數(shù)值分析 課件ch6-線性方程組的迭代解法

線性方程組的迭代解法06ChapterCh6線性方程組的迭代解法

迭代法方法簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)需要選取合適的迭代公式及初值Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代超松弛迭代Ch6線性方程組的迭代解法基本思想:用某種極限過程逐步逼近方程組的精確解。迭代法基本思想迭代法的基本步驟

則迭代過程收斂.迭代矩陣形式迭代公式的收斂性和收斂速率誤差估計(jì)6.1Jacobi迭代法6.1Jacobi迭代法引例

解方程組

解1）等價(jià)形式

6.1Jacobi迭代法2）迭代公式

Jacobi迭代公式

6.1Jacobi迭代法迭計(jì)算結(jié)果如表012301.41.110.92900.51.201.05501.41.110.92945670.99061.011591.0002510.998240.96450.99531.0057951.0001260.99061.011591.0002510.99824

終止條件

6.1Jacobi迭代法n階方程組的Jacobi迭代法

等價(jià)方程組

終止條件

6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩陣描述

其中，6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩陣描述

雅可比迭代公式的矩陣形式

6.1Jacobi迭代法

雅可比迭代格式Jacobi迭代矩陣

Jacobi迭代矩陣對(duì)角線為06.2Gauss-Seidel迭代法6.2Gauss-Seidel迭代法引例

解方程組

解1）等價(jià)形式

6.2Gauss-Seidel迭代法2）迭代公式

Gauss-Seidel迭代公式

6.2Gauss-Seidel迭代法迭計(jì)算結(jié)果如表01201.41.0634

00.781.0204801.0260.98751

34

0.9951041.00123

0.9952751.00082

1.00190.99963

終止條件【注】高斯-賽德爾迭代法比雅可比迭代法收斂快。

6.2Gauss-Seidel迭代法n階方程組的Gauss-Seidel迭代法

等價(jià)方程組

終止條件6.2Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法的矩陣描述

G-S迭代公式的矩陣形式

6.2Gauss-Seidel迭代法

Jacobi發(fā)散，G-S發(fā)散.

Jacobi發(fā)散，而G-S10次達(dá)到精度0.001雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法可能同時(shí)發(fā)散；也可能同時(shí)收斂，但一個(gè)快另一個(gè)慢；可能一個(gè)收斂而另一個(gè)發(fā)散。

6.2Gauss-Seidel迭代法

G-S迭代格式G-S迭代矩陣

G-S迭代矩陣第一列為06.3迭代法的收斂性6.3迭代法的收斂性

等價(jià)形式為

迭代公式

迭代法收斂，否則發(fā)散

6.3迭代法的收斂性定義和定理

6.3迭代法的收斂性定義和定理

6.3迭代法的收斂性例6.3.1證明:Jacobi收斂，G-S發(fā)散。

證明1)

∴Jacobi收斂。2)

G-S發(fā)散6.3迭代法的收斂性特殊方程組的迭代法收斂性定義2（對(duì)角占優(yōu)矩陣）行占優(yōu)：弱對(duì)角占優(yōu)矩陣：

且至少有一個(gè)不等式是嚴(yán)格成立。

定義3可約矩陣：

6.3迭代法的收斂性特殊方程組的迭代法收斂性

例

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu),∴Jacobi和G-S收斂.6.4超松弛迭代法6.4超松弛迭代法基本思想SOR迭代法:G-S迭代法基礎(chǔ)上,用參數(shù)校正殘差加速.

6.4超松弛迭代法

6.4超松弛迭代法超松弛迭代法的矩陣描述

超松弛迭代公式的矩陣形式

6.4超松弛迭代法

用G-S迭代得

用SOR方法

6.4超松弛迭代法迭代計(jì)算結(jié)果

12345111.3431.195451.20347211.491.47531.402361.40287351.71.6161.650951.6019815