西藏林芝市第二高級中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一階段考試（期中）試題理

西藏林芝市第二高級中學(xué)20182019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一階段考試（期中）試題理考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題)一、單選題(每小題5分，共60分)1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42.設(shè)集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，則A∩B＝()A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}3．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)4.設(shè)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z2－eq\f(2,z)＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i5．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，則λ＝()A.3B.3C.6D.126．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b與a垂直，則m=（）A.7B.2C.7D.27.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)8．將3張不同的電影票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同的分法種數(shù)是()A．2160B．720C．240D．1209．把3本不同的數(shù)學(xué)書與3本不同的語文書放在書架同一層，則同類書不相鄰的放法種數(shù)為()A．36B．72C．108D．14410．函數(shù)y＝xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx11．eq\i\in(0,1,)exdx的值等于()A．eB．1－eC．e－1D.eq\f(1,2)(e－1)12．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A．無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)第II卷（非選擇題)二、填空題(每小題5分，共20分)13．若－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，且p，q∈R，則p＋q＝________．14．曲線y＝x2＋eq\f(1,x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為__________．15．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．16．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________處取得極小值．三、解答題(共70分)17.（12分）已知復(fù)數(shù)z＝，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，求|z|及z·eq\x\to(z)的值。18.（10分）如圖，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，求該閉合圖形的面積.19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)時(shí)，y＝f(x)有極值．(1)求a，b，c的值．(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．21．（12分）要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；22.(12分)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示：(1)求a，b的值并寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求c的取值范圍．林芝市二高20182019學(xué)年第二學(xué)期高二期中數(shù)學(xué)（理）試卷答案考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題)一、單選題(每小題5分，共60分)1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意可得：，中元素的個(gè)數(shù)為2，所以選B.【考點(diǎn)】集合運(yùn)算2.設(shè)集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，則A∩B＝()A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}解析：選C.因?yàn)锳＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．3．若復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4B．－eq\f(4,5)C．4D.eq\f(4,5)解析：選D.因?yàn)閨4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(5（3＋4i）,（3－4i）（3＋4i）)＝eq\f(3＋4i,5)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以z的虛部為eq\f(4,5).4.設(shè)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則z2－eq\f(2,z)＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i解析：選C.因?yàn)閦＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，eq\f(2,z)＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(2（1－i）,1－i2)＝eq\f(2（1－i）,2)＝1－i，則z2－eq\f(2,z)＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故選C.5．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，則λ＝()A.3B.3C.6D.12解析：選B.因?yàn)閍∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－36．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b與a垂直，則m=（）A.7B.2C.7D.2【答案】選C【解析】由題得，因?yàn)?，所以，解得【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，垂直向量7.已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－3，1) B．(－1，3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：選A.由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(m＋3，m－1)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0，,m－1＜0，))解得－3＜m＜1，故選A8．將3張不同的電影票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同的分法種數(shù)是()A．2160 B．720C．240 D．120解析：選B.分步來完成此事．第1張電影票有10種分法；第2張電影票有9種分法；第3張電影票有8種分法，共有10×9×8＝720種分法．9．把3本不同的數(shù)學(xué)書與3本不同的語文書放在書架同一層，則同類書不相鄰的放法種數(shù)為()A．36 B．72C．108 D．144解析：選B.3本數(shù)學(xué)書的放法有Aeq\o\al(3,3)種，將3本語文書插入使得語文數(shù)學(xué)均不相鄰的插法有2Aeq\o\al(3,3)種，故同類書不相鄰的放法有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝2×6×6＝72(種)，故選B.10．函數(shù)y＝xcosx－sinx的導(dǎo)數(shù)為()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx解析：選B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.11．eq\i\in(0,1,)exdx的值等于()A．eB．1－eC．e－1D.eq\f(1,2)(e－1)解析：選C.eq\i\in(0,1,)exdx＝ex|eq\o\al(1,0)＝e1－e0＝e－1.12．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A．無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)解析：選C.設(shè)f′(x)的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)從左至右依次為x1、x2、x3、x4.當(dāng)x<x1時(shí)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點(diǎn)，同理，x＝x3為極大值點(diǎn)，x＝x2，x＝x4為極小值點(diǎn)，故選C.第II卷（非選擇題)二、填空題(每小題5分，共20分)13．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，且p，q∈R，則p＋q＝________．解析：由題意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10－3p＋q＝0，,－24＋2p＝0.))所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.答案：3814．曲線y＝x2＋eq\f(1,x)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為__________．解析：因?yàn)閥＝x2＋eq\f(1,x)，所以y′＝2x－eq\f(1,x2)，所以y′|x＝1＝2－1＝1，所以所求切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝015．函數(shù)f(x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：因?yàn)閒(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得ex－1>0，即x>0.答案：(0，＋∞)16．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________處取得極小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表得x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以在x＝2處取得極小值．答案：2三、解答題(共70分)17.（12分）已知復(fù)數(shù)z＝，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，求z·eq\x\to(z)的值。解析：∵z＝＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，|z|=∴z·eq\x\to(z)＝|z|2＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).18.（10分）如圖，函數(shù)y＝－x2＋2x＋1與y＝1相交形成一個(gè)閉合圖形(圖中的陰影部分)，求該閉合圖形的面積.解析：.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2＋2x＋1，,y＝1，))得x1＝0，x2＝2.所以S＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x＋1－1)dx＝eq\i\in(0,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,3)＋x2))|eq\o\al(2,0)＝－eq\f(8,3)＋4＝eq\f(4,3).19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點(diǎn)x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝eq\f(2,3)時(shí)，y＝f(x)有極值．(1)求a，b，c的值．(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.當(dāng)x＝1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0，①當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)，y＝f(x)有極值，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為4，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的取值及變化情況如表所示：x－3(－3，－2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)＋＋0－0＋＋f(x)813eq\f(95,27)4所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為eq\f(95,27).20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．解：(1)可判定點(diǎn)(2，－6)在曲線y＝f(x)上．因?yàn)閒′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝13.所以切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因?yàn)榍芯€與直線y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，所以切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，所以x0＝±1.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18，))即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－14)或(－1，－18)，切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.21．（12分）要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有1名女生入選；(2)男生甲和女生乙入選；【解】(1)法一：至少有1名女生入選包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分類加法計(jì)數(shù)原理知總選法數(shù)為Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(5,5)＝771(種)．法二：“至少有1名女生入選”的反面是“全是男代表”，可用間接法求解．從12人中任選5人有Ceq\o\al(5,12)種選法，其中全是男代表的選法有Ceq\o\al(5,7)種．所以“至少有1名女生入選”的選法有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,7)＝771(種)．(2)男生甲和女生乙入選，即只要再