第五章-靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

建筑力學(xué)

第5章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析桿件結(jié)構(gòu)——由桿件組成的結(jié)構(gòu)。桿件——長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其橫截面的寬度和高度的構(gòu)件。桿件結(jié)構(gòu)幾何特點(diǎn)：橫截面是與桿件長(zhǎng)度方向垂直的截面，而軸線是各橫截面形心的連線。細(xì)而長(zhǎng)，即l>>h，l>>b。桿又可分為直桿和曲桿。受外力作用后，其幾何形狀和尺寸一般都要發(fā)生改變，這種改變稱為變形。作用在構(gòu)件上的荷載是各種各樣的，因此，桿件的變形形式就呈現(xiàn)出多樣性，并且有時(shí)比較復(fù)雜，但分解來(lái)看，變形的基本形式卻只有四種：1.軸向拉伸和壓縮

2.剪切

3.扭轉(zhuǎn)

4.彎曲

如果在直桿的兩端各受到一個(gè)外力F的作用，且二者的大小相等、方向相反、作用線與桿件的軸線重合，那么桿的變形主要是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短，這種變形稱為軸向拉伸或壓縮。1.軸向拉伸和壓縮

如果直桿上受到一對(duì)大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近的外力沿垂直于桿軸線方向作用時(shí)，桿件的橫截面沿外力的方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，這種變形稱為剪切。2.剪切

如果在直桿的兩端各受到一個(gè)外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與桿件的軸線垂直，那么桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)。3.扭轉(zhuǎn)

如果直桿在兩端各受到一個(gè)外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面都與包含桿軸的某一縱向平面重合，或者是受到在縱向平面內(nèi)作用的垂直于桿軸線的外力作用時(shí)，桿件的軸線就要變彎，這種變形稱為彎曲。4.彎曲純彎曲橫力彎曲斜彎曲（或稱雙向彎曲）壓縮與彎曲的組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合組合變形——同時(shí)發(fā)生兩種或兩種以上基本變形形式的組合。工程實(shí)際中常見(jiàn)的組合變形形式有：斜彎曲（或稱雙向彎曲）、拉（壓）與彎曲的組合、彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合等。

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，為保證結(jié)構(gòu)安全正常工作，要求各構(gòu)件必須具有足夠的強(qiáng)度和剛度。解決構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題，首先需要確定危險(xiǎn)截面的內(nèi)力,內(nèi)力計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。5—1軸向拉壓桿沿桿件軸線作用一對(duì)相反的外力，桿件將發(fā)生沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短，這種變形稱為軸向拉伸或壓縮。

產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮的桿件稱為軸向拉桿或壓桿。軸向拉壓的受力特點(diǎn)：外力的作用線與桿的軸線重合。軸向拉壓的變形特點(diǎn)：沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短。軸向壓縮，對(duì)應(yīng)的力稱為壓力。軸向拉伸，對(duì)應(yīng)的力稱為拉力。力學(xué)模型如圖如圖所示屋架中的弦桿、牽引橋的拉索和橋塔等均為拉壓桿。工程實(shí)例一軸向壓縮構(gòu)件工程實(shí)例二桁架結(jié)構(gòu)均為二力桿一、內(nèi)力的概念

指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成。（由外力作用而引起的物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力的改變量稱為內(nèi)力。）二、內(nèi)力的求法——截面法

內(nèi)力的計(jì)算是分析構(gòu)件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性等問(wèn)題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。

截面法的基本步驟：

①截開(kāi)：在所求內(nèi)力的截面處，假想地用截面將桿件一分為二。②代替：任取一部分作為研究對(duì)象，其棄去部分對(duì)留下部分的作用，用作用在截開(kāi)面上相應(yīng)的內(nèi)力（力或力偶）代替。③平衡：對(duì)留下的部分建立平衡方程，根據(jù)其上的已知外力來(lái)計(jì)算桿在截開(kāi)面上的未知內(nèi)力（此時(shí)截開(kāi)面上的內(nèi)力對(duì)所留部分而言是外力）。

這種假想地將構(gòu)件截開(kāi)成兩部分，從而顯示并解出內(nèi)力的方法稱為截面法。若以右段為研究對(duì)象，可得出相同的結(jié)果。我們將沿桿軸線方向的內(nèi)力合力稱為軸力。三、軸力與軸力圖例如：截面法求內(nèi)力。

