部編人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理含各章相應(yīng)典型練習(xí)及答案

部編人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理含各章相應(yīng)典型練習(xí)及答案

第一章有理數(shù)

一、有理數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)

1.三個(gè)重要的定義

(1)正數(shù)：像1.2.5、這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)；

(2)負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“一”號(hào),表示比0小的數(shù)叫做負(fù)數(shù);

(3)0即不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),0是一個(gè)具有特殊意義的數(shù)字0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的殳品，不是表

示不存在或無(wú)實(shí)際意義.

概念剖析：

①判斷一個(gè)數(shù)是否是正數(shù)或負(fù)數(shù)，不能用數(shù)的前面加不加“+”“一”去判斷，要嚴(yán)格按照“大

于0的數(shù)叫做正數(shù)；小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù)”去識(shí)別.

②正數(shù)和負(fù)數(shù)的應(yīng)用：正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量.

③所有正整數(shù)組成正整數(shù)集合；所有負(fù)整數(shù)組成負(fù)整數(shù)集合；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù),

正整數(shù),0、負(fù)整數(shù)組成整數(shù)集合；

④常常有溫差、時(shí)差、高度差(海拔差)等等差之說(shuō)，其算法為高溫減低溫等等；

例1下列說(shuō)法正確的是()

A、一個(gè)數(shù)前面有“一”號(hào)，這個(gè)數(shù)就是負(fù)數(shù)；

B、非負(fù)數(shù)就是正數(shù)；

C、一個(gè)數(shù)前面沒(méi)有“一”號(hào)，這個(gè)數(shù)就是正數(shù)；

D、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；

31

例2把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)中8,0.125,0,——,-6-0.25

43'

正整數(shù)集合{}整數(shù)集合{}

負(fù)整數(shù)集合{}正分?jǐn)?shù)集合{}

例3如果向南走50米記為是-50米，那么向北走782米記為是,0米的意義是

例4對(duì)某種盒裝牛奶進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，一盒裝牛奶超出標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量2克，記作+2克，那么-5克表示

彳列5若。>0,貝Ia是;若a<0,貝是;若a<b,貝Ua—3

是;若a>b,貝Ua-Z?是;(填正數(shù)、負(fù)數(shù)或0)

2.有理數(shù)的概念及分類

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).有理數(shù)的分類如下：

（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)符號(hào)分類:

概念剖析：①整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也就是說(shuō)如果一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，則它就一定可以化成整數(shù)

或分?jǐn)?shù)；

②正有理數(shù)和0又稱為非負(fù)有理數(shù)，負(fù)有理數(shù)和0又稱為非正有理數(shù)；

③整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)部分為0或小數(shù)部分不為0的小數(shù)，但并不是所有小數(shù)都

是有理數(shù)，只有有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；

例6若。為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)且a〉0,b是a的小數(shù)部分，貝la—3是（）

A、無(wú)理數(shù)B、整數(shù)C、有理數(shù)D、不能確定

例7若a為有理數(shù)，則a不可能是（）

A、整數(shù)B、整數(shù)和分?jǐn)?shù)C、"（pwO）D、

3.數(shù)軸

標(biāo)有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫作數(shù)軸.數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度.畫一條水

平直線，在直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定直線上向右的方向

為正方向，就得到數(shù)軸.在數(shù)軸上所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即從數(shù)軸的左邊到右邊

所對(duì)應(yīng)的數(shù)逐漸變大，所以正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù).

概念剖析：

①畫數(shù)軸時(shí)數(shù)軸的三要素原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度缺一不可；

②數(shù)軸的方向不一定都是水平向右的，數(shù)軸的方向可以是任意的方向；

③數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度沒(méi)有明確的長(zhǎng)度，但單位長(zhǎng)度與單位長(zhǎng)度栗保持相等；

④有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的

右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長(zhǎng)度.

⑤在數(shù)軸上求任意兩點(diǎn)a、6的距離L,則有公式L=|a-4或L=4，這兩個(gè)公式選擇那個(gè)都一樣.

例8在數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)到表示數(shù)。的點(diǎn)之間的距離是10,貝|數(shù)。=;若在數(shù)

軸上表示數(shù)3的點(diǎn)到表示數(shù)a的點(diǎn)之間的距離是b,則數(shù)4=.

