2025年中考數(shù)學(xué)大題專練：幾何中的最值問題（5大題型）（解析版）

中考大題07幾何中的最值問題

考情分析?直擊中考

在中考數(shù)學(xué)中，幾何最值問題的考察，在小題中通常是選擇或者填空題的壓軸問題；在解答題中偶爾

也會作為壓軸題中的第2個小問題出，難度比較大，是對學(xué)生探究能力的綜合考察。在中考數(shù)學(xué)中常見的

幾何最值問題是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經(jīng)?？疾?，但是考到的時候難度都比較大，所以

也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的時候才能有捷徑應(yīng)對。

琢題突破?保分必拿

將軍飲馬模型

胡不歸問題

幾何中的最值問題費馬點

瓜豆原理

阿氏圓

題型一：將軍飲馬模型

龍能>大題典例

1.（2023,湖北鄂州,中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y=a/（a>0）型拋物線圖

象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點尸到定點F（0,a）的距離PG始終等于它到定直線/：

y=—；的距離PN（該結(jié)論不需要證明）.他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，

y=—總叫做拋物線的準(zhǔn)線方程-準(zhǔn)線/與了軸的交點為〃其中原點。為尸”的中點，F(xiàn)H=2OF=^.例

如，拋物線y=2H其焦點坐標(biāo)為F（o,J準(zhǔn)線方程為/：y=-1,其中PF=PN,FH=2OF，

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

⑴請分別直接寫出拋物線y=%2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,；

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,已知拋物線y=》上一點P（xo，yo）（xo>0）到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐

標(biāo)；

【能力提升】

⑶如圖3,已知拋物線y=52的焦點為尸，準(zhǔn)線方程為/.直線%:y=/—3交y軸于點C,拋物線上動點

P到x軸的距離為由，到直線m的距離為d2,請直接寫出小+d2的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線、=女2缶〉0）平移至）7=磯%—八）2+依￡1〉0）.拋物線y=a

（x—h）2+k（a>0）內(nèi)有一定點+J,直線/過點—9且與X軸平行.當(dāng)動點尸在該拋物線上

運動時，點P到直線/的距離PP1始終等于點P到點尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例如：拋物線y=2

（x-1）2+3上的動點P到點尸（1,金的距離等于點P到直線1：y=1的距離.

請閱讀上面的材料，探究下題：

⑷如圖4,點D（—1,|）是第二象限內(nèi)一定點，點尸是拋物線y=#—1上一動點，當(dāng)PO+PD取最小值時,

請求出△POD的面積.

【答案】（1）（0,1）,y=—l；

（2）（V2,|）；

⑶1

9

⑷0

【分析】（1）根據(jù)題中所給拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可;

（2）利用兩點間距離公式結(jié)合已知條件列式整理得益2=8加2+2處—1,然后根據(jù)加二%。?，求出火，進(jìn)

而可得Xo，問題得解；

（3）過點P作PE1直線加交于點E,過點P作PG1準(zhǔn)線/交于點G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF=*

+1,PE=d2,根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)尸，P,E三點共線時，di+d2的值最??；待定系數(shù)法求直線PE

的解析式，求得點P的坐標(biāo)為（2而—4,9—4而），根據(jù)點E是直線PE和直線機(jī)的交點，求得點E的坐標(biāo)為

即可求得心和d2的值，即可求得；

（4）根據(jù)題意求得拋物線y=%2_i的焦點坐標(biāo)為尸（0,0）,準(zhǔn)線/的方程為y=—2,過點P作PG，準(zhǔn)線咬

于點G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知PG=PF,貝/。+P。=「6+/5￡）,根據(jù)兩點之間線段最短可得當(dāng)￡）,

P,G三點共線時，PO+PQ的值最??；求得P（—3―即可求得△P。。的面積.