AFF簡(jiǎn)圖AFFFAFN截開(kāi)：代替：平衡：軸力圖——FN(x)的圖象表示。如果直桿承受多于兩個(gè)的外力時(shí)，直桿的不同段上將有不同的軸力，應(yīng)分段使用截面法，計(jì)算各段的軸力。

為了形象地表示軸力沿桿件軸線的變化情況，可繪出軸力隨橫截面變化的圖線，這一圖線稱為軸力圖。以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示桿件橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)FN表示軸力的數(shù)值，將各截面的軸力按一定比例畫在坐標(biāo)圖上，并連以直線，就得到軸力圖。軸力的正負(fù)規(guī)定:通常規(guī)定：軸力使桿件受拉為正，受壓為負(fù)。當(dāng)軸力方向未知時(shí)，軸力一般按正向假設(shè)。FFFF作軸力圖時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、軸力圖的位置應(yīng)和桿件的位置相對(duì)應(yīng)。軸力的大小，按比例畫在坐標(biāo)上，并在圖上標(biāo)出代表點(diǎn)的數(shù)值。2、習(xí)慣上將正值（拉力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的正向；負(fù)值（壓力）的軸力圖畫在坐標(biāo)的負(fù)向?！纠?-1】拉桿或壓桿如圖5-5所示。試用截面法求各桿指定截面的軸力，并畫出各桿的軸力圖。

解：（1）分段計(jì)算軸力圖5-5桿件分為二段,用截面法取圖示研究對(duì)象畫受力圖如圖所示，并假設(shè)各截面的軸力為拉力。已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11補(bǔ)充例題：FN1F1解：1、計(jì)算各段的軸力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、繪制軸力圖。由軸力圖可以看出，數(shù)值最大的軸力在CD段，即，

軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置變化關(guān)系，較直觀；②確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)。工程實(shí)例5–2扭轉(zhuǎn)軸

如果在直桿的兩端各受到一個(gè)外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與桿件的軸線垂直，那么桿件的橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)。圖8-1圓軸扭轉(zhuǎn)的受力特點(diǎn)：作用了一對(duì)等值、反向、作用平面平行的外力偶矩。變形特點(diǎn)：縱向線傾斜了角度

，兩端橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度

，稱為扭轉(zhuǎn)角。

式中，外力偶矩Me（N

m）；傳遞功率p（kw）；轉(zhuǎn)速n(r/min)

一、外力偶矩的計(jì)算已知軸的轉(zhuǎn)速n和軸傳遞的功率p，則傳遞的外力偶矩為：

1kW=1000N·m/s=1.36PS（馬力）

Mx(F)=0:T-Me=0

T=Me

圖d為截面扭矩的正負(fù)規(guī)定。MeMeABMeTAmmT'MeBxT二、扭轉(zhuǎn)內(nèi)力—扭矩T以圖示圓軸扭轉(zhuǎn)的力學(xué)模型為例，用截面法，以m-m截面將軸截分為兩段。取其左段列力偶平衡方程可得

T為截面的內(nèi)力偶矩，稱為扭矩。同理，也可取右段求出截面扭矩。

Mx(F)=0:Me-T'=0

T'=Me從截面法求扭矩可以得出以下結(jié)論：兩外力偶矩作用截面之間各個(gè)截面的扭矩值相等。

正負(fù)號(hào)規(guī)定：以右手拇指順著截面外法線方向，與其他四指的轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩產(chǎn)生正值扭矩，反之產(chǎn)生負(fù)值扭矩。Me

三、扭矩圖

為了清楚地表示扭矩沿著軸線變化的規(guī)律，以便于確定危險(xiǎn)截面，常用與軸線平行的x坐標(biāo)表示橫截面的位置，以與之垂直的坐標(biāo)表示相應(yīng)的橫截面扭矩，把計(jì)算結(jié)果按照比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，負(fù)值扭矩畫在x軸下方，這種圖形稱為扭矩圖。圖5-11M2M1M3ABC解：1.求各段軸上的扭矩

M2T1A11M2M1T2AB22

BC段：用截面2-2截開(kāi)軸，取左段

2.畫出傳動(dòng)軸的扭矩圖9kN·m6kN·mxT[補(bǔ)充]