例9兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則下列正確的是（）

-J-------------------1-----------

boa

A、a+Z?<0B、abVOc、尸D、a-b<0

例10下列數(shù)軸畫正確的是（）

J_________________l____________I______L

o—1oi

AB

—2-1012-1-2012

4、相反數(shù)cD

如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)就叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù).0的相反數(shù)是0,互為

相反的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上位于原點(diǎn)的兩則，并且與原點(diǎn)的距離相等.概念剖析：①“如果

兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)就叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)”，不栗茫然的認(rèn)為“如果

兩個(gè)數(shù)符號(hào)不同，那么其中一個(gè)數(shù)就叫另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)”.

②很顯然，數(shù)a的相反數(shù)是-%即a與-a互為相反數(shù)。要把它與倒數(shù)區(qū)分開.

③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一個(gè)在原點(diǎn)的左邊，一個(gè)在原點(diǎn)的右邊，且離

原點(diǎn)的距離相等，也就是說(shuō)它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

④在數(shù)軸上離某點(diǎn)的距離等于a的點(diǎn)有兩個(gè).

⑤如果數(shù)a和數(shù)Z?互為相反數(shù)，貝|a+/?=0;qH0）或2=-1（而h0）；

ba

⑥求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面加上“一”即可；

例如a-Z?的相反數(shù)是一a;

例11下列說(shuō)法正確的是（）

A、若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)一定是一個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)；

B、如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則它們的商為-1；

C、如果a+b=0,則數(shù)a和數(shù)b互為相反數(shù)；

D、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定不相等；

例12求出下列各數(shù)的相反數(shù)

①巴②a+1③a—3④3c2

4

例13化簡(jiǎn)下列各數(shù)的符號(hào)

①+(-4.5)②—(―「)③—[一(+2)]@—{—[―(―0.2)]}

知識(shí)窗口：①一個(gè)數(shù)前面加上“一”號(hào)，該數(shù)就成了它的相反數(shù)；

②一個(gè)數(shù)前面的符號(hào)確定方法：奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)相當(dāng)于一個(gè)負(fù)號(hào)，偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)相當(dāng)于一個(gè)正

號(hào)，而與正號(hào)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān).

5、絕對(duì)值

數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值.(1)絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就

是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.(2)絕對(duì)值的代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；

a(a>0)

0的絕對(duì)值是0;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，可用字母a表示如下：同=om=o)

-a(a<0)

(3)兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.

概念剖析：①“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離”，而距離是非負(fù)，也就是說(shuō)

可一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)之0。

②互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)離原點(diǎn)的距離相等，也就是說(shuō)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等.

例14如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)是()

A、互為相反數(shù)B、相等C、積為0D、互為相反數(shù)或相等

例15已知a6>0,試求回+回+四的值.例16若|x|=-x,則x是數(shù)；

abab

例17若||+|y—2|=0,則(%+丁產(chǎn)項(xiàng)=；

例18將下列各數(shù)從大到小排列起來(lái)

53

0、——、——、0.0001

64

例19如果兩個(gè)數(shù)a和匕的絕對(duì)值相等，則下列說(shuō)法正確的是()

A、a=bB、-=-lC、a+b=0D、不能確定

b

二、有理數(shù)的運(yùn)算

1.有理數(shù)的加法

(1)有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不等的異號(hào)兩

數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反的兩個(gè)數(shù)相加得

0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

例20計(jì)算下列各式

i7

①(-3)-(-4)+7②-5-(-10)+2——(——)

33

③(-5.3)+(-3.2)-(-2.5)-(+4.8)

(2)有理數(shù)加法的運(yùn)算律：

加法的交換律：a+b=b+a;加法的結(jié)合律：(a^b)+c-a+(b+c)

知識(shí)窗口：用加法的運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分

數(shù)先相加；把符號(hào)相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加.

例21計(jì)算下列各式

119

①(-7)+(+3)+(+8)+(-10)+2②0.125+3—+(-3-)+(+11-)+(-0.25)

483

2.有理數(shù)的減法

(1)有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).(2)有理數(shù)減法常見(jiàn)的錯(cuò)誤：顧此失彼，沒(méi)有顧到

結(jié)果的符號(hào)；仍用小學(xué)計(jì)算的習(xí)慣，不把減法變加法；只改變運(yùn)算符號(hào)，不改變減數(shù)的符號(hào)，沒(méi)有把減數(shù)變成相

反數(shù).(3)有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進(jìn)行運(yùn)算；

例22概念剖析：減法是加法的逆運(yùn)算，用法則“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)”即可轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化后它滿足加法法則和運(yùn)算律.計(jì)算：-7-11-9+5

例23月球表面的溫度中午是101。。，半夜是-153°C,中午比半夜高多少度？

例24已知〃？是6的相反數(shù)，”比的相反數(shù)小5,求〃比機(jī)大多少？

3.有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)乘法的法則：兩個(gè)有理數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與0

相乘都得0.(2)有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：交換律：atrba-,結(jié)合律：(a6)5a(6c);交換

律：a(卅0二a8ac.(3)倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1,那么

a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過(guò)來(lái).

