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文檔簡介
專題12菱形的存在性問題
一、知識導(dǎo)航
作為一種特殊的平行四邊形,我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形:
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形;
(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;
(3)四邊都相等的四邊形是菱形.
坐標系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比,菱形多一個“對角線互相垂直”
或“鄰邊相等”,但這兩者其實是等價的,故若四邊形ABC。是菱形,則其4個點坐標需滿足:
xA+xc=xB+xD
《XA-XB)。+(1A-y?。=J(1c—無B,+(《c
考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用,故取兩鄰邊相等.
即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì),我們可以列出關(guān)于點坐標的3個等式,
故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量,與矩形相同.
因此就常規(guī)題型而言,菱形存在性至少有2個動點,多則有3個動點,可細分如下兩大類題型:
(1)2個定點+1個半動點+1個全動點
(2)1個定點+3個半動點
解決問題的方法也可有如下兩種:
思路1:先平四,再菱形
設(shè)點坐標,根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=2+ZT(AC、80為對角線),再結(jié)合一組鄰邊相等,得
到方程組.
思路2:先等腰,再菱形
在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點,必構(gòu)成等腰三角形,根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個點,
再確定第4個點.
1.看個例子:
如圖,在坐標系中,A點坐標(1,1),8點坐標為(5,4),點C在x軸上,點。在平面中,求。點坐標,使
得以A、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.
八y
B
A
思路1:先平四,再菱形
設(shè)C點坐標為(m,0),。點坐標為(p,q).
(1)當A5為對角線時,由題意得:(A3和CD互相平分及AO3C)
[39
一
rm=o
1+5=m+p
<l+4=0+q,解得:}P=-
o
2以=(機-『+)2
(m-I)+(0-5(0-4q=5
(2)當AC為對角線時,由題意得:(AC和BD互相平分及BA=BC)
1+m=5+pm=21m=8
<1+0=4+^,解得:<p=-2或<p=4
(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3
(3)當AD為對角線時,由題意得:
1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6
解得:,癡或,。=
<l+q=4+0,0=5+25-2#
y
0\/X
思路2:先等腰,再菱形
先求點C,點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形,用等腰存在性問題的方法先確定C,再
確定。點.
(1)當AB=AC時,
C點坐標為(1+2#,0),對應(yīng)。點坐標為(5+2幾,3);
C點坐標為(1-2底0),對應(yīng)。點坐標為(5-2瓜3).
(2)當8A=BC時,
C點坐標為(8,0),對應(yīng)。點坐標為(4,-3);
C點坐標為(2,0),對應(yīng)。點坐標為(-2,-3).
(3)AC=BC時,
C點坐標為。點坐標為11,5).
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以上只是兩種簡單的處理方法,對于一些較復(fù)雜的題目,還需具體問題具體分析,或許有更為簡便的方法.
二、典例精析
如圖,拋物線y=尤+c與無軸交于A、8兩點,與y軸交于C點,。4=2,OC=6,連接AC和BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點M是y軸上的動點,在坐標平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形?
若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【分析】
(1)拋物線:y=x2-x-6;
(2)先考慮M點位置,即由A、C、M三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形:
①當CA=CM時,
即CM=CA=2-JlO,M點坐標為(0,-6—2函)、(0,-6+2函),
對應(yīng)N點坐標為(-2,-2710)(-2,2A/10).
②當AC=AM時,
即A九f=AC=2jiU,M點坐標為(0,6),
對應(yīng)N點坐標為(2,0).
③當MA=MC時,
勾股定理可求得M點坐標為10,-gj,
對應(yīng)N點坐標為1-2,-g).
綜上,N點坐標為卜2,-29)、[2,29)、(2,0)、J-2,-y
如下圖依次從左到右.
三、中考真題演練
1.(2023?西藏?中考真題)在平面直角坐標系中,拋物線y=-x2+bx+c^x軸交于A(-3,0),B(l,0)兩點,
(3)如圖乙,點尸為拋物線對稱軸上一點,是否存在P、。兩點使以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?
若存在,求出尸、。兩點的坐標,若不存在,請說明理由.
2.(2023?遼寧錦州?中考真題)如圖,拋物線y=-氐2+/+C交x軸于點A(-l,0)和8,交y軸于點
。(0,36),頂點為O.
備用圖
⑴求拋物線的表達式;
(3)在(2)的條件下,若點歹是對稱軸上一點,點H是坐標平面內(nèi)一點,在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在
點G,使以E,F,G,H為頂點的四邊形是菱形,且N£FG=60。,如果存在,請直接寫出點G的坐標;
如果不存在,請說明理由.
3.(2023?四川雅安?中考真題)在平面直角坐標系中,已知拋物線y=/+6x+c過點A(0,2),對稱軸是直線
x=2,
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標;
(3)已知點E在拋物線的對稱軸上,點。的坐標為(1,-1),是否存在點R使以點A,D,E,F為頂點的四
邊形為菱形?若存在,請直接寫出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
4.(2023?湖南?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=aY+x+c經(jīng)過點A(-2,0)和點3(4,0),
且與直線=交于£>、E兩點(點。在點E的右側(cè)),點M為直線/上的一動點,設(shè)點"的橫坐標為
(1)求拋物線的解析式.
⑶拋物線與V軸交于點C,點R為平面直角坐標系上一點,若以昆C、M、R為頂點的四邊形是菱形,請
求出所有滿足條件的點R的坐標.
5.(2023?四川廣安?中考真題)如圖,二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象交x軸于點AB,交V軸于點C,點、B
的坐標為(L0),對稱軸是直線點尸是x軸上一動點,PMLx軸,交直線AC于點以,交拋物線于
(1)求這個二次函數(shù)的解析式.
⑶若點P在x軸上運動,則在V軸上是否存在點Q,使以〃、N、C、。為頂點的四邊形是菱形?若存在,
請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標;若不存在,請說明理由.
6.(2023?重慶?中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=*+班+2過點(1,3),且交x軸于點A(TO),
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