專題07 等差數(shù)列與等比數(shù)列（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 13個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單07等差數(shù)列與等比數(shù)列（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】等差數(shù)列的有關(guān)概念一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．【清單02】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【清單03】等差數(shù)列的四種判斷方法和兩種證明方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．（可以看做關(guān)于的一次函數(shù)）(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(可以看做關(guān)于的二次函數(shù)，但是不含常數(shù)項(xiàng)）提醒;證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只能用定義法或等差中項(xiàng)法【清單04】等差數(shù)列的性質(zhì)①②若，則（特別的，當(dāng)，有）【清單05】等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式【清單06】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，【清單07】等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號(hào)語(yǔ)言（或者）(為常數(shù)，，)【清單08】等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：（或者）（可判斷，可證明）2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證（特別注意）（可判斷，可證明）3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）【清單09】等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．（1）(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.【清單10】等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和【清單11】等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),(3)【考點(diǎn)題型一】判斷數(shù)列是否為等差（等比）數(shù)列核心方法：定義法【例1】（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，以下命題正確的個(gè)數(shù)有（

）①若，則為等比數(shù)列；②若，則為等比數(shù)列；③若，則為等比數(shù)列.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和判定方法逐一判斷各選項(xiàng).【詳解】由若，得，，，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比不一定為常數(shù)，故①錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，滿足，但數(shù)列不是等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤.，則，，所以，則數(shù)列為2為公比的等比數(shù)列，故③正確.故選：B.【變式1-1】（多選）（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、由定義判定等比數(shù)列【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后利用等比數(shù)列和等差數(shù)列概念逐項(xiàng)判斷，即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：，所以，是等比數(shù)列，故B正確；C：，是等差數(shù)列，故C正確；D：，是等差數(shù)列，故D正確.故選：BCD.【變式1-2】（多選）（2024·江西九江·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列【答案】ABD【知識(shí)點(diǎn)】由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、由定義判定等比數(shù)列、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的定義和等差數(shù)列的定義及判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，對(duì)于A中，由，且，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以A正確；對(duì)于B中，由，且，所以數(shù)列是以，公比為的等比數(shù)列，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，即時(shí)，，又由，，所以的奇數(shù)項(xiàng)均為0，偶數(shù)項(xiàng)均為．所以的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，即，所以是每項(xiàng)均為的常數(shù)列，也是等差數(shù)列，所以D正確．故選：ABD.【考點(diǎn)題型二】證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列核心方法：定義法【例2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若在數(shù)列中，，且，則判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由.【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析(2)是，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、判斷等差數(shù)列【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論可求得，可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，得，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，成立.綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）因?yàn)?，且，所以，?dāng)時(shí)，，故數(shù)列為等差數(shù)列.【變式2-1】（23-24高二下·北京懷柔·期中）在數(shù)列中，已知，且(1)求，的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)存在，【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)、判斷等差數(shù)列【分析】（1）根據(jù)條件，利用遞推關(guān)系，令和，即可求出結(jié)果；（2）先假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)條件得到為常數(shù)，從而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以?（2）假設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，?dāng)，得到為常數(shù)，故存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，.【變式2-2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若數(shù)列滿足，且．證明：數(shù)列為等比數(shù)列．【答案】證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】根據(jù)已知的遞推關(guān)系式應(yīng)用等比數(shù)列定義證明等比數(shù)列即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，又，所以?shù)列為等比數(shù)列．【考點(diǎn)題型三】等差（等比）數(shù)列的單調(diào)性核心方法：作差法【例3】（24-25高二上·北京）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的單調(diào)性、探求命題為真的充要條件【分析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.【變式3-1】（24-25高二上·上?！て谥校?shù)列是等比數(shù)列，公比為，“”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】既不充分也不必要條件、等比數(shù)列的單調(diào)性【分析】根據(jù)“”與“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的互相推出關(guān)系判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，取，則，顯然不是嚴(yán)格增數(shù)列，所以“”不能推出“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”；當(dāng)數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列，不符合要求，所以，若，則，若，則，所以“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”不能推出“”；綜上所述，“”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的既非充分也非必要條件，故選：D.【變式3-2】（24-25高二上·陜西西安）數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、等比數(shù)列的單調(diào)性【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.【詳解】由已知，解得或，，此時(shí)數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B.【變式3-3】（24-25高三上·上海·開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)表示的前項(xiàng)和，若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則的公差取值范圍是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的單調(diào)性、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】由與的關(guān)系再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算即可；【詳解】若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則恒成立，即恒成立，又，所以，所以的公差取值范圍是，故答案為：.【考點(diǎn)題型四】求等差（等比）數(shù)列中的最大項(xiàng)核心方法：【例4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的最大項(xiàng)為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)或【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)、由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列【分析】（1）由，兩式相減可得，該式可化為，即可證明并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，后，可作差比較大小，或者作商，進(jìn)一步分析即可.【詳解】（1）因?yàn)椋偎?，②②①，得，即，所以，又，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列．所以，所以．（2）由（1）知，，所以，．解法一