【詳解】（1）解：???拋物線y=/中a=；,

.11V

??備=L4一五=-L

拋物線y=32的焦點坐標(biāo)為（0,1）,準(zhǔn)線I的方程為y=—1,

故答案為：（0,1），y=-1；

（2）解：由（1）知拋物線y=的焦點廠的坐標(biāo)為（0」），

,/點P（%o，yo）（xo>0）到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，

:.JXO2+（y°—=3yo,整理得：%o2=^yo2+2yo—1>

又=%）2,

**?4yo—8y（）2+2y0—1

解得：出=3或口）=一5（舍去），

...點p的坐標(biāo)為（vx，；

（3）解：過點P作PE，直線m交于點E,過點P作PG1準(zhǔn)線2交于點G,結(jié)合題意和（1）中結(jié)論可知

PG-=PF=d1+l,PE=d2,如圖：

若使得詢+為取最小值，即PF+PE—1的值最小，故當(dāng)尸，P,E三點共線時，PF+PE-1=EF-1,即

此刻心+￡?2的值最小;

直線PE與直線小垂直，故設(shè)直線PE的解析式為y=-2%+b,

將F(O,1)代入解得：6=1,

直線PE的解析式為y=—2x+1,

:點P是直線PE和拋物線y=#的交點，

令32=—2%+1,解得：%1=2V5—4,x2=—2V5—4(舍去)，

故點尸的坐標(biāo)為(2西一4,9-4V5),

心=9—4V

??,點E是直線PE和直線m的交點，

令-2%+1=、-3,解得：x=|,

故點E的坐標(biāo)為6,一日)，

2

???d2=J(2V5-4-1)+(9-4V5

d]+d，2~—1.

即④+的最小值為|\用一1.

-1-1

(4)解：：拋物線丫=/2—1中a=[,

44

?1?14

??瓦=L一瓦=-1，

，拋物線y=#—1的焦點坐標(biāo)為尸(0,0),準(zhǔn)線/的方程為y=-2,

過點P作PGJ.準(zhǔn)線I交于點G,結(jié)合題意和(1)中結(jié)論可知PG=PF,則PO+PD=PG+PD,如圖:

若使得PO+PD取最小值，即PG+PD的值最小，故當(dāng)D,P,G三點共線時，PO+PD=PG+PD=DG,即

此亥爐。+PD的值最小；如圖：

???點D的坐標(biāo)為（一1,|）,DGL準(zhǔn)線

二點P的橫坐標(biāo)為一1,代入y=—1解得y=_1

即OP=I+1=*

則△P。。的面積為SAPOD=-Zx-x1=-o

【點睛】本題考查了兩點間距離公式結(jié)合，兩點之間線段最短，三角形的面積，一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，一

次函數(shù)與拋物線的交點坐標(biāo)等，解決問題的關(guān)鍵是充分利用新知識的結(jié)論.

2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形4BC的直角頂點43,0）,

頂點/、B（6,

⑴分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線力B所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在x軸上是否存在一點尸，使a/lBP周長的值最小.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】（i）y=§y=-+4

⑵在X軸上存在一點P(5,0),使△4BP周長的值最小，最小值是2迷+4V2.

【分析】(1)過點/作4E1X軸于點￡,過點8作BD1久軸于點。，證明△4CE三△CBD(AAS),則

CD=AE=3,BD=EC=m,由。E=3—m得到點/的坐標(biāo)是(3—巾,3),由/、F(6,6)恰好落在反比例函

數(shù)y=5第一象限的圖象上得到3(3—m)=6m,解得爪=1,得到點/的坐標(biāo)是(2,3),點8的坐標(biāo)是(6,1),

進(jìn)一步用待定系數(shù)法即可得到答案；

(2)延長AE至點4,使得E4=4E,連接4B交無軸于點尸，連接力P,利用軸對稱的性質(zhì)得到AP=4P,

4(2,—3),貝lMP+PB=4B,由4B=2而知AB是定值，it匕時△ABP的周長為2P+PB+=4B+4B最

小，利用待定系數(shù)法求出直線4B的解析式，求出點尸的坐標(biāo)，再求出周長最小值即可.

【詳解】(1)解：過點/作4E_L久軸于點E,過點8作軸于點。，

貝！U2EC=4CDB=90°,

,點43,0),B(6,m),

OC=3,OD=6,BD=m,

：.CD=OD—OC=3,

???是等腰直角三角形，

：./LACB=90°fAC=BC,

'：Z-ACE+乙BCD=乙CBD+乙BCD=90°,

：.Z.ACE=Z.CBD,

：.△ACE=△CBO(AAS),

CD=AE=3,BD=EC=m,

OE=OC—EC=3—m,

點/的坐標(biāo)是(3-m,3),

-：A,B(6,嗎)恰好落在反比例函數(shù)y=-

.'.3(3—m)=6m,

解得m=1,

工點力的坐標(biāo)是(2,3),點5的坐標(biāo)是(6,1),

k=6m=6,

反比例函數(shù)的解析式是y=(

設(shè)直線4B所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q,把點/和點B的坐標(biāo)代入得,