例25計(jì)算下列各式:

①(―1.25)xl；x(—2.5)x(—()②(―12)x(；—g+g—1)

S5424

③(-45.75)x2-+(-35.25)x(-2-)+10.5x(-7-)@49—x(-5)

4、有理數(shù)的除法

有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，0不能做除數(shù)。這個(gè)法則可以把除法轉(zhuǎn)

化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相

除，0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都等于0.概念剖析：①除法是乘法的逆運(yùn)算，用法則

“除以一個(gè)數(shù)，等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”即可轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后它滿足乘法法則和運(yùn)算律.

②倒數(shù)的求法：求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個(gè)數(shù)分之一，即。的倒數(shù)為2(awO);

a

求一個(gè)真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒一下即可，即二的倒數(shù)為二;求

mn

一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)；求一個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先

將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)。注意：0沒(méi)有倒數(shù).例25倒數(shù)是其本身的數(shù)有;

例26計(jì)算下列各式：

①—2.5+1』x(—8)@(-5)-7-③(—48)+(—6)

82

5、有理數(shù)的乘方

(1)有理數(shù)的乘方的定義：求幾個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方是一種運(yùn)算，是幾個(gè)相

同的因數(shù)的特殊乘法運(yùn)算，記做“人”其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同

因數(shù)的個(gè)數(shù)，它所表示的意義是n個(gè)a相乘，不是n乘以a,乘方的結(jié)果叫做露.(2)正數(shù)的任何

次方都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方是負(fù)數(shù)，0的任何非0次賽都是0,1的任

何非0次賽都是1,-1偶數(shù)次露是1.-1奇數(shù)次露是-1;

概念剖析：①“優(yōu)”所表示的意義是n個(gè)a相乘，不是n乘以a;

②因?yàn)?a"表示”個(gè)-a相乘，而(-。)”表示〃個(gè)a的相反數(shù)；

③任何數(shù)的偶次露都得非負(fù)數(shù)，即20.

例27①23的意義是；

②_5’的意義是；

③(-1)5的意義是;

例28當(dāng)a=—3,6=巳時(shí)，則1+從=；

2

例29計(jì)算：(-2嚴(yán)8+(-2嚴(yán)9

例30若//0)互為相反數(shù)，九是自然數(shù)，貝U()

A、和""互為相反數(shù)B、/"+i和/向互為相反數(shù)

C、/和/互為相反數(shù)D、a"和互為相反數(shù)

知識(shí)窗口：所有的奇數(shù)可以表示為2〃+1或2〃-1;所有的偶數(shù)可以表示為2”.6、有理數(shù)的混合運(yùn)算

(1)進(jìn)行有理數(shù)混合運(yùn)算的關(guān)建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運(yùn)算法則、運(yùn)算律及運(yùn)算順

序。比較復(fù)雜的混合運(yùn)算，一般可先根據(jù)題中的加減運(yùn)算，把算式分成幾段，計(jì)算時(shí)，先從每段的

乘方開始，按順序運(yùn)算，有括號(hào)先算括號(hào)里的，同時(shí)要注意靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.(2)進(jìn)行有

理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意：一是要注意運(yùn)算順序，先算高一級(jí)的運(yùn)算，再算低一級(jí)的運(yùn)算；二是

要注意觀察，靈活運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，以提高運(yùn)算速度及運(yùn)算能力.

例31計(jì)算下列各式

①10+g—1+lg]x6②（一3）3g）+4_22

例31已知。的絕對(duì)值為3.且。滿足x的一元一次方程（a—+（3+a）x—2=0,貝的

b

值為多少？

7、科學(xué)記數(shù)法

（1）把一個(gè)大于10的數(shù)記成axlO"的形式，其中。是整數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科

學(xué)記數(shù)法.（2）與實(shí)際完全符合的數(shù)叫做準(zhǔn)確數(shù)，與準(zhǔn)確數(shù)接近的數(shù)叫做近似數(shù)。一般

地，一個(gè)近似數(shù)，四舍五人到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.（3）一個(gè)數(shù)，從

左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止（最末尾一位），所得的數(shù)字，叫做這

個(gè)數(shù)的有效數(shù)字.