，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．所以，且，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，故的值為或．解法二

，令，解得；令，解得；令，解得．因?yàn)?，所以，且，所以?shù)列的最大項(xiàng)為，故的值為或．【變式4-1】（24-25高二上·江蘇無(wú)錫）數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，設(shè)為的前項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值等于（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【解析】由，得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系以及公差的范圍，然后求得通項(xiàng)公式，判斷的正負(fù)，再利用通項(xiàng)與前n項(xiàng)和關(guān)系求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋?，故中最大，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題，還考查邏輯推理的能力，屬于中檔題.【變式4-2】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的最小值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)【分析】先求得數(shù)列的公差，進(jìn)而求得其通項(xiàng)公式，從而求得，利用二次函數(shù)的知識(shí)求得最小值.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，故，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或4時(shí)，取得最小值．故答案為：【變式4-3】（24-25高二·全國(guó)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出為何值時(shí)，取得最小值，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)，理由見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求等比數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)、由定義判定等比數(shù)列【分析】(1)由前項(xiàng)和為與通項(xiàng)的關(guān)系，得出的遞推公式，即可證明結(jié)論；(2)由(1)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出；(3)由(2)求出，通過(guò)研究的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，整理得，，是以-15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由(1)知，是以-15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，得，所以，（3）由(2)得，，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，；故時(shí)，取得最小值，即為最小值.【考點(diǎn)題型五】等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)核心方法：若，則（特別的，當(dāng)，有）【例5】（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）若數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最小值為【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及基本不等式求解.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【變式5-1】（2024·四川瀘州·一模）為等差數(shù)列，若，，那么取得最小正值時(shí)，的值（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求參數(shù)【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而得，由，結(jié)合條件得到，即可求解．【詳解】因?yàn)?，，所以，故等差?shù)列的公差，又，又，，得到，，所以取得最小正值時(shí)，的值為，故選：C.【變式5-2】（24-25高二上·福建龍巖·期中）公差不為0的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，?故選：.【考點(diǎn)題型六】等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)核心方法：若，則（特別的，當(dāng)，有）【例6】（24-25高三上·安徽黃山·期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C．11 D．10【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】等比數(shù)列中若，，則.我們先根據(jù)此條性質(zhì)和已知條件求出的值,最后運(yùn)用對(duì)數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】在等比數(shù)列中，，得.根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，.所以，.故選：C.【變式6-1】（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知等比數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．48 B．32 C．24 D．8【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，，然后利用基本不等式即可得到結(jié)論．【詳解】由，得，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B.【變式6-2】（24-25高二上·甘肅·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，則.【答案】0【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求得，然后由等差數(shù)列前項(xiàng)公式計(jì)算．【詳解】因?yàn)楣?，且成等比?shù)列，所以，即，解得，所以．故答案為：0【考點(diǎn)題型七】等差（等比）數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算核心方法：前項(xiàng)和公式【例7】（24-25高二上·甘肅張掖·階段練習(xí)）解決下列問(wèn)題：(1)已知等差數(shù)列中，，，求及通項(xiàng)公式；(2)已知等比數(shù)列中，，，求及通項(xiàng)公式.【答案】(1)；；(2)；或.【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)，求和公式結(jié)合題意可得答案；（2）由等比數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，首項(xiàng)為，則，則；；（2）設(shè)等比數(shù)列公比為，首項(xiàng)為，顯然.則,則.得.因，則或.若，則；若，則.綜上，或.【變式7-1】（24-25高二·全國(guó)·課堂例題）已知數(shù)列是等差數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【答案】(1)2700(2)(3)．【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】（1）可以直接利用公式求和；（2）可以先利用和的值求出d，再利用公式求和；（3）已知公式中的，d和，解方程即可求得n．【詳解】（1）因?yàn)?，，根?jù)公式，可得．（2）因?yàn)椋?，所以．根?jù)公式，可得．（3）把，，代入，得．整理，得．解得，或（舍去）．所以．【變式7-2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，（1）若，，，求和；（2）若，，求和；（3）若，，求和公比.【答案】（1），；（2），；（3）或.【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】（1）由已知條件利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，列出方程組，由此能求出首項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)．（2）由已知條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出和．（3）對(duì)和分兩種情況討論，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）等比數(shù)列中，，，，，解得，．（2）等比數(shù)列中，，，，解得，，．（3）當(dāng)時(shí)，，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，，即∴，(舍去)，∴，所以；綜上所述：或【考點(diǎn)題型八】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（片段和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列【例8】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等差數(shù)列中成等差數(shù)列求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，，，所以，故構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，所以，即.故選：C【變式8-1】（23-24高三上·河北·期末）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和性質(zhì)及已知，設(shè)，求得，即可得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：是等差數(shù)列.由，可設(shè)，則，于是依次為，所以，所以.故選：B【變式8-2】（23-24高二上·天津·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則.【答案】39【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】由題意成等差數(shù)列，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，所以，而成等差數(shù)列，所以.故答案為：39.