1

2p+q-3p-

得-

解-

6-12

p+qq*4

:.直線4B所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-jx+4,

(2)延長4E至點4,使得E4=4E,連接4B交x軸于點尸，連接力P,

...點/與點4關(guān)于x軸對稱，

：.AP=A'P,4(2,—3),

?：AP+PB=A'P+PB=A'B,

：.AP+PB的最小值是4B的長度，

'：AB=7(2-6)2+(3-1)2=2V5,即48是定值，

此時△ABP的周長為4P+PB+AB=AB+4B最小,

設(shè)直線4B的解析式是y=nx+t,

則常*摩3，

解得｛之二,

直線4B的解析式是y=x—5,

當(dāng)y=0時，0=x—5,解得x=5,

即點P的坐標(biāo)是(5,0),

此時4P+PB+AB=AB-[-A'B=2V5+7(2-6)2+(-3-l)2=2V5+4V2,

綜上可知，在X軸上存在一點P(5,0),使aABP周長的值最小，最小值是2遍+4立.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求

兩點間距離、軸對稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)

鍵.

莪塞》型;去揖號

將軍飲馬模型

將軍飲馬問題概衿：將軍每天從軍營A中發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河界同側(cè)埠B地軍亨巡牛應(yīng)該怎樣專才能使路程最短？一

求線

基

變線段垂直平

差

本

段

AB式分線上的點在直線上求一點

最

模LP,

的

六到線段兩端求的最小值

值

型PA-PB

\距離相等

在直線L上求一點M,求

AM+BM的最小值

變

變

式

式

求A

一

B,七

線

段

線段

點

兩

和

差

的三角形兩邊在直線L上求一點P,

間

之

最

的

大之差小于第求PA-PB的最大值

段

線

最三邊

短

最

變

變

小在直線AB和BC上分別

式

式

值取一點M、N,求4

二

PMN周長的最小值八

(一動兩定)

線段在直線可

變

加MNL

在直線AB和BC上分別

又移動，當(dāng)移動到

取一點、求四邊PQ+式MNA'B

式MN,

什么位置時，求

九

三形PQNM周長的最小P'Q'M

AM+MN+NB最小

值(兩動兩定)

移

平平行四邊形值

最

類的性質(zhì)+兩

值

小點之間線段

最短

變

變

求在直線和上分別是河兩側(cè)的定

式

ABBC式A,BA'E

線取一點、求PN點，怎樣造橋，可

四MN,

十M

段PM+PN的最小值以讓總路程最短

和

的垂線

段最

最

短

小

變

值在直線AB和BC上分別

式取一點M、N,求

P'N

五PM+PN的最小值(―

定兩動)

蘢麓》笠型喳.

1.(2023?山東濟(jì)南?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y=5(>:>0)經(jīng)過8、C兩點，△4BC為直

角三角形，ACIIx軸,4B||y軸，4(8,4),47=3.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點B的坐標(biāo)；

(2)點朋r是y軸正半軸上的動點，連接MB、MC；

①求MB+MC的最小值；

②點N是反比例函數(shù)y=5(x>0)的圖像上的一個點，若△CMN是以CN為直角邊的等腰直角三角形，求所

有滿足條件的點N的坐標(biāo).

【答案】(i)y=§,(8,|)

⑵①等；②N償，9)或縱-2+2后2+2V6)

【分析】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形的判定與性質(zhì)，對稱變換等知

識.

(1)求出C(5,4),用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=§，令x=8得B的坐標(biāo)為(8,|)；

(2)①作C關(guān)于y軸的對稱點。，連接交y軸于M,此時MB+MC最小，由C(5,4),B(8,|),可得0(—5,

4),BC=J(8+5)2+(|—4『=等,即可得到答案；

②設(shè)M(0,m),N(n,§)，分兩種情況：當(dāng)C為直角頂點時，過C作TK||y軸，過N作NT17K于T,過M作

4—7n=5—71

5=20_4,即可解得

{n

_20.

2071--n--4

N(-f9)；當(dāng)N為直角頂點時，過N作RSly軸于S,過C作CR1RS于R,同理可得卜o匚，解得

v---m=5—n

Af(2*\^6—2,2V6+2).

