專題08 銳角三角形及其應(yīng)用 （講練）（原卷版）

專題08銳角三角形及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一解直角三角形【真題研析·規(guī)律探尋】題型01銳角三角函數(shù)與幾何圖形綜合類型一銳角三角函數(shù)與等腰三角形綜合類型二銳角三角函數(shù)與等邊三角形綜合類型三銳角三角函數(shù)與直角三角形綜合類型四銳角三角函數(shù)與矩形綜合類型五銳角三角函數(shù)與菱形綜合類型六銳角三角函數(shù)與正方形綜合類型七銳角三角函數(shù)與圓綜合類型八銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合類型九銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合題型02銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合類型一銳角三角函數(shù)與反比例函數(shù)綜合類型二銳角三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合題型0312345模型【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】考點(diǎn)二解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用【真題研析·規(guī)律探尋】題型01仰角俯角問題題型02方位角問題題型03坡度坡角問題題型04與不易測量相關(guān)問題題型05與可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)懸桿問題【核心提煉·查漏補(bǔ)缺】【好題必刷·強(qiáng)化落實(shí)】

考點(diǎn)要求命題預(yù)測解直角三角形中考數(shù)學(xué)中，對銳角三角函數(shù)的考察主要以特殊角的三角函數(shù)值及其有關(guān)計(jì)算、解直角三角形、解直角三角形的應(yīng)用三個(gè)方面為主.其中，銳角三角函數(shù)的性質(zhì)及解直角三角形多以選擇填空題為主，解直角三角形的應(yīng)用多以解答題為主，考點(diǎn)所占分值有3-12分，還是需要考生對這塊考點(diǎn)多加重視.解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一解直角三角形題型01銳角三角函數(shù)與幾何圖形綜合類型一銳角三角函數(shù)與等腰三角形綜合1．（2021·浙江紹興·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=14，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使A．32 B．3 C．152 D2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝13，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，則BD長的最大值為3．（2020·甘肅天水·中考真題）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為

理解運(yùn)用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為_________（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF=EG=EH.在邊FG，GH上分別取中點(diǎn)M,N，連接MN.若

類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為__________(用含α的式子表示類型二銳角三角函數(shù)與等邊三角形綜合1．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A3,0，B0,4，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

2．（2023·湖南郴州·中考真題）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使CE=AD，連接DE交射線AC

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，猜測線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，①線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接AE．設(shè)AB=4，若∠AEB=∠3．（2023·甘肅武威·中考真題）【模型建立】（1）如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在①求證：AE=②用等式寫出線段AD，BD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足為D，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)F在BD邊上．用等式寫出線段AD【模型遷移】（3）在（2）的條件下，若AD=42，BD=3

類型三銳角三角函數(shù)與直角三角形綜合1．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）的會(huì)徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個(gè)直角三角形組合而成．作菱形CDEF，使點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊OC，OB，BC上，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H．當(dāng)AB=BC，∠BOC=30°，

A．3 B．32 C．2 D．2．（2022·四川德陽·中考真題）如圖，直角三角形ABC紙片中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，連接CD，將△ACD沿CD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，此時(shí)恰好有CE⊥AB．若3．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），過點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到AN，過點(diǎn)C作CF（1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)α=60°時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為②如圖2，當(dāng)α=90°時(shí)，寫出線段AE，CE和CF（2）當(dāng)tanα=43，AB＝類型四銳角三角函數(shù)與矩形綜合1．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF，若EF=2A．163 B．83+4 C．42．（2023·北京·中考真題）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE=DF

(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)AE=BE，AB=2，tan3．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，矩形ABCD是一張A4紙，其中AD=2游戲1

折出對角線BD，將點(diǎn)B翻折到BD上的點(diǎn)E處，折痕AF交BD于點(diǎn)G．展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F恰為BC的中點(diǎn)．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)C翻折到BD上，折痕為BP；展開后將點(diǎn)B沿過點(diǎn)F的直線翻折到BP上的點(diǎn)H處；再展開并連接GH后得到圖②，發(fā)現(xiàn)∠AGH(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請你猜想游戲2中∠AGH類型五銳角三角函數(shù)與菱形綜合1．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，將菱形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)D落在射線CA上的點(diǎn)E處，折痕CP交AD于點(diǎn)P．若∠ABC=30°，AP=2，則PE

2．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，AC是菱形ABCD的對角線．

(1)尺規(guī)作圖：將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為(2)在（1）所作的圖中，連接BD，CE；①求證：△ABD②若tan∠BAC=3．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE，①若BE=BC，過C作CF⊥BE交BE于點(diǎn)②若S矩形ABCD=20時(shí)，則

（2）如圖，在菱形ABCD中，cosA=13，過C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，過E作EF⊥AD交

（3）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，點(diǎn)E在CD上，且CE=2，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，過E作EG⊥EF交平行四邊形ABCD

類型六銳角三角函數(shù)與正方形綜合1．（2023·山東淄博·中考真題）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長之比為5:1，則sin∠DGE

A．1010 B．55 C．3102．（2023·浙江衢州·中考真題）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB=90°AC<BC，四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點(diǎn)C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個(gè)方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE

（1）若cos∠ABC=34，△ABC的面積為（2）若PQBQ=19153．（2023·湖北宜昌·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，AB上的點(diǎn)，連接CE，EF，CF．

(1)若正方形ABCD的邊長為2，E是AD的中點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)∠FEC=90°時(shí)，求證：②如圖2，當(dāng)tan∠FCE=(2)如圖3，延長CF，DA交于點(diǎn)G，當(dāng)GE=DE,類型七銳角三角函數(shù)與圓綜合1．（2023·山東·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，弦DE⊥AB