圖示傳動(dòng)軸，輸入外力矩M1=15kN·m，輸出的力偶矩為M2=6kN·m，M3=9kN·m。求各段橫截面的扭矩并畫出扭矩圖。

AB段：用截面1-1截開(kāi)軸，取左段

Mx(F)=0:T1+

M2=0

T1=-M2=-6kN·m

Mx(F)=0:T2+M2-M1

=0

T2=-M2+M1=-6+15=9kN·m結(jié)論：由此得出求截面扭矩的簡(jiǎn)便方法：圓軸任意截面的扭矩T(x)，等于截面一側(cè)(左段或右段)軸段上所有外力偶矩的代數(shù)和。

2.求各段扭矩1122解：1.計(jì)算外力偶矩

[補(bǔ)充]

圖示傳動(dòng)軸，A輪輸入功率PA=50kW，B、C輪輸出功率PB=30kW，PC=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min。1）畫軸的扭矩圖，并求Tmax。2）若將輪A置于B、C輪之間，哪種布置較合理？

MAMBMCABCa)xT-955N·m637N·mc)

4.將輪A置于B、C輪之間,畫扭矩圖(圖c)得|

Tmax|2=955N·m<|

Tmax|1

3.畫傳動(dòng)軸的扭矩圖(圖b)

1592N·m637N·mxTb)AB段：T1=MA=1592N·mBC段：T2=MA-MB=1592-955=637N·m

|

Tmax|1=1592N·m

可見(jiàn)，后一種布置較前種布置合理。由此得出：在輪系的各種布置中，最大扭矩最小的布置為輪系的合理布置。

從軸的左端畫起：5、扭矩圖的簡(jiǎn)便畫法

將輪A置于B、C輪之間,畫扭矩圖MAMBMCABCa)1592N·m637N·mxTb)

外力偶矩作用截面處,扭矩圖有突變，突變幅值等于外力偶矩大小，突變方向沿外力偶矩箭頭方向。

無(wú)外力偶矩作用的軸段上，扭矩保持常量。xT-955N·m637N·mMBMAMCBAC畫扭矩圖注意

1）可以按照任意一側(cè)扭矩平衡求出扭矩圖

2）有扭矩的地方，扭矩圖有突變。5—3靜定梁

以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡(jiǎn)稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。

當(dāng)梁上所有外力均作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí)，變形后的梁軸線也仍在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，這種在變形后梁的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為平面彎曲。工程上常見(jiàn)單跨靜定梁的類型：梁的約束反力能用靜力平衡條件完全確定的梁，稱為靜定梁。根據(jù)約束情況的不同，單跨靜定梁可分為以下三種常見(jiàn)形式：（1）簡(jiǎn)支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座。

(2)懸臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

(3)外伸梁。簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外。一、梁的內(nèi)力——剪力和彎矩梁在外力作用下，其任一橫截面上的內(nèi)力可用截面法來(lái)確定?，F(xiàn)分析距A端為x處橫截面m-m上的內(nèi)力。如果取左段為研究對(duì)象，則右段梁對(duì)左段梁的作用以截開(kāi)面上的內(nèi)力來(lái)代替。存在兩個(gè)內(nèi)力分量：內(nèi)力FQ是與橫截面相切的豎向分布內(nèi)力系的合力，稱為剪力，M是垂直于橫截面的合力偶矩，稱為彎矩。

剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：剪力FQ：微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，剪力為正，即剪力對(duì)所取研究對(duì)象內(nèi)部任一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)向的矩時(shí)為正，反之為負(fù)。彎矩M：當(dāng)微段的彎曲為向下凸，即該微段的下側(cè)受拉時(shí)，彎矩為正號(hào)，即梁段下部受拉、上部受壓為正彎矩，反之為負(fù)。

左上右下，剪力為正左順右逆，彎矩為正求內(nèi)力時(shí)，都假設(shè)產(chǎn)生正的剪力與彎矩。用截面法計(jì)算指定截面上的剪力和彎矩：外伸梁受荷載作用，圖中截面1-1和2-2都無(wú)限接近于截面A，截面3-3和4-4也都無(wú)限接近于截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求約束反力2.求截面1-1的內(nèi)力3.求截面2-2的內(nèi)力4.求截面3-3的內(nèi)力5.求截面4-4的內(nèi)力梁的內(nèi)力計(jì)算的兩個(gè)規(guī)律：

