河北省邯鄲市武安市2024-2025學年高三年級上冊10月期中考試 數學試題（含答案）

河北省邯鄲市武安市2024-2025學年高三上學期10月期中考試

數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={小2>2型={-2,0,1,3},則—）

3

A.{-2,0,3}B.{-2,3}c{0,3}D.{}

2.若復數z滿足z0+i）=-3+i（i是虛數單位），則⑸等于（）

7105V5

A.2B.4C.V5D.2

3.已知平面向量力=（5，°）1=（2，T）,則向量&+B在向量B上的投影向量為（）

A.3一3）B.（4一2）C.（2T）D,（，°）

4.記S"為等差數列{"」的前〃項和，若。3+%=14,&%=63,則邑二（）

A.21B.19C.12D.42

5.已知對任意平面向量/'=（'/）,把刀繞其起點沿逆時針方向旋轉°角得到向量

AP=（XCOS0-ysin0,xsm0+ycos9），叫做點B繞點、A沿逆時針方向旋轉。角得到點尸.已

__71

知平面內點』（°』），點3（0,1-2收），把點8繞點A沿順時針方向旋轉7后得到點尸，貝|

點尸的坐標為（）

A.（TT）B.（T。）C.（T-2）口.（T-3）

6.已知數列的前"項和為S",其中q且$用-2s“=2〃+1,則%（）

369361367365

A.46B.46C.7?D.46

（）

,cos6Z-/7=^,tancif-tan/7=4

7.已知12）,則（）

7171712兀

A.6B.4C.3D.3

32

8.已知正四棱臺下底面邊長為4夜，若內切球的體積為3",則其外接球表面積是（）

A.49KB.56KC.65兀D.13071

二、多選題

9.如圖，在正方體/BO。-44Go中，E,F,MN分別為棱441，MBAB0c的中

點，點尸是面2c的中心，則下列結論正確的是()

A.E,F,MP四點共面B.平面PEF被正方體截得的截面是等腰梯

形

C.E尸//平面PACVD.平面〃砂_1_平面

f(x)=血cos[2x+g

10.已知函數，則（）

A.，（X）的一個對稱中心為K''°J

3兀

B./（X）的圖象向右平移至個單位長度后得到的是奇函數的圖象

5兀7兀

C./（X）在區(qū)間I8'8」上單調遞增

戶兀13K

D.若〉=/（、）在區(qū)間（°刈）上與k1有且只有6個交點，貝JR2'4-

11.我們知道正.余弦定理推導的向量法，是在A/BC中的向量關系方+就=就的基礎

上平方或同乘的方法構造數量積，進而得到長度與角度之間的關系.如圖，直線/與

△4BC的邊NC分別相交于點0,E,設/B=c,BC=a,CA=b,ZADE=3,則

下列結論正確的有（）

A

E

A./+Z)2+C2=2abcosC+2bccosA+2cacosB

B.ccosA+acosC=b

Casin(5-6)+6sin(4+8)=csin6

Dtzcos(5-0}+bcos(A+0}=ccos0

三、填空題

12.已知集合{見上一2}(。>0/>0)中的三個實數，按一定順序排列后可以排成一個等差數

列和一個等比數列，則。+6=.

13.已知函數"x)=sin0x(oeR)在512］上是增函數，且/匕144)之，則

I12J的取值的集合為.

14.已知點o為扇形的弧上任意一點，且乙405=60。，若

℃=M(彳,〃eR),則2+〃的取值范圍是.

四、解答題

15.A/BC的內角的對邊分別為。，40,已知2a+6=2ccosB.

⑴求角0;

(2)若角0的平分線°交于點D,AD=3岳,DB=岳,求。的長.

16.如圖，在四棱錐P-428中，平面尸平面NBC。，PALPD,PA=PD,

ABVAD,AB=1,40=2,AC=CD=

p.

D..........

c

(I)求證：P。，平面^^;

(ID求直線班與平面尸。所成角的正弦值.

17.已知等比數列｛"/的各項均為正數，2%，為，4%成等差數列，且滿足%=4嫉，等差數

n

列數列也｝的前項和S”也+a=6,$4=10.

⑴求數列也｝和也｝的通項公式：

-%”5%,〃eN*,｛4｝Tn<\

⑵設％+1%,+3的前”項和北，求證：3.

c-X+J1

18.分別過橢圓，43的左、右焦點用才作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲

線分別交于點尸，°.

(1)當尸為C的上頂點時，求直線P。的斜率；

(2)求四邊形3鳥。的面積的最大值.

