高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專(zhuān)題能力訓(xùn)練13空間幾何體理

專(zhuān)題能力訓(xùn)練13空間幾何體能力突破訓(xùn)練1.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.5-14C.5+14 D2.(2022浙江,5)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.22π B.8π C.22π3 D3.(2022江蘇蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周均在球O的球面上.若該圓錐的底面半徑為23,高為6,則球O的表面積為()A.32π B.48π C.64π D.80π4.(2022新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(7≈2.65) ()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m35.某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從點(diǎn)M到點(diǎn)N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A.217 B.25 C.3 D.26.(2022全國(guó)甲,理9)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙.若S甲S乙=2,則V甲A.5 B.22 C.10 D.57.(2022廣西貴港高級(jí)中學(xué)三模)《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”,將底面為矩形,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”.如圖,在塹堵ABCA1B1C1中,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽(yáng)馬C1ABB1A1后的幾何體的外接球的體積與陽(yáng)馬C1ABB1A1的體積的比值為()A.1252π3C.252π6 D8.(2022廣西南寧二模)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1,2,母線長(zhǎng)為2,AB為下底面的直徑,若C為下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn),D為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則三棱錐CABD的體積的最大值為.

9.已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形,且內(nèi)接于球O,若此三棱柱ABCA1B1C1的高為2,體積為1,則球O的半徑的最小值為.

10.已知某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,對(duì)該幾何體有如下描述:①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為26;③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形;④外接球的表面積為24π.其中正確的描述的序號(hào)為.

11.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.思維提升訓(xùn)練12.在三棱錐VABC中,△ABC是等邊三角形,頂點(diǎn)V在底面ABC上的投影是底面的中心,側(cè)面VAB⊥側(cè)面VAC,則此三棱錐的體積與其外接球的體積的比值為()A.272π B.636π C.13.在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,底面ABC為鈍角三角形,且AB=AC=2,S△ABC=3,二面角PBCA的度數(shù)為60°,則三棱錐PABC的外接球的表面積為()A.19π B.19π3 C.43π14.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開(kāi)后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得點(diǎn)D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí),所得三棱錐的體積最大為cm3.

15.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二面角DACB(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.圖①圖②(1)證明:AD⊥平面DBC;(2)若在四面體DABC內(nèi)有一球,問(wèn):當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少?

專(zhuān)題能力訓(xùn)練13空間幾何體能力突破訓(xùn)練1.C解析如圖,設(shè)正四棱錐的高為h,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面三角形底邊上的高為h',則有h因此有h'2a22=12ah',化簡(jiǎn)得4h'a22.C解析該幾何體的直觀圖如右圖所示.它是由一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)組合而成的幾何體,故該幾何體的體積V=12×4π3×13+π×12×2+13π(12+22+1×2)3.C解析由題意可知球心O在圓錐的內(nèi)部.設(shè)球O的半徑為R,則R2=(23)2+(6R)2,解得R=4.故球O的表面積S=4πR2=64π.4.C解析由題意可得,此棱臺(tái)的高h(yuǎn)=157.5148.5=9(m).設(shè)水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S1,水庫(kù)水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故該棱臺(tái)的體積V棱臺(tái)=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+1.4×1即增加的水量約為1.4×109m3.故選C.5.B解析如圖所示,易知N為CD的中點(diǎn),將圓柱的側(cè)面沿母線MC剪開(kāi),展平為矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,從點(diǎn)M到點(diǎn)N的路徑中最短路徑為MN在Rt△MCN中,MN=MC2+6.C解析如圖,甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖剛好拼成一個(gè)圓,設(shè)圓的半徑(即圓錐的母線長(zhǎng))為3,則圓的周長(zhǎng)為6π.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,由S甲S乙=2,可知2πr1=4π,2πr2=2π,則r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,所以7.B解析在△ABC中,因?yàn)锳B2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,所以在塹堵ABCA1B1C1中,B1C1⊥平面ABB1A1.所以陽(yáng)馬C1ABB1A1的體積為13×3×5×4=在塹堵ABCA1B1C1中截掉陽(yáng)馬C1ABB1A1后得到三棱錐C1ABC,將塹堵ABCA1B1C1補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,易知長(zhǎng)方體的外接球即為三棱錐C1ABC的外接球.設(shè)外接球的半徑為R,則R=32所以外接球的體積為4所以所求比值為1258.433解析依題意,圓臺(tái)的高為22又D為上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),C為下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn),所以點(diǎn)D到下底面的距離為3,點(diǎn)C到AB的距離最大為2.所以△ABC的面積最大為12×4×2=又VCABD=VDABC,所以三棱錐CABD的體積的最大值為13×9.62解析設(shè)底面直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,∵三棱柱ABCA1B1C1的高為2,體積為1,∴12ab·2=1,得ab=將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,則直三棱柱ABCA1B1C1與長(zhǎng)方體有同一個(gè)外接球,∴球O的半徑為a2+b2∴球O的半徑的最小值為610.①②④解析由三視圖還原原幾何體,如圖所示,可知該幾何體為四棱錐,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD為矩形,AB=2,BC=4,則四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,故①正確;最長(zhǎng)側(cè)棱為PC,長(zhǎng)為26,故②正確;由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,則四個(gè)側(cè)面均不全等,故③錯(cuò)誤;把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,則其外接球的半徑為12PC=6,其表面積為4π×(6)2=24π,故④正確11.解(1)交線圍成正方形EHGF如圖所示.(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9思維提升訓(xùn)練12.C解析由題意易知VA=VB=VC,且VA,VB,VC兩兩互相垂直.將三棱錐VABC放在正方體中,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則此三棱錐的體積V1=13×12×1×1×1=16,外接球的半徑R=3∴此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為V13.A解析取BC的中點(diǎn)D,連接AD,PD(圖略),∵AB=AC,∴AD⊥BC.又PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAD,∴PD⊥BC,∴∠PDA為二面角PBCA的平面角,∴∠PDA=60°.∵AB=AC=2,S△ABC=3,∴12×2×2sin∠BAC=3,∴sin又△ABC為鈍角三角形,∴∠BAC=120°.∴BC=23,AD=1,∴PA=3設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,則2r=23sin120°,解得r=2.設(shè)三棱錐PABC的外接球的半徑為R,則由題意可知R2=r2+PA22故三棱錐PABC的外接球的表面積S=4πR2=19π.故選A.14.415解析如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5x,三棱錐的高h(yuǎn)=D因?yàn)镾△ABC=12×23x×3x=33x所以三棱錐的體積V=13S△ABC·h=3x2令f(x)=25x410x5,x∈0,52,則f'(x)=100x350x4.令f'(x)則f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間2,所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=415,所以三棱錐的體積最大為41515.(1)證明設(shè)點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)H,則點(diǎn)H在AB上,連接DH,如圖,則DH⊥平面ABC,所以DH⊥BC.又AB⊥BC,AB∩DH=H,所以BC⊥平面ADB,所以AD⊥BC.又AD⊥DC,DC∩BC=C,所以AD⊥平面DBC.(2)解當(dāng)球