（1）梁任意截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有豎向外力（包括支座反力）在與截面平行方向投影的代數(shù)和。即：若外力使選取的研究對(duì)象繞所求截面形心產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)向的矩，則剪力為正，反之為負(fù)。即：所取梁段上與該剪力指向相反的外力在式中取正號(hào)，相同的取負(fù)號(hào)。（2）橫截面上的彎矩M，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁上所有外力（包括外力偶）對(duì)該截面形心的矩的代數(shù)和。即：若外力或外力偶矩使梁段下部受拉、上部受壓，則引起正彎矩，反之為負(fù)。即：所取研究對(duì)象上與M轉(zhuǎn)向相反的外力矩及外力偶矩在式中取正號(hào)，相同的取負(fù)號(hào)。例題：一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面E左和截面E右、截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。解：1.根據(jù)平衡條件求出約束反力2.求指定截面上的剪力和彎矩截面C：取左側(cè)為研究對(duì)象得：截面B左、B右：取右段為研究對(duì)象得：由此例看出：（1）在集中力作用處，截面左側(cè)和右側(cè)剪力值發(fā)生突變，其突變的絕對(duì)值等于集中力的大小，應(yīng)分左、右截面計(jì)算剪力；（2）在集中力偶作用處，截面左側(cè)和右側(cè)彎矩發(fā)生突變，其突變的絕對(duì)值等于集中力偶的大小，也應(yīng)分左、右截面計(jì)算彎矩。截面E左、E右：取左段為研究對(duì)象得：二、內(nèi)力方程及內(nèi)力圖1、剪力方程和彎矩方程在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，

梁的剪力方程：FQ=FQ(x)梁的彎矩方程：M=M(x)2、剪力圖和彎矩圖以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo)，以垂直于梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，分別繪制表示FQ(x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡(jiǎn)稱FQ圖和M圖。繪圖時(shí)一般把正剪力畫在x軸的上方，負(fù)剪力畫在x軸的下方，并標(biāo)注正負(fù)號(hào)；彎矩畫在梁受拉的一側(cè)，一般不標(biāo)注正負(fù)號(hào)。繪制梁的剪力圖和彎矩圖的步驟：（1）求支座反力。根據(jù)梁的支承情況和梁上作用的荷載，求支座反力。（對(duì)于懸臂梁，若選自由端一側(cè)為研究對(duì)象，可以不必求支座反力）（2）分段列出剪力方程和彎矩方程。在集中力、集中力偶作用處，以及分布荷載的起止點(diǎn)處內(nèi)力分布規(guī)律將發(fā)生變化，這些截面稱為控制截面

，應(yīng)將梁在控制截面處分段，以梁的左邊為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別列出每一段的內(nèi)力方程。（3）求出各控制截面的內(nèi)力值，描點(diǎn)繪圖。例題1：如圖示簡(jiǎn)支梁受均布荷載作用，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力，由對(duì)稱關(guān)系，

可得：2.列剪力方程和彎矩方程：3.作剪力圖和彎矩圖最大剪力發(fā)生在梁端，其值為：最大彎矩發(fā)生在跨中，其值為：例題2：如圖示簡(jiǎn)支梁受集中作用，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：3.作剪力圖和彎矩圖例題3:如圖示簡(jiǎn)支梁受集中力偶作用，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪力方程和彎矩方程AC段：CB段：3.繪出剪力圖和彎矩圖

由以上三例，可歸納出梁在常見(jiàn)荷載作用下，剪力圖和彎矩圖的

規(guī)律如下：（1）在無(wú)荷載梁段，剪力圖為水平直線，彎矩圖為斜直線。（2）在均布荷載作用的梁段，剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。（3）在集中力作用處，剪力圖發(fā)生突變，突變值等于集中力的大小，彎矩圖出現(xiàn)轉(zhuǎn)折（出現(xiàn)尖角）。（4）在集中力偶作用處，剪力圖無(wú)變化，彎矩圖有突變，突變值等于該力偶矩的大小。（5）剪力等于零處，彎矩存在極值。平行軸線斜直線FQ

=0區(qū)段M圖平行于軸線FQ圖

M圖備注二次拋物線凸向即q指向FQ

=0處，M達(dá)到極值發(fā)生突變P出現(xiàn)尖點(diǎn)集中力作用截面剪力無(wú)定義無(wú)荷載均布荷載集中力集中力偶無(wú)變化發(fā)生突變兩直線平行m集中力偶作用面彎矩?zé)o定義在自由端、鉸支座、鉸結(jié)點(diǎn)處，無(wú)集中力偶作用，截面彎矩等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。