概念剖析：I把一個(gè)數(shù)b用科學(xué)記數(shù)法表示為axlO",其中l(wèi)<a<10,"為自然數(shù)，

①當(dāng)匕之10時(shí)，”為這個(gè)數(shù)b的整數(shù)位數(shù)減1;例如：用科學(xué)記數(shù)法表示188000.04得

1.8800004xl05,它滿足1<1.8800004<10,5=6-1（188000.04的整數(shù)部分有6位數(shù)）;

②當(dāng)14Z?<10時(shí)，〃為0；例如：用科學(xué)記數(shù)法表示1.8800004得1.8800004義10°；

③當(dāng)Z><1時(shí)，〃為由b變到a的過(guò)程中小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)位數(shù)的相反數(shù)；

④科學(xué)記數(shù)法既然是將很大的數(shù)或很小的數(shù)一種簡(jiǎn)單的記數(shù)方法，那么就在記數(shù)的過(guò)程

中不能出現(xiàn)幾百、幾千、幾萬(wàn)或幾百分之一、幾千分之一、幾萬(wàn)分之一等等詞出現(xiàn).II在讓數(shù)字精

確和數(shù)有效數(shù)字時(shí)應(yīng)注意：

①在四舍五入法精確小數(shù)時(shí)不可輕視，即如果要求將一個(gè)小數(shù)精確到千分位，而四舍五人所得到的

結(jié)果千分位為0時(shí)，該0不能省略。如：將2.08965601精確到千分位，應(yīng)為2.090,不應(yīng)為2.09。

其他分位也應(yīng)注意.②在數(shù)一個(gè)數(shù)的有效數(shù)字時(shí)應(yīng)該嚴(yán)格按照“從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到

精確到的數(shù)位止（最末尾一位），所得的數(shù)字”；科學(xué)記數(shù)法axlO"的形式中，效數(shù)字只與a有關(guān)，

而與10"無(wú)關(guān).

例32用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)

①1893400000②800032000③0.000003578012④120萬(wàn)人民幣；

例33①3.256有位效數(shù)字，它們分別是;

②0.032560有位效數(shù)字，它們分別是;

③3.2560x108有位效數(shù)字，它們分別是;

④3.256x108有位效數(shù)字，它們分別是;

例34用四舍五入法完成下列各題

①0.02954H（精確到千分位），所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

______________________,

②0.999999。（精確到萬(wàn)分位），所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

______________________,

③Q93”（精確到個(gè)位）所得結(jié)果有位效數(shù)字，它們分別是

真題演練：

一■、選擇題：

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A、非負(fù)有理數(shù)即是正有理數(shù)B、0表示不存在，無(wú)實(shí)際意義

C、正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)D、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定不相等B、互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)一定不相等

C、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等D、互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等

3.絕對(duì)值最小的數(shù)是（）A、1B、0C、-1D、不存在

4、計(jì)算（—2）4+（-2,所得的結(jié)果是（)A、0B、32C、-32D、16

5、有理數(shù)中倒數(shù)等于它本身的數(shù)一定是（)A、1B、0C、-1D、±1

6、（-3）-（-4）+7的計(jì)算結(jié)果是（)A、0B、8C、-14D、-8

7、（-2）的相反數(shù)的倒數(shù)是（）A、,B、--C、2D、-2

22

8、化簡(jiǎn)：/=4,則。是（）A、2B、-2C、2或-2D、以上都不對(duì)

9、若歸+1]+僅一2],則x+y=()A、-1B、1C、0D、3

10、有理數(shù)a,b如圖所示位置，則正確的是（）

---------11——?-----------------------A

b-----------------0a

A、a+Z?>0B、ab>QC、b~水QD、|a|>|Z?|

二、填空題

11.(-5)+(-6)=;(-5)-(-6)=.12.(一5)X(-6)=

I4

(-5)4-6-.13.(-2)2X;-24x—=.14、

2

（-3）2X—=；-3^-=.15、一12002+（_1）2003=

\）279

16、平方等于64的數(shù)是；的立方等于-64

17、-2與它的倒數(shù)的積為.18、若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值是2,

7

t

貝I〃b=;c0;ZTF.19、出口果a的相反數(shù)是一5,貝USF,|a\-,

|-a-3|=.20、若|a|=4,|引=6,且a儀0,則|廿引=.三、計(jì)算：

135

(1)-48+8?-(-25)+(-5產(chǎn)(2)—3—1-5—r-(—2)x—

2514

(3)-32+(—3)2+3x(-2)(4)24-84-(-4)x(_~)

