jié)論，如圖3，設(shè)D為斜邊BC的中點，作直角三角形ABC的內(nèi)接正方形對角線AE，過點A作于點F，則下列推理正確的是（）A.由圖1和圖2面積相等得 B.由可得C.由可得 D.由可得【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可推斷A選項正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項，即可得答案【詳解】對于A，由圖1和圖2面積相等得，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，，因為，所以，整理得，故B錯誤；對于C，因為D為斜邊BC的中點，所以，因為，所以，整理得，故C正確；對于D，因為，所以，整理得，故D錯誤．故選：C．10.已知分別為雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線C上隨意一點，記直線，直線的斜率分別為．若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，應(yīng)用斜率兩點式得到，依據(jù)P為雙曲線C上一點即可得雙曲線參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求其離心率.【詳解】依題意，設(shè)，則，∴，又，∴，故，即.故選：A11.在銳角三角形ABC中，若，且滿意關(guān)系式，則的周長最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，推導(dǎo)出，由，推導(dǎo)出，再由正弦定理可得，，由此能求出周長的取值范圍.【詳解】，，，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，三角形為銳角三角形，，，，即，又∴，∴的周長最大值為.故選：D12.若，不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】不等式恒成立，等價于，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)證明恒成立，再轉(zhuǎn)換推理即可得出答案.【詳解】解：，不等式恒成立，等價于，不等式恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又，所以存在，使得，存在，使得，即方程有解，因為不等式可以取到等號，所以的最小值為，所以，即，所以實數(shù)m的最大值為.故選：A.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想及放縮思想，考查了邏輯推理實力和數(shù)據(jù)分析實力，有肯定的難度.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13.已知平面對量，，滿意，且，則的值為________.【答案】##【解析】【分析】可化為，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)可求.【詳解】因為，所以，兩邊平方可得，又，所以，故答案為：14.哥德巴赫猜想是指“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和”，例如，，在不超過40的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個數(shù)，其和等于40的概率為________.【答案】【解析】【分析】寫出不超過40素數(shù)，計算隨機(jī)選取兩個數(shù)的全部基本領(lǐng)件的個數(shù)，寫出滿意題意的基本領(lǐng)件，由古典概型的概率公式可得答案.【詳解】由題意可知不超過40的素數(shù)有：共12個，在不超過40的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個數(shù)，基本領(lǐng)件有個，滿意其和等于40的組合是共3個，故在不超過40的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個數(shù)，其和等于40的概率為，故答案為：15.已知雙曲線右頂點為，若以點為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，點為坐標(biāo)原點，且，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】首先取的中點，連接．則，依據(jù)已知條件得到，從而得到，再求離心率即可.【詳解】如圖所示：取中點，連接．則．由知，，又因為點到漸近線的距離，所以，即，又，代入化簡得，即，解得或（舍去），故．故答案為：16.協(xié)助角公式是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭發(fā)覺的用來化簡三角函數(shù)的一個公式，其內(nèi)容為.（其中，，）.已知函數(shù)的圖像的兩相鄰零點之間的距離小于，為函數(shù)的極大值點，且，則實數(shù)的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)周期求出，再依據(jù)函數(shù)的極大值點求出，，由及協(xié)助角公式求出，即可求出的取值，再代入計算可得.【詳解】解：因為函數(shù)兩相鄰零點之間的距離小于，所以，即，解得，又其中，，因為為函數(shù)的極大值點，所以，，所以，，所以，，所以，，因為，所以，，即，所以，所以，，則，，所以，，，即，，，又，所以；故答案為：三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.已知等差數(shù)列滿意首項為1，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先依據(jù)已知條件列方程求出，再依據(jù)等差數(shù)列通項公式求即可；（2）依據(jù)題意得到，再利用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】依據(jù)題意得，∵，數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由，得，解得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以.18.如圖，四棱錐中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E為PC中點．（1）求證：DE⊥平面PCB；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明:PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中點，DEPC，PCBC＝C，且面，面∴DE⊥平面PCB【小問2詳解】以點D為坐標(biāo)原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知：則，設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得到，又，則，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為．19.某單位共有10名員工，他們某年的收入如下表：員工編號12345678910年薪（萬元）4658951（1）求該單位員工當(dāng)年年薪的平均值和中位數(shù)；（2）從該單位中任取2人，此2人中年薪收入高于7萬的人數(shù)記為，求的分布列和期望；（3）已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系，某員工工作第一年至第四年的年薪分別為4萬元，萬元，6萬元，萬元，預(yù)料該員工第五年的年薪為多少？附：線性回來方程中系數(shù)計算公式分別為：，其中為樣本均值.【答案】（1）平均值為11萬元，中位數(shù)為7萬元（2）見解析（3）9.5萬元【解析】【分析】（1）依據(jù)收入表，即可求出員工年薪的平均數(shù)和中位數(shù).（2）運用組合公式，計算出取值為0，1，2時的概率，即可求出的分布列和期望．（3）依據(jù)線性回來方程的計算公式得到線性回來方程：.再代入詳細(xì)的x值即可.【小問1詳解】平均值為萬元;中位數(shù)為萬元.【小問2詳解】年薪高于7萬的有5人，低于或等于7萬的有5人；取值為0，1，2.，，，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望為.【小問3詳解】設(shè)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪，則，，，，，得線性回來方程：.可預(yù)料該員工第5年的年薪收入為9.5萬元.20.已知點是拋物線與橢圓的公共焦點，橢圓上的點到點的最大距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）過點作的兩條切線，記切點分別為，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由拋物線焦點可求，由到點的最大距離，可求.（2）利用導(dǎo)數(shù)表示出直線和直線的方程，聯(lián)馬上得直線的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出面積，利用函數(shù)學(xué)問即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點為，即，橢圓上的點到點的最大距離為，所以，，所以橢圓方程為.【小問2詳解】拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以點，的坐標(biāo)滿意方程，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，點到直線的距離為，所以，因為，由已知可得，所以當(dāng)時，面積的最大值為.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要留意：(1)留意視察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后運算實力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)，令，若的兩根為，，且，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率，利用點斜式求切線方程；(2)由條件證明，，由此可得等價于，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，由此完成證明.【小問1詳解】若，則，，則函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以曲線在點處的切線方程是，即；【小問2詳解】因為，所以，又，所以函數(shù)，其定義域為，則，因為的兩根為，且，所以，即，其中，，所以，且，，因為，所以，所以，，要證，只需證明，只需證明，只需證明，又，，令則，所以在上單調(diào)遞增，且，故，即，所以.【點睛】本題其次小問解決的關(guān)鍵在于由條件確定的關(guān)系，將多變元的問題轉(zhuǎn)化為單變元的問題，再利用導(dǎo)數(shù)證明轉(zhuǎn)化后的不等式即可.22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的一般方程與直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線過點且與直線l平行，直線交曲線C于A，B兩點，求的值．【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）利用三角消參即可求出曲線C的一般方程；由即可求出直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）利用直線參方形式中的“t的幾何意義”即可求解【小問1詳解】因為曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），所以曲線C的一般方程為．由，得，即，因為，，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為．【小問2詳解】因為直線l的斜率為，所以l