一、剛架概述剛架是由直桿（梁和柱）組成的含有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。l剛架梁桁架內(nèi)力分布均勻，受力合理，可利用空間大，結(jié)構(gòu)整體性好。5—4靜定平面剛架常見(jiàn)靜定平面剛架的分類:簡(jiǎn)支剛架懸臂剛架單體剛架三鉸剛架組合剛架(主從結(jié)構(gòu))二、剛架的主要結(jié)構(gòu)特征1.變形特征：梁柱形成一個(gè)剛性整體，增大了結(jié)構(gòu)剛度，剛結(jié)點(diǎn)在剛架的變形中既產(chǎn)生角位移，又產(chǎn)生線位移，但各桿端不能產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，剛結(jié)點(diǎn)各桿端變形前后夾角保持不變。圖5-28A2.內(nèi)力特征：從內(nèi)力角度來(lái)看，剛架的桿件截面內(nèi)力通常有彎矩、剪力和軸力。由于剛結(jié)點(diǎn)具有約束桿端相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用，能夠承受和傳遞彎矩，可以削減結(jié)構(gòu)中彎矩的峰值，使彎矩分布較均勻，可以使材料的力學(xué)性能充分發(fā)揮，達(dá)到節(jié)省材料的目的。圖5-29三、靜定平面剛架的內(nèi)力分析1、

剛架指定截面內(nèi)力計(jì)算

與梁的指定截面內(nèi)力計(jì)算方法相同.例1:求圖示剛架1,2截面的彎矩解:連接兩個(gè)桿端的剛結(jié)點(diǎn),若結(jié)點(diǎn)上無(wú)外力偶作用,則兩個(gè)桿端的彎矩值相等,方向相反.2、剛架的內(nèi)力計(jì)算（截面法）①求支座反力和鉸接處的約束反力。②在剛結(jié)點(diǎn)處用垂直于桿軸的截面將剛架截開(kāi)，形成若干個(gè)桿件段。③求出各桿桿端內(nèi)力，在截開(kāi)的截面上，一般有彎矩、剪力、軸力三種內(nèi)力。④用控制截面法逐桿做內(nèi)力圖，連在一起便是整個(gè)剛架的內(nèi)力圖。結(jié)合剛架特點(diǎn)需注意的問(wèn)題：①要注意內(nèi)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定②要注意在結(jié)點(diǎn)處有不同的桿端截面。在結(jié)點(diǎn)處有不同的桿端截面：每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)連接若干個(gè)桿件，如圖所示。在節(jié)點(diǎn)B處有三個(gè)桿件BA、BC、BD相交。因此，在節(jié)點(diǎn)B處有三個(gè)不同截面

、

、

，如果籠統(tǒng)地說(shuō)截面B是無(wú)意義的，為了區(qū)分匯交于同一結(jié)點(diǎn)處的各桿桿端截面上的內(nèi)力，內(nèi)力符號(hào)引用了兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)表示內(nèi)力所屬截面的編號(hào)，第二個(gè)表示該截面所屬桿件的另一端的編號(hào)。例如，這三個(gè)截面、、的彎矩通常寫為、、,剪力和軸力也是同樣的寫法。校核：由于剛架結(jié)構(gòu)組成受力比較復(fù)雜，內(nèi)力比較復(fù)雜，作出內(nèi)力圖后應(yīng)該加以校核。對(duì)彎矩圖的校核，通常取剛節(jié)點(diǎn)為隔離體，驗(yàn)算是否滿足；對(duì)剪力圖、軸力圖的校核，則多沿柱頂作一橫截面，截取剛架某一層以上部分為隔離體，利用投影平衡方程進(jìn)行檢驗(yàn)。3.剛架彎矩圖的繪制做法:拆成單個(gè)桿,求出桿兩端的彎矩,按與單跨梁相同的方法畫彎矩圖.1.無(wú)荷載分布段(q=0),FQ圖為水平線,M圖為斜直線.2.均布荷載段(q=常數(shù)),FQ圖為斜直線,M圖為拋物線,

且凸向與荷載指向相同.3.集中力作用處,FQ圖有突變,且突變量等于集中力值;M圖有尖點(diǎn),且指向與荷載相同.4.集中力偶作用處,M圖有突變,且突變量等于集中力偶值;FQ圖無(wú)變化.練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖練習(xí):作圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖做法:

逐個(gè)桿作剪力圖,利用桿的平衡條件,由已知的桿端彎矩和桿上的荷載求桿端剪力，再由桿端剪力畫剪力圖.5.由做出的彎矩圖作剪力圖注意:

剪力圖畫在桿件任一側(cè)均可,必須注明符號(hào)和控制點(diǎn)豎標(biāo).例:作剪力圖MQ做法:

逐個(gè)桿作軸力圖,利用結(jié)點(diǎn)的平衡條件,由已知的桿端剪力和求桿端軸力,再由桿端軸力畫軸力圖.6.由做出的剪力圖作軸力圖注意:

軸力圖畫在桿件任一側(cè)均可,必須注明符號(hào)和控制點(diǎn)豎標(biāo).N由做出的剪力圖作軸力圖MQ5-5靜定平面桁架一、桁架的特征桁架是由直桿組成，全部由鉸結(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)而成的結(jié)構(gòu)。在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，桁架各桿的內(nèi)力只有軸力，截面上應(yīng)力分布是均勻的，充分發(fā)揮了材料的作用。桁架是大跨度結(jié)構(gòu)中應(yīng)用得非常廣泛的一種，如民用房屋和工業(yè)廠房中的屋架、托架，大跨度的鐵路和公路橋梁，起重設(shè)備中的塔架，以及建筑施工中的支架等。

為了便于計(jì)算，通常對(duì)工程實(shí)際中平面桁架的計(jì)算簡(jiǎn)圖作如下假設(shè)：

（1）桁架的結(jié)點(diǎn)都是光滑的理想鉸。（2）各桿的軸線都是直線，且在同一平面內(nèi)，并通過(guò)鉸的中心。（3）荷載和支座反力都作用于結(jié)點(diǎn)上，并位于桁架的平面內(nèi)。符合上述假設(shè)的桁架稱為理想桁架，理想桁架中各桿的內(nèi)力只有軸力。工程實(shí)際中的桁架與理想桁架有著較大的差別。但一般情況下按計(jì)算簡(jiǎn)圖計(jì)算的結(jié)果即可滿足工程使用要求。

ldh(a)鋼屋架(b)計(jì)算簡(jiǎn)圖

例如，在圖（a）和圖（b）中，各桿是通過(guò)焊接、鉚接而聯(lián)結(jié)在一起的，結(jié)點(diǎn)具有很大的剛性，不完全符合理想鉸的情況。此外，各桿的軸線不可能絕對(duì)平直，各桿的軸線也不可能完全交于一點(diǎn)，荷載也不可能絕對(duì)地作用于結(jié)點(diǎn)上。因此，實(shí)際桁架中的各桿不可能只承受軸力。通常把根據(jù)計(jì)算簡(jiǎn)圖求出的內(nèi)力稱為主內(nèi)力，把由于實(shí)際情況與理想情況不完全相符而產(chǎn)生的附加內(nèi)力稱為次內(nèi)力。理論分析和實(shí)測(cè)表明，在一般情況下次內(nèi)力可忽略不計(jì)。本書僅討論主內(nèi)力的計(jì)算。在圖(a)、(b)中，桁架上、下邊緣的桿件分別稱為上弦桿和下弦桿，上、下弦桿之間的桿件稱為腹桿，腹桿又分為豎腹桿和斜腹桿。弦桿相鄰兩結(jié)點(diǎn)之間的水平距離d稱為節(jié)間長(zhǎng)度，兩支座之間的水平距離l稱為跨度，桁架最高點(diǎn)至支座連線的垂直距離h稱為桁高。ldh

二、靜定平面桁架分類

按桁架的幾何組成規(guī)律可把平面靜定桁架分為以下三類：（1）簡(jiǎn)單桁架由基礎(chǔ)或一個(gè)鉸接三角形開(kāi)始，依次增加二元體而組成的桁架稱為簡(jiǎn)單桁架。III（2）聯(lián)合桁架

由幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架按照幾何不變體系的組成規(guī)則，聯(lián)合組成的桁架稱為聯(lián)合桁架。（3）復(fù)雜桁架凡不按上述兩種方式組成的桁架均稱為復(fù)雜桁架。平行弦桁架拋物線形桁架此外，桁架還可以按其外形分為平行弦桁架、拋物線形桁架、三角形桁架、梯形桁架等。三角形桁架

梯形桁架

三、桁架的組成桁架上、下邊緣的桿件分別稱上弦桿和下弦桿，上、下弦桿之間的桿件稱為腹桿，腹桿又分為豎腹桿和斜腹桿。弦桿相鄰兩結(jié)點(diǎn)之間的水平距離稱為節(jié)間長(zhǎng)度，兩支座之間的水平距離