⑸-32+16+(-2)3-(-6)x(-3)(6)-1.3+

四、某工廠計(jì)劃每天生產(chǎn)彩電100臺(tái)，但實(shí)際上一星期的產(chǎn)量如下所示:

星期一二三四五六日

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

比計(jì)劃的100臺(tái)多的記為正數(shù)，比計(jì)劃中的100臺(tái)少的記為負(fù)數(shù)；請(qǐng)算出本星期的總產(chǎn)量是多少臺(tái)？

本星期那天的產(chǎn)量最多，那一天的產(chǎn)量最少？

五、某工廠在上一星期的星期日生產(chǎn)了100臺(tái)彩電，下表是本星期的生產(chǎn)情況：

星期一二三四五六日

增減/輛-1+3-2+4+7-5-10

比前一天的產(chǎn)量多的計(jì)為正數(shù)，比前一天產(chǎn)量少的記為負(fù)數(shù)；請(qǐng)算出本星期最后一天星期日的產(chǎn)量

是多少？本星期的總產(chǎn)量是多少？那一天的產(chǎn)量最多？那一天的產(chǎn)量最少？

第二章：整式的加減

一、代數(shù)式的概念

1.用字母表示數(shù)之后，可能用字母表示的有

（1）具有一定數(shù)量的數(shù)；（2）一些變化的規(guī)律；（3）數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算定律；（4）數(shù)量關(guān)系；（5）

數(shù)學(xué)公式.

2.用字母表示數(shù)的意義

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重栗特點(diǎn)，它的優(yōu)點(diǎn)在于能簡(jiǎn)明、扼要、準(zhǔn)確地把數(shù)和數(shù)之間的關(guān)系表

示出來(lái)，化特殊為一般，深刻地揭示數(shù)量之間的聯(lián)系，為我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)帶來(lái)方便.

3.用字母表示數(shù)學(xué)公式

（1）加法、乘法的運(yùn)算律；（2）平面圖形的面積公式；（3）平面圖形的周長(zhǎng)公式；（4）立體圖形

的體積公式.

4、代數(shù)式的概念

用字母表示數(shù)之后，出現(xiàn)了一些用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，我們把它們叫做

代數(shù)式.

概念剖析：①運(yùn)算符號(hào)指的是加、減、乘、除、乘方、絕對(duì)值，大中小括號(hào)以及以后要學(xué)到的開方

符號(hào)，但不包括大于、小于號(hào)、等號(hào)等表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)系符號(hào)；

例1、②單個(gè)的數(shù)字和字母也是代數(shù)式.③判斷一個(gè)式子是否是代數(shù)式，只要看看它能否滿足代數(shù)

式的概念即可.下列的式子中那些是代數(shù)式①忖+1|+僅-2|②axlO"③3x+5>0

@-=—+-?2X2+8X-5⑥+3—3m（7）（2x+[7-2y+（2m）2]}⑧57

pmnlx-5y

是代數(shù)式的有（只填序號(hào)）；

例2.下列各式中不是代數(shù)式的是（）A、nB、0C、D、K占加a

x+y

5、書寫代數(shù)式的規(guī)定

（1）數(shù)字與字母、字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以省略不寫或用“?”代替，省略乘號(hào)時(shí)，數(shù)字因數(shù)

應(yīng)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字是帶分?jǐn)?shù)時(shí)要改寫成假分?jǐn)?shù)，數(shù)字與數(shù)字相乘時(shí)仍要寫“X”號(hào).（2）

代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般栗寫成分?jǐn)?shù)的形式.（3）用代數(shù)式表示某一個(gè)量時(shí)，代數(shù)式后面帶

有單位，如果代數(shù)式是和、差形式，要用括號(hào)把代數(shù)式括起來(lái).例3.下列個(gè)代數(shù)式中①4-?②

2

（a-6）“③3人@2?5⑤25a2b

書寫規(guī)范的有（只填序號(hào)）；

6、代數(shù)式的意義

代數(shù)式的意義是把代數(shù)式的數(shù)量關(guān)系翻譯成用文字?jǐn)⑹龅臄?shù)量關(guān)系，即為讀代數(shù)式

用語(yǔ)言把一個(gè)代數(shù)式的數(shù)學(xué)意義表示出來(lái)時(shí)，要正確表達(dá)式中所含有代數(shù)運(yùn)算以及它們運(yùn)算順序，

還要注意語(yǔ)言的簡(jiǎn)練準(zhǔn)確.例4、說(shuō)出下列代數(shù)式的意義

①2m+n的意義是;

②2（m+〃）的意義是;

③加+色的意義是;

7、單項(xiàng)式

由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，其中數(shù)因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母因數(shù)的指數(shù)

之和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也叫做單項(xiàng)式.