【考點(diǎn)題型九】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（兩個(gè)等差數(shù)列的比值）核心方法：已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，則.【例9】（24-25高二上·甘肅甘南·期中）等差數(shù)列，bn的前項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，由，得，.故選：C【變式9-1】（23-24高二下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，由，即可求解結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，為等差?shù)列，且，所以可設(shè)，，則，，.故選：D.【變式9-2】（23-24高二下·安徽安慶·期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，逐步化簡(jiǎn)，即可得到本題答案．【詳解】由題意知，，，，∴.故答案為：．【考點(diǎn)題型十】等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（片段和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等比數(shù)列的公比為，數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列【例10】（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得出也成等比數(shù)列，從而求得，然后求得公比后，再求得即得．【詳解】設(shè)的公比是，，同理，由已知，否則公比，，與已知矛盾，所以也成等比數(shù)列，，又，，所以，解得或，又，所以與同號(hào)，因此，所以，，，若，則，，即，若，則，，即．故答案為：或．【變式10-1】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．550 B．520 C．450 D．425【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得答案.【詳解】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，∴解得，，故，∴，故選：D．【變式10-2】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．48 B．81 C．93 D．243【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和先確定公比，再計(jì)算得，從而計(jì)算得的值，即可得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，若，則，得，則，故，則，所以，所以，所以.故選：C.【考點(diǎn)題型十一】等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（奇偶項(xiàng)和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)是偶數(shù)時(shí),;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),【例11】（2024高二·全國(guó)已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，則，所以，，因?yàn)?，可得，因此?故選：C.【變式11-1】（24-25高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,利用等比數(shù)列的求和公式表示出奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和，兩式相除即可求解.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,由題意易知，設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為,偶數(shù)項(xiàng)之和為，易知奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，，所以,即.所以這個(gè)數(shù)列的公比為2.故選:D.【變式11-2】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為則，，則可求出,值，從而得出答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為則，又，則，解得，故數(shù)列的所有項(xiàng)之和是.故選：D【考點(diǎn)題型十二】已知與（）的關(guān)系，求核心方法：【例12】（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見(jiàn)解析，，【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、確定數(shù)列中的最大（小）項(xiàng)【分析】（1）利用的關(guān)系，作差即可得，利用等差數(shù)列的定義即可求解，【詳解】（1）由可得，相減可得，因此，由于為正項(xiàng)數(shù)列，所以，因此，故，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為2，又，所以，故【變式12-1】（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【答案】(1);【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）利用與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及已知條件，求解即可；【詳解】（1）由知，當(dāng)時(shí)，，，，又，所以；當(dāng)時(shí)，，整理得：，因?yàn)?，所以有，所以?shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【考點(diǎn)題型十三】數(shù)列中新文化題【例13】（23-24高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：已知正整數(shù)滿足五五數(shù)之剩三，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．23 B． C． D．33【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】先求出，得，則，利用基本不等式求解，要注意等號(hào)成立時(shí)條件．【詳解】由題意，可知所有正整數(shù)為3，8，13，18，…即數(shù)列為5的非負(fù)整數(shù)倍加3，故，數(shù)列是以3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值且最小值為.故選：B.【變式13-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法.已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)提示探求：若，則（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比數(shù)列性質(zhì)即可類比得出.【詳解】根據(jù)可得，所以；由等比數(shù)列性質(zhì)可得，因此可得.故選：C【變式13-2】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1，3，7，13，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為．【答案】211【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列新定義、累加法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意，累加法求出的通項(xiàng)公式，求出.【詳解】設(shè)數(shù)列為,根據(jù)題意，則累加可得,所以，故.故答案為：.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·江蘇·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列中，由，得，解得，所以.故選：B2．（24-25高三上·江西·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．4 B． C．1 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和及相關(guān)性質(zhì)求得，進(jìn)而得到公差，即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，易知的公差，故，所以.故選：D3．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)由可得，即可求出數(shù)列前6項(xiàng)均為負(fù)值，可得結(jié)論.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即可得；又，所以；因此可得數(shù)列的公差，且前6項(xiàng)均為負(fù)值，所以的最小值為前6項(xiàng)和，即為.故選：B4．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】設(shè)出公比，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)公比為，則，故，其中，，則故選：D5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件、判斷數(shù)列的增減性、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】由于，則即為，解得或，不能推出數(shù)列單調(diào)遞增；若數(shù)列單調(diào)遞增，則，從而，故是數(shù)列單調(diào)遞增的必要不充分條件.故選：B．6．（24-25高二上·山東青島·期中）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則使成立的的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)條件：，解得.所以.由.所以使成立的的最小值為9.故選：A7．（湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求基本量，然后求出，再結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以.故選：.8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．若為等差數(shù)列，且，，則，B．若為等差數(shù)列，且，，則，C．若為等比數(shù)列，且，則D．若為等比數(shù)列，且，則【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】利用等差數(shù)列求和公式和下標(biāo)和性質(zhì)依次判斷AB選項(xiàng)可得AB正誤；根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合反例可知C錯(cuò)誤；討論等比數(shù)列公比的范圍，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可知D正確.【詳解】對(duì)于A，，，，，無(wú)法判斷符號(hào)，符號(hào)未知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，，，，公差，，，又，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，當(dāng)時(shí)，；若，則，，；若，則，，；若，則，，；綜上所述：，D正確.故選：D9．（24-25高三上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．