稱為跨度，桁架最高點(diǎn)至支座連線的垂直距離稱為桁高。

四、靜定平面桁架的內(nèi)力計(jì)算

1.內(nèi)力計(jì)算的方法平面靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算的方法通常有結(jié)點(diǎn)法和截面法。

結(jié)點(diǎn)法是截取桁架的一個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體，利用該結(jié)點(diǎn)的靜力平衡方程來(lái)計(jì)算截?cái)鄺U的軸力。由于作用于桁架任一結(jié)點(diǎn)上的各力（包括荷載、支座反力和桿件的軸力）構(gòu)成了一個(gè)平面匯交力系，而該力系只能列出兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此所取結(jié)點(diǎn)的未知力數(shù)目不能超過(guò)兩個(gè)。結(jié)點(diǎn)法適用于簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算。一般先從未知力不超過(guò)兩個(gè)的結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，依次計(jì)算，就可以求出桁架中各桿的軸力。

截面法是用一截面(平面或曲面)截取桁架的某一部分(兩個(gè)結(jié)點(diǎn)以上)為隔離體，利用該部分的靜力平衡方程來(lái)計(jì)算截?cái)鄺U的軸力。由于隔離體所受的力通常構(gòu)成平面一般力系，而一個(gè)平面一般力系只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此用截面法截?cái)嗟臈U件數(shù)目一般不應(yīng)超過(guò)三根。截面法適用于求桁架中某些指定桿件的軸力。另外，聯(lián)合桁架必須先用截面法求出聯(lián)系桿的軸力，然后與簡(jiǎn)單桁架一樣用結(jié)點(diǎn)法求各桿的軸力。一般地，在桁架的內(nèi)力計(jì)算中，往往是結(jié)點(diǎn)法和截面法聯(lián)合加以應(yīng)用。

在桁架的內(nèi)力計(jì)算中，一般先假定各桿的軸力為拉力，若計(jì)算的結(jié)果為負(fù)值，則該桿的軸力為壓力。此外，為避免求解聯(lián)立方程，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x取矩心和投影軸，盡可能使一個(gè)平衡方程中只包含一個(gè)未知力。

①結(jié)點(diǎn)單桿

在同一結(jié)點(diǎn)的所有內(nèi)力未知的桿件中，除一根桿件外，其余桿件都在一條直線上，此根不共線的桿件稱為該結(jié)點(diǎn)的單桿。結(jié)點(diǎn)包含兩個(gè)未知力桿結(jié)點(diǎn)包含三個(gè)未知力桿性質(zhì)：1）結(jié)點(diǎn)單桿的內(nèi)力，可由該結(jié)點(diǎn)的平衡條件直接求出。2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)無(wú)荷載作用時(shí)，單桿的內(nèi)力必為零?；蛘哒f(shuō)，無(wú)載結(jié)點(diǎn)的單桿必為零桿。桁架中軸力為零的桿件，稱為零桿。在計(jì)算內(nèi)力之前，如果能把零桿找出，將會(huì)使計(jì)算得到簡(jiǎn)化。通常在下列幾種情況中會(huì)出現(xiàn)零桿：(1)不共線的兩桿組成的結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用時(shí)，該兩桿均為零桿。

(2)不共線的兩桿組成的結(jié)點(diǎn)上有荷載作用時(shí)，若荷載與其中一桿共線，則另一桿必為零桿。(3)三桿組成的結(jié)點(diǎn)上無(wú)荷載作用時(shí)，若其中有兩桿共線，則另一桿必為零桿，且共線的兩桿內(nèi)力相等。

比例關(guān)系的應(yīng)用在列平衡方程時(shí)，經(jīng)常要將桁架中斜桿的軸力FN分解成水平分力FNx和豎向分力FNy。FN、FNx、FNy構(gòu)成一個(gè)三角形，桿件AB的長(zhǎng)度l及其在水平方向的投影長(zhǎng)度lx和豎直方向的投影長(zhǎng)度ly也構(gòu)成了一個(gè)三角形。由于兩個(gè)三角形相似，因而存在如下的比例關(guān)系：應(yīng)用上述比例關(guān)系，可以避免計(jì)算斜桿的傾角θ及其三角函數(shù)，以減少工作量。