概念剖析：①單項(xiàng)式是代數(shù)式中的一種特殊形式；

②要判斷一個(gè)式子是否是單項(xiàng)式，只要看看它是否滿足單項(xiàng)式的定義；

③單獨(dú)的一個(gè)數(shù)作為單項(xiàng)式時(shí)，其系數(shù)就是它本身，次數(shù)為0;單獨(dú)的一個(gè)字母作為單

項(xiàng)式時(shí)，其系數(shù)就是1,次數(shù)為它本身的次數(shù)；

④若一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)為m,我們就叫該單項(xiàng)式m次單項(xiàng)式；

⑤單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相等的條件：幾個(gè)單項(xiàng)式完全相同.

例5、下列代數(shù)式中，①"②1③—2/④i+a⑤3/+8

_右5—Q2009

⑥。⑦二￡⑧一出_是單項(xiàng)式的有______________________（只填序號(hào)）；

a+b217

71

例6、代數(shù)式5aA,-7X2+1,-|X,24中，單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（）

A、4個(gè)B、3個(gè)C、2個(gè)D、1個(gè)

例7、單項(xiàng)式-27版"+1+2+時(shí)—1是關(guān)于X、y的4次單項(xiàng)式，其系數(shù)是6,求加和〃的值；

例8、若單項(xiàng)式3/y4與單項(xiàng)式〃1r"y4相等，則m,n=

8、多項(xiàng)式

幾個(gè)多項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，其中、每個(gè)單項(xiàng)式都叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)，次

數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫做該多項(xiàng)式的次數(shù)，每個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)都是多項(xiàng)式的系數(shù)；如果一個(gè)多項(xiàng)式有“

項(xiàng)，且次數(shù)為機(jī)，則我們稱該多項(xiàng)式為機(jī)次〃項(xiàng)式.

概念剖析：①多項(xiàng)式是代數(shù)式中的一種特殊形式；

②在多項(xiàng)式里，所有字母的指數(shù)都是非負(fù)數(shù).③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相等的條件：幾個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)

完全相同.例9、多項(xiàng)式①3x+5y+2z是由哪些項(xiàng)組成,系數(shù)是，次數(shù)；

②J"-療2是由哪些項(xiàng)組成，系數(shù)是，次數(shù)；

2

例10、若（7〃-2）*5丁+3》3y-X?-孫+1是關(guān)于x、y的四次四項(xiàng)式，貝I加=;

例11.①若/丁+2/丁2+刎—2）%+1是關(guān)于X、y的四次三項(xiàng)式，則“=；

②若13丁+2%）2+刎―2）1+1是關(guān)于％、y的多項(xiàng)式，且不含一次項(xiàng)則,=

2

例12.當(dāng)x取何值時(shí)，多項(xiàng)式［x-5y-5可化簡(jiǎn)為關(guān)于y的一次單項(xiàng)式；

例13.若多項(xiàng)式7%加丁2+3孫+〃與多項(xiàng)式“x'y?+3型+7相等，貝I/"=,n=；

9、整式單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式

二、代數(shù)式的計(jì)算

1.同類項(xiàng)

所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng).

概念剖析：判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指數(shù)也分別相同。即：

“兩相同，一關(guān)系；”兩相同：所含字母相同、相同字母的指數(shù)也分別相同；一關(guān)系：字

母與字母之間是乘積關(guān)系.

例14、指出多項(xiàng)式2/y3—8孫+g7尤3y4——y3+Q1孫里的同類項(xiàng)它們分別

是；

例15、若—7x"+2y4與_3%3y“是同類項(xiàng)，貝|］旭=,n=;

例16、當(dāng)“=時(shí)，3/y5與—2%2y3"T是同類項(xiàng)；

2.合并同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，不是同類項(xiàng)不能合并.合并同類項(xiàng)法則：(1)系

數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)；(2)字母和字母的指數(shù)不變.

例17、把多項(xiàng)式13%—9+76尤+1-2x2-3x合并同類項(xiàng)后得;

例18、當(dāng)。=—工時(shí)，求多項(xiàng)式3a2一5。+2—6。2+6。一3的值；

2

例19、已知-2x"'y'與-同類項(xiàng)，求多項(xiàng)式

2m2n—3mn+5m2n+3mn—6—4m2n—7m2n—2m2rl+5的的值；

例20、若單項(xiàng)式-y"與—2/"+3y3的和仍是單項(xiàng)式，則4/71-3??=；

3.去括號(hào)

去括號(hào)法則：(1)括號(hào)前是“+”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)符號(hào)都不改

變；(2)括號(hào)前是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”號(hào)去掉后，原括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改

變.

