黑龍江省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024級(jí)高一學(xué)年上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：必修第一冊(cè)第一章至第四章4.3對(duì)數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．若，，則的值是（

）A．3 B． C．2 D．4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

5．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，則（

）A．4 B．2 C． D．0二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，則下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值為911．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．若，則有8個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．命題“”的否定是.13．已知函數(shù)（且）的圖像過(guò)定點(diǎn)，正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.14．已知函數(shù)，若時(shí)，方程的解分別為，，方程的解分別為，（），則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知集合或，.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入生產(chǎn)成本萬(wàn)元，且，當(dāng)生產(chǎn)5臺(tái)時(shí)需另投入生產(chǎn)成本75萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)70萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的這批機(jī)器能全部銷售完.(1)求的值；(2)求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器的年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式（利潤(rùn)銷售額成本）；(3)這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).19．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.(1)函數(shù)；；中，哪個(gè)函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”？并說(shuō)明理由；(2)已知函數(shù).①函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值.

答案1．D解析：依題意，，所以.故選：D2．A解析：由題知，解得，所以定義域?yàn)?故選：A.3．C解析：由，得，又，所以.故選：C4．B解析：由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為偶函數(shù)，排除C，D，令，得，排除A，故B正確.故選：B5．C解析：當(dāng)時(shí)，對(duì)有，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意均有，滿足條件；當(dāng)時(shí)，對(duì)有，不滿足條件.所以的取值范圍是.故選：C.6．B解析：若“，”為真命題，則，又函數(shù)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以時(shí)，，所以.故選：B7．A解析：由題知，解得.故選：A.8．D解析：解：因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，所以.又對(duì)任意，都有成立，令，得，即，所以，則，所以，則，故，所以.故選：D9．AB解析：因?yàn)?，所以，所以，A正確；因?yàn)?，所以，，所以，即，B正確；取，，此時(shí)，C錯(cuò)誤；取，，，此時(shí)，，，D錯(cuò)誤.故選：AB10．ACD解析：對(duì)于A，由題知，的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故A正確；對(duì)于B，C，D，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值2，易證當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，又函數(shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值為，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，最小值為9，故B錯(cuò)誤，C，D正確，故選：ACD.11．AC解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，即，所以，故A正確；當(dāng)x∈0,2時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向右平移再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍即可得函數(shù)在0,2，2,4，……上的圖象，同理將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向左平移再將縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍即可得函數(shù)在，……上的圖象，作出函數(shù)y=fx因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，，則，則，令，即，解得，，又因?yàn)閷?duì)任意的，都有，結(jié)合圖象可得，C正確；因?yàn)椋字?，上單調(diào)遞減，作出函數(shù)y=fx和y=g所以有有7個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．解析：因?yàn)槿Q命題的否定為特稱命題，故命題“”的否定為：“”.

故答案為：.13．12解析：函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)，所以，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：1214．解析：由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為.故答案為：15．(1)3(2)解析：（1）因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以解得.（2）由（1）知函數(shù)，為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，由，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．(1)或(2)解析：（1）當(dāng)時(shí)，或，所以或.（2）由“”是“”的充分不必要條件可得是的真子集，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以集合或，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以等?hào)不同時(shí)取得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，集合，滿足是的真子集；當(dāng)時(shí)，，所以集合或，因?yàn)槭钦孀蛹?，等?hào)不同時(shí)取得，解得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)解析：（1）證明：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)時(shí)，恒成立又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為18．(1)1(2)(3)年產(chǎn)量為22臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是500萬(wàn)元解析：（1）將，代入，得，解得.（2）由題意得，，.當(dāng)時(shí)，由（1）知，，則；當(dāng)時(shí)，.則，所以年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為：.（3）由（2）得當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，.又，故時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是500萬(wàn)元.綜上所述，年產(chǎn)量為22臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是500萬(wàn)元.19．(1)和是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，理由見(jiàn)解析(2)①；②解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故不是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（2）①有題知.因?yàn)?，所?令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以有；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，，所以有綜上所述，；②由題可知，函數(shù).因?yàn)?，所?令，則，.可