【例1】求圖（a）所示桁架各桿的內(nèi)力。【解】1)求支座反力。

由整體的平衡方程，可得支座反力為

FAx=0FAy=40kNFB=40kNFAyFAxFB

2)求各桿的內(nèi)力。在計(jì)算之前先找出零桿。由對(duì)結(jié)點(diǎn)C、G的分析，可知桿CD、GH為零桿。此桁架為對(duì)稱桁架，只要計(jì)算其中一半桿件的內(nèi)力即可，現(xiàn)計(jì)算左半部分。取結(jié)點(diǎn)A為隔離體［圖(b)］，由∑Fy=0得

FNADy=10kN－40kN=－30kNFNADyFNADFNADxFNAC利用比例關(guān)系，得由∑Fx=0得

FNAC=－FNADx=60kNFNADyFNADFNADxFNAC取結(jié)點(diǎn)C為隔離體［圖(c)］，由∑Fx=0得

FNCF

=

FNAC=60kNFNCFFNAC=60kNFNCD=0取結(jié)點(diǎn)D為隔離體［圖(d)］，列出平衡方程FNADx=-60kNFNADy=-30kNFNDEyFNADFNDEFNDExFNDFFNDFxFNDFy∑Fx=0FNDEx+FNDFx+60kN=0∑Fy=0FNDEy－FNDFy+30kN－20kN=0

利用比例關(guān)系，得FNDEx=2FNDEyFNDFx=2FNDFy

代入平衡方程，得2FNDEy+2FNDFy+60kN=0FNDEy－FNDFy+10kN=0

解得

FNDEx=－40kN，F(xiàn)NDEy=－20kN，F(xiàn)NDE=－44.7kNFNDFx=－20kN，F(xiàn)NDFy=－10kN，F(xiàn)NDF=－22.3kNFNADx=-60kNFNADy=-30kNFNDEyFNADFNDFyFNDExFNDFx取結(jié)點(diǎn)E為隔離體［圖(e)］，由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性有

FNEHy=FNDEy=－20kN由∑Fy=0得

FNEF=2×20kN－20kN=20kN

FNDEy=-20kNFNDEy=-40kNFNEHy=-20kNFNEHxFNEHFNDEFNEF內(nèi)力計(jì)算完成后，將各桿的軸力標(biāo)在圖上，圖中軸力的單位為kN。606060600-6720-44.7-44.7-67-22.3-22.30②截面單桿

在截面所截的全部未知力桿件中，只有一根桿不與其余的各桿共同匯交于一點(diǎn)（或平行），這根桿件稱為該截面的單桿。

截面單桿有兩種情況：1）圖(a)，只有三根桿被截面切斷，這三根桿既不交于同一點(diǎn)，也不相互平行，這三根桿都是截面單桿。

2）圖(b)，至少4根桿件被截?cái)?，除了一根桿件外，其余的所有桿件都交于一點(diǎn)（或平行），則這根桿被稱為截面單桿。（a）

（b）

abcabcdabcd

【例2】求圖（a）所示桁架中桿a、b、c、d

的內(nèi)力。2m2m【解】1)求支座反力。

由整體平衡方程，可得支座反力為

FAx=0，F(xiàn)Ay=50kN，F(xiàn)B=30kN2m2mFAyFAxFB2m2mII用截面Ⅰ－Ⅰ截取桁架的左半部分為隔離體，列平衡方程FNaFNbFNbxFNbyFNc2)求桿a、b、c

的內(nèi)力?！芃D=0FNc×4－20×3－50×3=0得

FNc=52.5kN∑MF=0－FNa×4+20×3+20×6－50×9=0得FNa=－67.5kN3m3m2m2m

∑Fx=0FNa+FNbx+FNc=0得FNbx=－FNa－FNc=15kN利用比例關(guān)系，得3m3m2m2m

聯(lián)合應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法和截面法計(jì)算桿d的內(nèi)力較為方便。先取結(jié)點(diǎn)E為隔離體，由平衡方程∑FX=0，得FNCE=FNc=52.5kN2m2mFNcFNCE

再用截面Ⅱ－Ⅱ截取桁架的左半部分為隔離體，列平衡方程2m2mIIIIFNdyFNdFNCE=52.5kNFNdx利用比例關(guān)系，得∑MD=0

FNdx×4+52.5×4－50×3=0得FNdx=－15kNFNdyFNdFNCE=52.5kNFNdx3m4m五、幾種桁架受力性能