例21.將下列各式的括號(hào)去掉①3a+(而+加—1)②3a—("+bc—1)

③—(+7/y3)+(2孫-7x2y3)@-(+7x2y3)—(2孫-7x2y3)

⑤+(-3a)-(ab+bc-V)

例22.化簡(jiǎn)a-[5?-（-a+人）]}-2b

4、整式的加減

整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，如果有括號(hào)的就先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)

概念剖析：整式加減運(yùn)算的步驟：（1）去括號(hào)；（2）判斷同類項(xiàng)；（3）合并同類項(xiàng)；

例23.①求單項(xiàng)式5/y,-2x2y,2xy2,-4/y的和；

②求單項(xiàng)式5%2y,-2x2y,2xy2,-4/y的差；

③求5a2-2a+5與4a2+3a—4的和；

④求5a2—2a+5與4a2+3a—4的差；

⑤已知A=2x—3,B=3X2-3X-2,C=2X2-3X-2,求A+25—3C;

⑥已知A=l—必，B=X2-4X-3,C=5X2-4,求多項(xiàng)式

A—■|[A—25—（5—C）]+3的值.

5、代數(shù)式的值的計(jì)算

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值.求代數(shù)式的

值要注意的問(wèn)題：（1）字母的數(shù)值必須確保代數(shù)式有意義；（2）在代入數(shù)值計(jì)算之前要把代數(shù)式化

到最簡(jiǎn)；（3）字母的取值保證它本身表示的數(shù)量有意義；（4）字母的取值不同，代數(shù)式的值也不同.

代數(shù)式的值的計(jì)算方法：①?gòu)囊阎霭l(fā)去求未知（向前看）；

②從未知出發(fā)去找未知和已知關(guān)系（回頭看）；

③從已知和未知同時(shí)出發(fā)待相遇去找未知和已知關(guān)系（來(lái)回趕）；

例24、已知2x?+孫=6,3y2+2xy-9,求4x?+8肛+9/的值；

例25、；已知a+36=2,求代數(shù)式2a+3+6Z?的值；

例26、當(dāng)上1=2時(shí)，求代數(shù)式三？一2（3）的值；

x+yx+yx-y

例27、已知機(jī)2+加一i=o時(shí)，求代數(shù)式機(jī)3+2機(jī)2+2008的值

4列28、若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,則x+y+z=;

伊I2,、巳知〃+6Z+1=0,貝〔Ja+a+a=;

例30、已知：a,b,c,d均為有理數(shù)，且4=4、卜+,=2、|。一（?+/2—,=（?一〃+4—/?,則.+/7+。+4

的最大值為.

三、探索規(guī)律

1.探索數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用符號(hào)表示規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證規(guī)律

2.用代數(shù)式表示簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用合并同類項(xiàng)，去括號(hào)等法則驗(yàn)證所探索的規(guī)律.例31.

觀察下列算式：

31=3、3?=9、33=27、34=81>35=243.3$=729、37=218738=6561>.......

用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出32008的末位數(shù)字是,32009的末位數(shù)字是;

例32.將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如下圖所示，可得到1條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每

次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折3次后，可以得到7條折痕，那么對(duì)折4次可以得

到條折痕；如果對(duì)折力次，可以得到條折痕.

第1次對(duì)折第2次對(duì)折第3次對(duì)折

例33.民公園的側(cè)門口有9級(jí)臺(tái)階，小聰一步只能上1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階，小聰發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)階數(shù)分別

為1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)、4級(jí)、5級(jí)、6級(jí)、7級(jí)....逐漸增加時(shí)，上臺(tái)階的不同方法的種數(shù)依

次為1、2、3、5、8、13.21……這就是著名的斐波那契數(shù)列.那么小聰上這9級(jí)臺(tái)階共

有種不同方法；

例34、觀察下列順序排列的等式：

9X0十1=1,9X1+2=11,9X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41

猜想：第年n個(gè)等式應(yīng)為____________________.//令'

例35、如圖，是用火柴棍擺出的一系列三角形圖蒙今

按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20（即n=20）“，而35題

要的火柴棍總數(shù)為根.

例36、觀察下列等式

9—1=8,16—4=12,25—9=16,36—16=20,.......這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，

設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來(lái)：.