19.我們稱復數列5"為廣義等差的，若實數列｛%｝和｛"｝均為等差數列.

Z〃+1_Z〃

⑴若等比復數列｛耳｝(即z“z"T)是廣義等差的，證明：4=馬；

(2)已知e"=cosO+isinO,若復數列F",｝為廣義等差的，求夕的所有可能值；

(3)若復數列2"｝是廣義等差的，且Z*Z2,證明：對于任意實數C>2,復數列｛z』中至多

存在兩項，使得上7+|z“+l|=C.

參考答案:

題號12345678910

答案BCAACCDCBDBD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】解一元二次不等式求出集合力,然后由交集運算可得.

【詳解】解不等式Y-2X>0,得/=(-8,0)U(2,+”)，

所以/c8={-2,3}.

故選：B

2.C

【分析】由復數的除法運算計算可得z=-l+2i,再由模長公式即可得出結果.

2=z3±i=(-3+i)(l-i)=-2+4i=_1+2.

【詳解】依題意z(l+i)=-3+i可得1+i(1+i)。一。2,

所以卜=MT)%2。=石.

故選：C

3.A

【分析】根據投影向量的計算公式即可求解.

［詳解］?+1=(7，T)，，+B)B=15M="22+(T)2=4,

(a+b)b一

--—b=36=(6,-3)

所以向量N+b在向量b上的投影向量為1^1

故選：A

4.A

【分析】根據等差數列的性質，即可求解公差和首項，進而由求和公式求解.

%=616a7=%

【詳解】??,{“"}是等差數列,，%+%=2&=14,即％=7,所以7a6

...S7=7X(—3)+殍x2=21

d—ciq-=2,,.Q]—-5d-—3

故選：A

5.C

【分析】根據題意，計算出“尸，再根據向量的坐標運算法則計算出點P的坐標.

【詳解】因為后,1-2后)

所以小-2句，

71兀

將向量方順時針方向旋轉4,即逆時針旋轉4,

得至產心?*(-20)《"國?一1+(-2亞刖］高

化簡得"P=(T一3),

所以「點坐標為(T-2)；

故選：C.

6.C

【分析】由5加-25”=2"+1,采用構造數列的方法，S“+I+2(〃+1)+3=2(S“+2〃+3),則

可以確定數列｛$"+2〃+3｝為等比數列，然后進行求解即可.

【詳解】因為'+「2$“=2〃+1,

所以S,+I+2(〃+1)+3=2(5“+2〃+3),

所以數列｛S，+2〃+3｝是首項為6,公比為2的等比數列，

所以S,+2〃+3=6x2",

S]_S]367

即S.=3x2"—2〃一3,所以%S5-S446

故選：C.

7.D

【分析】利用兩角差的余弦定理和同角三角函數的基本關系建立等式求解，再由兩角和的

余弦公式求解即可.

cosa?cos/+sina-sin力=:

sincr-sin/7_

【詳解】由已知可得cosacos^

c1

cos6z-cosp=—,

?.c2

sma?sin//=—,

解得

,cos（a+=cosa-CQS/3-sina-sin/7=——

2,

“AIK

:.a+pG（0,7i）

,:.a+/3=y

故選：D.

8.C

【分析】作出正四棱臺及其內切球的軸截面，求出正四棱臺的上底面邊長，再求出外接球

半徑即可得解.

【詳解】正四棱臺/BCD-4用G2下底面邊長/8=4應，設其內接球半徑為『，則

4兀32

——r3=—71

33,解得r=2,

取“8,8,CQ的中點及尸，昂片，則四邊形瓦大耳內切圓是正四棱臺內接球的截面大

圓，

則四邊形附紇是等腰梯形，班小即+￡西而困也斯-劭心四

4?+砧八%斯-砧心（24整理得上耳g6,而…,則

EFi=272,

設°為正四棱臺43c2外接球球心，尺為該球半徑，則OC=OG=R,

令監(jiān)N分別為正四棱臺"BCD-44c■上下底面的中心，則MG=2,NC=4,MN=4,

2222

OM=$0C；-MC；=A/7?-4,ON=yJoC-NC=\IR-16,

—斤=竺

當球心O在線段MN時，「Rj+dR2一16=4,解得4,球。的表面積為

S=4-nR2=657r.

當球心。在線段"N的延長線時，J爐-4一正一16=4,無解，

所以所求外接球表面積是65兀.

