2025屆黑龍江省大慶中學(xué)高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆黑龍江省大慶中學(xué)高考考前模擬數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.2.要得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像,只需將的圖像()A.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍B.向右平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍C.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的倍D.向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍3.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立4.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件5.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.9.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個(gè)單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()A. B. C. D.10.已知集合,則=A. B. C. D.11.已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在上是增函數(shù)的是().A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知若存在,使得成立的最大正整數(shù)為6,則的取值范圍為________.14.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)開_____.15.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.16.在長方體中,,,,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了拓展城市的旅游業(yè),實(shí)現(xiàn)不同市區(qū)間的物資交流,政府決定在市與市之間建一條直達(dá)公路,中間設(shè)有至少8個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,記為,現(xiàn)規(guī)劃在每個(gè)路口處種植一顆楊樹或者木棉樹,且種植每種樹木的概率均為.(1)現(xiàn)征求兩市居民的種植意見,看看哪一種植物更受歡迎,得到的數(shù)據(jù)如下所示:A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性;(2)若從所有的路口中隨機(jī)抽取4個(gè)路口,恰有個(gè)路口種植楊樹,求的分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)在所有的路口種植完成后,選取3個(gè)種植同一種樹的路口,記總的選取方法數(shù)為,求證:.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.(12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大?。唬á颍┤?,求面積的最大值.19.(12分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長為,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上的點(diǎn),且.證明:直線與圓相切;求面積的最小值.21.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:22.(10分)甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識(shí)競賽,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)得10分,答錯(cuò)得0分,假設(shè)甲班三名同學(xué)答對(duì)的概率都是,乙班三名同學(xué)答對(duì)的概率分別是,,,且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出集合,化簡=,令,得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由,得,,令,,,所以得,在上遞增,在上遞減,,所以,即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法,換元法要注意新變量的范圍,屬于中檔題2、D【解析】

先求得,再根據(jù)三角函數(shù)圖像變換的知識(shí),選出正確選項(xiàng).【詳解】依題意,所以由向左平移個(gè)單位長度,再把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍得到的圖像.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查誘導(dǎo)公式,考查三角函數(shù)圖像變換,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.4、A【解析】

,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力.5、B【解析】

或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側(cè)棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點(diǎn)就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學(xué)生的空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.8、C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.9、D【解析】

三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時(shí),可以先求其對(duì)立事件,即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,本題有一定難度.10、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.11、D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點(diǎn)間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上,準(zhǔn)線方程,則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義,點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.12、B【解析】

奇函數(shù)滿足定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且,在上即可.【詳解】A:因?yàn)槎x域?yàn)?,所以不可能時(shí)奇函數(shù),錯(cuò)誤;B:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),又,所以在上,正確;C:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且滿足奇函數(shù),,在上,因?yàn)椋栽谏喜皇窃龊瘮?shù),錯(cuò)誤;D:定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,滿足奇函數(shù),在上很明顯存在變號(hào)零點(diǎn),所以在上不是增函數(shù),錯(cuò)誤;故選:B【點(diǎn)睛】此題考查判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,注意奇偶性的前提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,屬于簡單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由題意得,分類討論作出函數(shù)圖象,求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價(jià)于,當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;當(dāng)時(shí),函數(shù)圖象如圖此時(shí),則,解得:;綜上,滿足條件的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì),函數(shù)的最值求解,存在性問題的求解等,考查了分類討論,轉(zhuǎn)化與化歸的思想.14、【解析】

由二倍角公式降冪,再由兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可求得值域.【詳解】,,則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換(二倍角公式、兩角和的正弦公式),考查正弦函數(shù)的的單調(diào)性和最值.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)一般都需要用三角恒等變換化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.15、【解析】

求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,解得故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)沒有(2)分布列見解析,(3)證明見解析【解析】

(1)根據(jù)公式計(jì)算卡方值,再對(duì)應(yīng)卡值表判斷..(2)根據(jù)題意,隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,分別求得概率,寫出分布列,根據(jù)期望公式求值.(3)因?yàn)橹辽?個(gè)的偶數(shù)個(gè)十字路口,所以,即.要證,即證,根據(jù)組合數(shù)公式,即證;易知有.成立.設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹,下面分類討論①當(dāng)時(shí),由論證.②當(dāng)時(shí),由論證.③當(dāng)時(shí),,設(shè),再論證當(dāng)時(shí),取得最小值即可.【詳解】(1)本次實(shí)驗(yàn)中,,故沒有99.9%的把握認(rèn)為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關(guān)性.(2)依題意,的可能取值為0,1,2,3,4,故,,01234故.(3)∵,∴.要證,即證;首先證明:對(duì)任意,有.證明:因?yàn)椋?設(shè)個(gè)路口中有個(gè)路口種植楊樹,①當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,所以,于?②當(dāng)時(shí),,同上可得③當(dāng)時(shí),,設(shè),當(dāng)時(shí),,顯然,當(dāng)即時(shí),,當(dāng)即時(shí),,即;,因此,即.綜上,,即.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望、排列組合,還考查運(yùn)算求解能力以及必然與或然思想,屬于難題.18、(1)(2)【解析】

分析:(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值,求得角C;(2)運(yùn)用向量的平方就是向量模的平方,以及向量數(shù)量積的定義,結(jié)合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求的值.詳解:(1)∵,,(Ⅱ)取中點(diǎn),則,在中,,(注:也可將兩邊平方)即,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).此時(shí),其最大值為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)三角形的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理,誘導(dǎo)公式,和角公式,向量的平方即為向量模的平方,基本不等式,三角形的面積公式,在解題的過程中,需要正確使用相關(guān)的公式進(jìn)行運(yùn)算即可求得結(jié)果.19、(1),;(2)【解析】

(1)由奇函數(shù)可知在定義域上恒成立,由此建立方程,即可求出實(shí)數(shù)的值;對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),,通過導(dǎo)數(shù)求出,若,則恒成立不符合題意,當(dāng),可證明,此時(shí)時(shí)有極小值.(2)可知,進(jìn)而得到,令,通過導(dǎo)數(shù)可知在上為單調(diào)減函數(shù),由可得,從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由函數(shù)為奇函數(shù),得在定義域上恒成立,所以,化簡可得,所以.則,令,則.故當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在上遞減,在上遞增,若,則恒成立,單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);所以,解得,取,則又函數(shù)的圖象在區(qū)間上連續(xù)不間斷,故由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知在區(qū)間上,存在為函數(shù)的零點(diǎn),為極小值,所以,的取值范圍是.(2)由滿足,代入,消去可得.構(gòu)造函數(shù),所以,當(dāng)時(shí),,即恒成立,故在上為單調(diào)減函數(shù),其中.則可轉(zhuǎn)化為,故,由,設(shè),可得當(dāng)時(shí),則在上遞增,故.綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了奇函數(shù)的定義,考查了轉(zhuǎn)化的思想.對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最小值,使;對(duì)于恒成立的問題,常轉(zhuǎn)化為求的最大值,使.20、證明見解析;1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為,由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,分類討論當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)和斜率不為時(shí)的情況列出相應(yīng)式子,即可得出直線與圓相切;由知,的面積為【詳解】解:由題意,橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),,,于是,到的距離為,直線與圓相切.當(dāng)?shù)男甭什粸闀r(shí),設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時(shí),到的距離為,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.由知,的面積為,上式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,所以面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.21、(1)(2)見解析【解析】

(1)分三種情況去絕對(duì)值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)

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