例37、給出下列算式：

/+1=1X2,2,2=2X3,32+3=3X4,.......你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式子表示這個(gè)規(guī)

例38、一項(xiàng)工程，甲建筑隊(duì)單獨(dú)承包需要a天完成，乙建筑隊(duì)單獨(dú)承包需栗6天完成，現(xiàn)兩隊(duì)聯(lián)合

承包，完成這項(xiàng)工程需要（）天.

A.-^―B.-+-C.D.—

a+baba+bab

例39、用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律.拼成若干個(gè)圖案：

（1）第4個(gè)圖案中有白色地面磚.塊；（2）第n個(gè)圖案中有白色地面磚塊.

例40、一種商品每件進(jìn)價(jià)為a元，按進(jìn)價(jià)增加25%定出售價(jià),后因庫(kù)存積壓降價(jià)，按售價(jià)的九折

出售，每件還能盈利（）.A.0.125aB.0.15aC.0.25aD.1.25a

真題演練：

一、選擇題：

1.下列各式中不是代數(shù)式的是（)A、nB、0C、----D、

x+y

2.用代數(shù)式表示比y的2倍少1的數(shù)，正確的是（）

A、2(y-1)B、2y+1C、2y-1D、1-2y

3.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，電腦價(jià)格不斷降低,某品牌電腦按原售價(jià)降低m元后，又降價(jià)20%,

現(xiàn)售價(jià)為n元，那么該電腦的原售價(jià)為（）

4一5一一

A、（—n+77Z）71SB、（—n+C、（5zzz+n）ycD、(5n+m)7E

11

4、當(dāng)a=!，）=』時(shí)，代數(shù)式（a-勿2的值是（）A、B、C、D、

36126436

已知公式工=’+工，若m=5,n=3,則p的值是（815

5、)A、8B、C、D、

pmn8151"

6、下列各式中，是同類項(xiàng)的是（）

A、3%2y與一3孫2B、3孫與-2yxC、2爐與2xD、5xy與5yz

二、填空題:

7、某商品利潤(rùn)是a元，利潤(rùn)率是20%,此商品進(jìn)價(jià)是..8、代數(shù)式的意義是

c

?9、當(dāng)m=2,n=-5時(shí)，的值是..10、

化簡(jiǎn)(1+加2)_(1_加2)=，三、解答題：

11.已知當(dāng)x=g,y=l時(shí)，代數(shù)式2盯z+8x?z的值是3,求代數(shù)式2z?+z的值.

12.一?個(gè)塑料三角板，形狀和尺寸如圖所示，(1)求出陰影部分的面積；(2)當(dāng)a=5cm,b=4cm,r=1cm

時(shí)，計(jì)算出陰影部分的面積是多少.圖3-8

13.已知A=x-2y+2xy,B=3x-6y+4xy求3A-B

14、代數(shù)式好+4%-2的值為3,求代數(shù)式2必+8%-5的值是多少

15、觀察下面一組式子：

/“、“、/八.、

(1)，1x—1=1,1；(2)-1x1—=1---1-；(3)—1x—1=-1---1-(4)一1x—二1一1

2223233434454

寫出這組式子中的第(10)組式子是

第(n)組式子是;

利用上面的規(guī)建計(jì)算：+.

9x1011x12

2

16、代簡(jiǎn)求值：2(2--6x-4)-3(x，+--2x-3),其中x=-§.

第三章：一元一次方程

一、方程的有關(guān)概念

1.方程的概念

(1)含有未知數(shù)的等式叫方程.(2)在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,

系數(shù)不為0,這樣的方程叫一1元一次方程。且一元一■次方程的一般形式為：ax+b=0(?0)

概念剖析：①方程一定是等式，但等式不一定都是方程，只有含未知數(shù)的等式叫方程；

②等式：用等號(hào)“二"表示相等關(guān)系的式子叫做等式；

③一元一次方程的條件：是方程；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的指數(shù)是1;知數(shù)的系數(shù)

不為0;

例1.下列式子是方程的是()

B7y>O

A、3%+5y+9、-C、一二1D、3+5=10-2

例2.下列方程是一元一次方程的是()

,11

A、x+2y=9B、%2-3%=1C、—=1D、—x-1=3x

x2

例3.已知方程mF++2=o是關(guān)于*的一■元一■次方程，求〃z、〃、b的值；

2.等式的基本性質(zhì)

(1)等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。若a=〃，貝Ua+c=>+c

或a—c=b—c.(2)等式兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不能為0),所得結(jié)果仍是

等式。若a=b,則ac=Z?c或@=