【分析】可得過及三點的平面為一個正六邊形，判斷A；分別連接￡，戶和民9,截

面G8M是等腰梯形，判斷B；分別取的中點G，0,易證跖顯然不平行平面

QGMN,可判斷c；平面尸腦V,可判斷D.

【詳解】對于A：如圖經過瓦￡"三點的平面為一個正六邊形￡五〃”然，點尸在平面外,

；?￡，￡“，尸四點不共面，，選項A錯誤；

對于B：分別連接￡，尸和及G,則平面PE尸即平面G2環(huán)，截面尸是等腰梯形，

???選項B正確；

對于c：分別取'4CG的中點G,。，則平面加即為平面QGMV,

由正六邊形跳皿可知強IIE尸，所以MQ不平行于所，

又EF,MQu平面EFMHQK,所以好=少，所以斯H平面=

所以斯不平行于平面PW,故選項C錯誤；

對于D：因為A/EMQBMG是等腰三角形，.?.//ME=/BMG=45。,

ZEMG=90°,EM±MG,

是的中點，易證MN〃/D,由正方體可得NDJL平面A?用4,

MV_L平面,又平面EM±MN,

「MG,MVu平面PAW,屈0平面GAGV,

?.?ENu平面"E尸，平面AffiRL平面尸MV，故選項D正確.

故選：BD.

10.BD

【分析】代入即可驗證A,根據平移可得函數圖象，即可由正弦型函數的奇偶性求解B,

cos2xH---——

利用整體法即可判斷C,由I412求解所以根，即可求解D.

/[—7Tj=V2cos|—+2X-7I|=V2豐0

【詳解】對于A,由（8J（48）,故A錯誤；

3兀

對于B,/（X）的圖象向右平移三個單位長度后得：

y=x--=V2cosx--^+―=V2cosf2x+—=-V2sin2x

'ILV§J4JI2J，為奇函數，故B正

確;

57i7兀小5兀571c

XG,2xH----G,3兀

對于C,當L88」時，則4L2由余弦函數單調性知，/（X）在區(qū)間

5兀7兀

8'8」上單調遞減，故c錯誤;

cDTIVZjrTT

由"1cos2x+—=——x=—+kn—+kn,kGZ

對于D,，得l4J2,解得4或2

>="x）在區(qū)間（°""）上與〉=1有且只有6個交點,

7i7i5K3K9兀5兀

其橫坐標從小到大依次為：彳5彳'萬'彳'萬，

13K

而第7個交點的橫坐標為4,

5兀13兀

/.——<m<----

24,故D正確.

故選：BD

11.ABD

【分析】利用余弦定理可判斷A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判斷B；利用特殊值

可判斷c錯誤；設M,在萬=%+赤兩邊同乘向量石，根據數量積定義即可判斷

D.

【詳解】對A,由余弦定理知,b2+c2-a22bccosA,a2+c2-b2=2accosB

/+/-/=2abcosC,

上述三個等式相力口得/+/+c2=labcosC+2bccosA+2cacosB,A正確；

對B因為sinCeos/+sin/cosC=sin(/+C)=sinB

所以ccosN+acosC=6,B正確；

0=-

對C,當2時，式子左邊=-acosB+bcos力，右邊二c,

由豆110=5出(/+8)=玩11/??8+??45苗2得,=℃053+6854,

此時，只有當cos3=°時，等式才成立，由于角8的任意性，所以等式不一定恒成立，C

錯誤；

J,YI-..D...E..

對D,設則網=1,

則m,AC=兀一(4+6),而,CB=6),m,AB=TI-0

因為48=/C+CB,所以成?48=應?/。+而,

即同JCOS（7t-61）=|m|-I^c|cos（兀-（/+8））+\m\-|c5|cos（n-（S-6＞））

整理得ccose=6cos（/+。）+acos（8-夕），口正確.

故選：ABD

12.5

【分析】由已知可得一2是。與b的等比中項，求得仍=4,然后分a>6,a<6再結合等差

中項的概念列式求解。與b的值，即可求解.

【詳解】因為所以一2是。與6的等比中項，則g=4,

若a＞b,則6為。與一2的等差中項，可得26=°-2,解得"=4（。＞0）,人=1,

所以a+6=5；

若。＜6,則。為與一2的等差中項，可得2a=6-2,解得心場〉。），。

1,

所以4+6=5；

綜上所述：a+b-5

故答案為：5.

13.4

713兀2兀717兀

=2|to|=——=4n+2

【分析】由4可得T,由函數在2'12上是增函數可得

71

\a)\<12

然后對。的取值逐一驗證，然后可得12取值.