【詳解】(1)打⑹4),AC=3,

???C(5,4),

將C(5,4)代入y=E得：

.k

4-

解得％=20

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=§,

on彳

在'=晝中，令久=8得y=5，

??.B的坐標(biāo)為(8,|)；

(2)①作C關(guān)于y軸的對稱點。，連接BC咬y軸于M,此時MB+MC最小，如圖:

.-.MB+MC=MB+MC,

當(dāng)B,M,。共線時，MB+最小，即MB+MC最小，最小值為的長度,

由(1)知C(5,4),8(8,|),

4),

BC=](8+5)2+(|-4)2=等，

MB+MC的最小值是第；

②設(shè)M(0,m),Ng等，

當(dāng)C為直角頂點時，過C作TK||y軸，過N作NTJ.7K于T,過M作MKLTK于K,如圖:

CM=CN,乙MCK=90。一乙NCT=^CNT,

?:乙K=90°=ZT,

???△CMKzANCT(AAS),

ACK=NT,MK=CT,

4—m=5—n

5=--4'

{n

解得

，N常，9)；

當(dāng)N為直角頂點時，過N作RSly軸于S,過C作CRLRS于R,如圖:

解得九=2前一2或？i=—2瓶一2(舍去)，

*'?N(2yf6—2,2V^+2)；

綜上所述，N的坐標(biāo)為常，9)或(2傷—2,2V6+2).

2.(2023?甘肅隴南?三模)(1)如圖①，在RtaABC中，zC=90°,AC=3,BC=4,點D是4B邊上任意

一點，貝UCD的最小值為.

(2)如圖②，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,點M、點N分別在BD、BC上,求CM+MN的最小值；

(3)如圖③，在矩形4BCD中，AB=3,BC=4,點E是AB邊上一點，且AE=2,點F是BC邊上的任意一

點，把a(bǔ)BEF沿EF翻折，點8的對應(yīng)點為點G,連接4G、CG,四邊形4GCD的面積是否存在最小值？若存在,

求出四邊形AGCD面積的最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)■y;(2)黃；(3)存在，當(dāng)

【分析】

本題考查四邊形綜合應(yīng)用，主要考查了矩形的性質(zhì)，點到直線的距離，軸對稱，解本題的關(guān)鍵是確定出滿

足條件的點的位置，題目綜合性較強(qiáng).

(1)根據(jù)垂線段最短，利用用三角形的面積即可得出結(jié)論；

(2)先根據(jù)軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出CF,進(jìn)而求出CE,最后用三角函數(shù)即可求出

CM+MN的最小值；

(3)先確定出EG14C時，四邊形4GCD的面積最小，再用銳角三角函數(shù)求出點G到4C的距離，最后用面積

之和即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)過點C作CD14B于D,如圖：

C

ADB

根據(jù)垂線段最短可知此時CD最小,

在Rt△力BC中，AC=3,BC=4,

：.AB=7AC2+BC2=存+42=5,

\'^ACxBC=^ABxCD,

ACxBC3x412

-,-CD=^^=—=^

故答案為：?；

(2)如圖，作出點C關(guān)于8。的對稱點E,過點E作ENJ.BC于N,交8。于M,連接CM,

此時CM+MN=EM+MN=EN最??；

四邊形4BCD是矩形，

???Z.BCD=90°,CD=AB=3,

二BD='BC2+CD2=V32+42=5,

VCE1BD,

■.^BDxCF=^BCxCD,

「

CFL=-B-C--x-C--D-=-4--x-3=——12,

BD55，

:點C與點E關(guān)于BD對稱，

24

???CE=2CF=—,

rp王Q

在RtZiBCF中，coszFCF=—=T=-,

DC45

4

???sinZ-BCF=

24496

在Rt/XCEN中，EN^CE-sinzBCE=yx-=—；

?1?CM+MN的最小值為去；

(3)四邊形2GCD的面積存在最小值，最小值為自，理由如下:

如圖，連接4C,

四邊形48co是矩形，

.-.CD=AB=3,AD=BC=4,NABC=ND=90°,

：.AC=7AB2+BC2=<32+42=5,

AB=3,AE=2,

???點F在BC上的任何位置時，點G始終在4c的下方，

設(shè)點G到4C的距離為h,

S四邊形AGCD=SAACD+^AACG=%。xCD+|xcxh=^x4x3+1x5xh=|/i+6,

二當(dāng)四邊形4GCD的面積最小時，無最小，

,/把△沿EF翻折，點B的對應(yīng)點為點G,

：.EG=BE=AB-AE=1,

...點G軌跡是以點E為圓心，1為半徑的圓在矩形4BC0內(nèi)部的一部分上的點，

EG1ac時，八最小，

由折疊知NEGF=乙ABC=90°,

延長EG交"于H,貝IJEHIAC,

DfA

在ABC中，sin/BAC”,

在中，AE=2,sinNB2C=要=±

AE5

-,-EH=lAE=l'

h=EH—EG=1-1=I，

?1?S四邊形4GCD最小=|h+6=IX9+6=/

題型二：費馬點

龍麓?大題典例

（2023?湖北隨州?中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上

的三個點B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利

給出了分析和證明，該點也被稱為"費馬點"或"托里拆利點"，該問題也被稱為"將軍巡營”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP,

由PC=P￡,APCP'=60°,可知△PCP，為①三角形,故PP'=PC,又P4=P4故PA+PB+PC=P4

+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P,,/在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時的

P點為該三角形的"費馬點”，且有N4PC=NBPC=LAPB=⑶；

已知當(dāng)aABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點〃為該三角形的某個頂點.如圖3,若2120。，

則該三角形的"費馬點"為點.

⑵如圖4,在△4BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且47=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點。為△ABC的〃費

馬點”，求24+P8+PC的值；

A1A

圖4iH5

（3）如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km,BC=2V3km,N4CB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向/,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊/,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果

用含。的式子表示)

【答案】⑴①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④4

(2)5

(3)2V13a

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)的方法將△力PC繞，點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4PC,即可得出可知當(dāng)2,P,P',/在同

一條直線上時，PH+PB+PC取最小值，最小值為4B,在根據(jù)乙4。3=30°可證明=

+NBCP+NPCP=90。，由勾股定理求48即可，

(3)由總的鋪設(shè)成本=。(「力+。8+迎「。)，通過將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△APK,得到等

腰直角得到魚PC=PP1即可得出當(dāng)2,P,P',“在同一條直線上時，P7T+PB+PP取最小值,

即PA+PB+我PC取最小值為AB,然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出48即可.

【詳解】(1)W：-：PC=P'C,APCP'=60°,

/.△PCP為等邊三角形；

/.PP'=PC,4P，PC=^PP'C=60°,

又P4=PA,故P4+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由兩點之間線段最短可知，當(dāng)B,P,P',/在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，

最小值為4B,此時的P點為該三角形的"費馬點"，

J./-BPC+/.P/PC=180°,/.A'P'C+^PP'C=180°,

/.ZBPC=120°,AA'P'C=120°,

又：AAPC=AA'P'C,

：.Z.APC=/.AP'C=120°,

：.^APB=360°-^APC-ABPC=120°,

：.Z.APC=Z.BPC=4APB=120°；

?：ABAC>120°,

：.BC>AC,BOAB,

：.BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

.??三個頂點中，頂點/到另外兩個頂點的距離和最小.

又：已知當(dāng)△4BC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費馬點"為該三角形的某個頂點.

...該三角形的"費馬點”為點

故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120。；④4

(2)將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4PC,連接PP,

由(1)可知當(dāng)8,P,P,,/在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，最小值為4B,

A'

/力

VZ71CP=Z.ACP',

J.^ACP+/.BCP=Z.A'CP'+Z.BCP=/.ACB=30°,

又：NPCP'=60°

/.BCA'=Z.A'CP'+Z.BCP+Z.PCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A'C=3,

J.A'B=VBC2+A'C2=442+32=5,

.??PA+PB+PC最小值為5,

(3);總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB-a+PC啦a=a(PA+PB+V2PC)

.?.當(dāng)PH+PB+魚PC最小時，總的鋪設(shè)成本最低，

將△4PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△4PC,連接PP,A'B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,/.PCP'=^.ACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

：.PP'=>/2PC,

：.PA+PB+>J2PC=P'A'+PB+PP',

當(dāng)B,P,P,,4在同一條直線上時，P0+P8+PP，取最小值，即/54+「3+7^5。取最小值為48,

A'

B0H

過點4作4HlBC,垂足為H,

'：AACB=60°,AACA'=90°,

：./.A'CH=30°,

：.A'H=^A'C=2km,

：.HC=7AC2-4H2=742-22=2?km),

BH=BC+CH=2V3+2g=4g(km),

：.A,B=7AH2+BH2=J(4V3)2+V=2V13(km)

PA+PB+魚PC的最小值為2VI^km

總的鋪設(shè)成本=PA-a+PB-a+PC-y[2a=a(PA+PB+V2PC)-2V13a(元)

故答案為：2后a

【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

龍卷》鯉去揖號.