713兀7171

=2〃7+3GZ

【詳解】由44可知,2442,得2幾十1

H=y4幾+2

所以

7兀

又函數"x)=sins(@eR)在

,12上是增函數,

〉兀

T771-T"

所以212212,即6,所以b<12

所以，。的可能取值為±2，±6，±1°.

兀717i2kn兀2kji

-----F2^71WCOXW---F2左兀-----1----<X<----1----，左￡Z

當切〉o時，由22解得2coco2a)co

經檢驗，0=2,6,10時不滿足題意;

兀717i2kji7i2kn

-----F2^71WCOXW---F2后兀---1----<X<-----1----，左￡Z

當。＜0時，由22解得2coCD2G①

經檢驗，0=-2,-6時滿足題意.

7t.兀1

fsin—=I

所以，12的可能取值為2

故答案為:

【點睛】本題綜合考查了三角函數的單調性、最值、周期之間的關系，關鍵在于能從已知

中發(fā)現(xiàn)周期的所滿足的條件，然后根據周期確定。的可能取值，再通過驗證即可求解.

【分析】建系設點的坐標，再結合向量關系表示4+〃，最后應用三角恒等變換及三角函數

值域求范圍即可.

【詳解】方法一：設圓。的半徑為1,由已知可設為x軸的正半軸，。為坐標原點，過

。點作x軸垂線為y軸建立直角坐標系，

Or1

A不,7-,8（l,0）,C（cos6?,sin。）ZBOC=0,0e0,-

其中I力，其中13」

由OC=AOA+juOB（Z,//GR）

。,。)=)

(cossin4+4(1,0-2+//=cos^—2=sin0

即7,整理得22

°2sin。八sin0

/t=------j=-,[d—COSU--------r=^

解得J3V3

2sin/9sin3VJ.243.(兀)「兀

%+〃=-^-+cosc/----j=-=——sine/+cost/=------sin”+一0,—

則J3J333I3J3

八兀「兀2兀].(n71^百1

0+—E—.——.sin6+—G——,1

333I3)2

X+〃￡1,——

所以

方法二：設'+〃=",如圖，當C位于點A或點8時，48C三點共線，所以上=4+〃=1；

當點C運動到48的中點時,

⑵8=3

【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦定理整理得到Gc°sC+l）sinS=°,再利用三角

形的內角及正弦函數的性質即可求解；

（2）利用正弦定理得出6=3。，再由余弦定理求出。=4,6=12,再根據三角形的面積建

立等式求解.

【詳解】（1）由2a+6=2ccos8,

根據正弦定理可得2siM+sin5=2sinCcosB,

則2sin（8+C）+siaS=2sinCcos5

所以2sinScosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcos5,整理得（2cosC+l）siiiS=0,

因為SC均為三角形內角，所以瓦C?0,*,sinB#0,

cosC=--C=—

因此2,所以3.

（2）因為是角C的平分線，"。=3后,。8=后，

ADCDBD_CD

sin工-si/§出色一sinB

所以在A/CO和△BCD中，由正弦定理可得，33,

sinB_AD_

因止匕siMBD,gpsinB=3siiL4,所以6=3Q,

2222222

又由余弦定理可得c=a+b-2abcosC,即（4而）=a+9a+3a；

解得。=4,所以6=12.

a_,c,—absmZACB--b-CD-smZACD+-a-CD-sinzfBCD

又—。cACD+QBCD，即222

即48=16CD,所以CD=3.

V3

16.（I）見解析；（ID3.

【詳解】分析：（1）先證明/81PD,P/，尸。，再證明平面"20）利用向量方

法求直線與平面尸四所成角的正弦值.

詳解：（I）因為，平面P4D，平面/5C。，AB1AD,

所以平面P/。，所以481PZ）,

又因為PNLP。，所以尸。，平面尸22；

（II）取4。的中點°,連結尸0,CO,

因為Q4=P。，所以「。，/。.

又因為尸。u平面P4D,平面P4D,平面/BCD,

所以P。，平面/8C￡）.

因為COu平面4BC。，所以尸。，。。

因為“C=CD,所以C。，/。.

如圖建立空間直角坐標系。-kz,由題意得，

/（0,1,0）5（1,1,0）C（2,0,0）0（0,-1,0）P（0,0,1）

設平面PCD的法向量為五=（x/，z）,則

n-PD=0f—y—z=0

n-PC=0gp[2x—z=0

令z=2,則x=l,P=-2.

所以萬=（1,-2,2）,

又而?。所以”妙稿常

所以直線尸8與平面PC。所成角的正弦值為3.

點睛：（1）本題主要考查線面位置關系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考

查學生對這些知識的掌握水平和空間想象轉化能力.（2）直線和平面所成的角的求法方法一：

（幾何法）找一作（定義法）“證（定義）"指"求（解三角形），其關鍵是找到直線在，平

?司

sin6Z=——..1

面內的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）同，其中

次是直線/的方向向量，”是平面的法向量，。是直線和平面所成的角.

（2）證明見詳解

【分析】（1）根據等差數列，等比數列的基本量運算列式求解；

,2?+5（1YJ____1____________1_____-

⑵由⑴可得"伽+1）（2"+3）⑴[（2"+1）2伽+3>2"+[,利用裂項相

消法求和得證.

【詳解】（1）由題%>°,設數列｛4｝的公比為4（4>°）,｛%｝的公差為d,

J2aA=2a5+4a6a4=a4^q+2q~

由1%=4a；,即、4.4=4a；

\b2+b4=6J24+4d=6

▽[84=10ar,[4^+6d=10

F=i

解得3=1,

所以數列｛｝的通項公式為“”

4，數列｛勾｝的通項公式為a=".

〃2?+5(1Yc11

(2)由(1)得"(2"+1)(2〃+3)0［伽+1)2(2"+312叫，〃eN*,

1)(1

T“=2---------H----------F-------------------

n+1

9x16)(伽+112"(2?+3)-2>

所以

1111

6-(2n+3)-2"+1-§一伽+3).2"

,?-------------------->0,--------------------------<——

■(277+3)-2""3(2〃+312"3

T<-

所以3.

_V3

18.(1)4

(2)3

【分析】（1）結合圖形，易得尸（°，道），求得咫的斜率，由直線鑿與橢圓的方程聯(lián)立,

,即得直線尸。的斜率;

（2）結合圖形，由對稱性可知，四邊形網SQ是平行四邊形，四邊形尸￡石。的面積是

口「Rs。面積的一半，設直線戶尺的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，求出口力和

點B到直線/”-叩+1=°的距離d,得到四邊形尸片工。的面積函數式，利用換元和對勾

函數的單調性即可求得面積的最大值.

C?二+匕=1L廠

【詳解】⑴由43可知片（一1，°），尸2（1，0）,橢圓上頂點為（0,8）,即P（O,G）,

直線咫的斜率為右，則直線”的方程為：V=g（xT）,

?.x2/_8

將其代入43整理得，5X2-8X=0,解得，x=?；?,

底3A/3

V3--

色嗎P2-_84

因點。在x軸上方，故得點5'5,于是直線尸。的斜率為：5

(2)

如圖，設過點刊聲的兩條平行線分別交橢圓于點尸小和0，、

利用對稱性可知，四邊形PRS。是平行四邊形，且四邊形尸的面積是口PRS。面積的一

半.

顯然這兩條平行線的斜率不可能是o(否則不能構成構成四邊形)，可設直線網的方程為

I:x=my-1,

22

。?土+匕=1

代入,43，整理得：(3蘇+4)/-6叩-9=°,顯然A>°,

6m

3m2+j4

<9

設尸(網,必)，丑12,%),則-3加2+4,

_____________________r-------3I36加236

于是，立，|=&+〃?2,+%y-4必力+m|(3加2+4>+3/+4

+14412(m2+l)

=V1+m2

'4)23m2+4

d=.2

點8到直線八龍一叩+1=0的距離為J/+1

則四邊形助耳。的面積為223m+4J/+13m+4

⑵nt12

S=

3(r-1)+43/+13Z+1

令t=J而+1，則經1,且加2=?_],代入得,

y=3t—=3(/H—)「1、y=3fH—

因函數t3t在[1,+向上單調遞增，故，當f=l時，./取得最小值為

4,此時，由=3

19.(1)證明過程見解析

0、{6\3=2kn,keZ}

(3)證明過程見解析

【分析】（1）由題意只需證明4=4=°,結合z；=z/3以及復數運算即可得證；

（2）先由（1）中結論可得COS。=cos26,求出對應的。的可能值，再驗證是否滿足

Icos6=cos2。=…=cosn?=…

[sin8=sin2。=???=sin=?一艮口可.

（3）根據等差數列的幾何意義以及橢圓的定義、復數模的概念，以及直線與橢圓的位置關

系即可