【基礎(chǔ)】費馬點常見結(jié)論：

1)對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

2)對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.

(注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。)

【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短,

得出最短長度，即當(dāng)A,A',P,P’四點共線時取最小值.

【進(jìn)階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是I,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.

【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最DACAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE

小值二BD長度即為所求，在RtZkBCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得ACDE

最小值此時△PCE為等腰直角三角形，即PE力?PC

因此原式=PA+PB+◎C=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

BF6四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD中

3也工丁/3有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

%

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120。得ACDE

最小值此時APCE為等腰三角形且NPCE=120°,即PE=V5PC,

SlttJ?^=PA+PB+V3PC=ED+PB+PE,貝！]當(dāng)B、P、E、D

B\3Q"0

/四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在Rt^BFD中

有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=J60+30v3

求思路：原式=2(PA4PB+遺PC)

2PA+PB+V3PC

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點P作PF_L.CE于點

最小值

下F,則PF=[PC;2)泗利用三角形中位線來處理；3)PA前

的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過點

DP作PF1CE于點F,此時APCE為等邊三角形，即

PF=^pC,過點F作FG"DE,貝i]FG=；PB,貝愷A、P、

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在RtA

ACT中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=用,原式=2

(PA+ipB+—PC)=2734

22

過程：4ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE.然后過點

P作PF1CE于點F,此時APCE為等邊三角形，即

PF爭C,過點F作FG//DE,則FG=加，則當(dāng)B、P、

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在RtA

BCG中有勾股定理可得BG=VCG+4C2=7.5,原式=4

(^PA+PB+yPC)=26

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進(jìn)行求解.

蔻3處要式訓(xùn)級

1.(2023?貴州遵義?三模)(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△04B中，若將△OAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。

得至連接BB，；求4OBB'=_；

(2)【問題探究】如圖②，己知△ABC是邊長為4仃的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD,P

為△4BC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，點P的對應(yīng)點為點Q.

①求證：ADCQ三4BCP；

②求P4+PB+PC的最小值；

(3)【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形4BCD中，48=600,AD=800,P是矩形內(nèi)一動點=2S^BC，Q

為△?!￡)2內(nèi)任意一點，是否存在點P和點0,使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請

說明理由.

【答案】(1)30°；(2)①見解析；②12；(3)存在，4008+400

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出。/=。8,4BOB'=120°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；

(2)①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明全等即可；

②連接PQ,得到是等邊三角形，由兩點之間線段最短得aP+DQ+PQNA。，求出4。即可得解；

(3)過點P作EFIIA。交28于點E,交CD于點將△4DQ繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60。得△4OQ，，連接DD1QQ，

,D'P,設(shè)。P交4D于點G,由SapAonZSkBc可得=進(jìn)而求得4E=400,當(dāng)。PlEF時，0P有最

小值，運用勾股定理可求解.

【詳解】（1）解：???將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到△。49,

???。9=。8=3,48。夕=120。，

:?乙OBB'=2OB'B=3b。，

故答案為：30°；

(2)①證明：???△BOC是等邊三角形,

:?CD=CB,Z.DCB=60°,

由旋轉(zhuǎn)得乙PCQ=60。，PC=CQ,

:.(DCQ=^BCP,

在△DCQ和△BCP中，

(CD=CB

](DCQ=乙BCP,

ICQ=CP

：.ADCQ^AFCP(SAS)；

②連接PQ,

?；PC=CQ,Z.PCQ=60°,

???△（:~?是等邊三角形，

：.PQ=PC,

*：ADCQ三ABCP,

；?PB=DQ,

：.PA+PB+PC=PA+QD+PQ,

由兩點之間線段最短得/P+DQ+PQ>AD,

：.PA+PB+PC>ADf

J當(dāng)點4、尸、。、。在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，為/。的值,

延長/C,作交ZC的延長線于點E,

???△ZBC是邊長為4百的等邊三角形，

：.AC=CD=CB=4V