(1)求證：BC=(2)P是AE上一點(diǎn)，AC=6,BF=2(3)在（2）的條件下，當(dāng)CP是∠ACB的平分線時(shí)，求CP2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，MN為⊙O的直徑，且MN=15，MC與ND為圓內(nèi)的一組平行弦，弦AB交MC于點(diǎn)H．點(diǎn)A在MC上，點(diǎn)B在NC上，∠

(1)求證：MH?(2)求證：AC=(3)在⊙O中，沿弦ND所在的直線作劣弧ND的軸對稱圖形，使其交直徑MN于點(diǎn)G．若sin∠CMN=類型八銳角三角函數(shù)與圓及四邊形綜合1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點(diǎn)P在⊙O上，點(diǎn)（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會(huì)在點(diǎn)B處，點(diǎn)E處是該市的一個(gè)交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實(shí)際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個(gè)半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點(diǎn)N．連接BN，點(diǎn)P在⊙O上，連接EP．其中，線段

類型九銳角三角函數(shù)與圓及三角形綜合1．（2023·浙江臺(tái)州·中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線AP，AQ交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)

(1)如圖1，當(dāng)AB=6，BP?的長為π時(shí)，求(2)如圖2，當(dāng)AQAB=34，(3)如圖3，當(dāng)sin∠BAQ=64，BC=CD2．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H

(1)求證：CD是⊙O(2)求證：AF?(3)若sin∠DEA=3．（2022·山東德州·中考真題）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O為底邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓，交BC于點(diǎn)(1)AB與⊙O的位置關(guān)系為_______(2)求證：AC是⊙O(3)如圖2，連接DM，DM=4，∠A=96°，求⊙O的直徑．4．（2023·浙江·中考真題）如圖，在⊙O中，AB是一條不過圓心O的弦，點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn)，直徑CE交AB于點(diǎn)F，連結(jié)AD交CF于點(diǎn)G，連結(jié)AC，過點(diǎn)C的切線交BA(1)求證：AD∥HC(2)若OGGC=2，求(3)連結(jié)BC交AD于點(diǎn)N，若⊙O的半徑為①若OF=52②若AH=10，求③若HF?AB=88題型02銳角三角函數(shù)與函數(shù)綜合類型一銳角三角函數(shù)與反比例函數(shù)綜合1．（2021·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），反比例函數(shù)y=2x(x>0)的圖象與BC交于點(diǎn)D，與對角線OB交于點(diǎn)E，與AB交于點(diǎn)F，連接OD，DE，EF，DF．下列結(jié)論：①sin∠DOC=cos∠BOCA．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象上，AB⊥y

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)C在這個(gè)反比例函數(shù)圖象上，連接AC并延長交x軸于點(diǎn)D，且∠ADO=45°，求點(diǎn)3．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=12x與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點(diǎn)A，AB⊥x軸于點(diǎn)（1）求OB的長和反比例函數(shù)的解析式；（2）將△AOB繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'類型二銳角三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx

(1)b=_______(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(k,0)作x(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P2．（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)y=-14x2+bx+c圖像的對稱軸與x軸交于點(diǎn)A（1，0），圖像與y軸交于點(diǎn)B（0，3），C(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，求tan∠CDA的值；(3)點(diǎn)C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖1，拋物線y=ax2+53x+

(1)求拋物線的解析式．(2)直線y=23x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作直線EF⊥x軸，交AD于點(diǎn)(3)如圖2，點(diǎn)N為x軸正半軸上一點(diǎn)，OE與BN交于點(diǎn)M．若OE=BN，tan∠題型0312345模型【12345模型簡介】對于角α和角β，若滿足α+β=45°，tanα=12，則一定tanβ=13已知△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)∠BCD=α，∠ACD=β,且tanα=12，則tanβ=【證明過程】過點(diǎn)D作DE⊥AC設(shè)AB=BC=4,則AD=2，AC=42,DE=AE=2∴CE=32∴tan∵α+β=45°，∴tan（α+β）=1,∠CDE=α+45°，∠BDE=β+45°（三角形內(nèi)角和為180°）∴tan（α+45°）=3，tan（β+45°）=2在BC上取一點(diǎn)F，使DF=FC,設(shè)BF=x，則DF=4-x在Rt△BDF中，由勾股定理解得x=1.5，∴tan2α=43，tan2β=1．（2022·四川瀘州·中考真題）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB上的點(diǎn)，且BE=2AE，過點(diǎn)E作DE的垂線交正方形外角∠CBG的平分線于點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)M，連接DF交邊BC于點(diǎn)N，則MNA．23 B．56 C．672．（2023·四川·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(0,-3)，點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC=1

3．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)D落在G處，點(diǎn)C、H、G恰好在同一直線上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，則DF的長是（

）A．2 B．74 C．3224．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線BP，過點(diǎn)C作BP的垂線分別交BD,AD于點(diǎn)

A．10 B．11 C．23 D．5．（2023·四川涼山·中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα證明：設(shè)BE=k，∵tanα=易證△∴EC=2∴FD∴tanβ若α+β=45°時(shí)，當(dāng)tan同理：若α+β=45°時(shí)，當(dāng)tan根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y=3x-9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．將直線AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AM⊥

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出tan∠(3)求直線AE的解析式．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關(guān)系：1）直角三角形的五個(gè)元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關(guān)系：a2+3）兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1．（2023·重慶·模擬預(yù)測）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，分別交⊙O于點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接AB，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC．若cosC=3A．365 B．7 C．325 D2．（2023·河南鄭州·三模）如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA、OC分別落在x軸、y軸上，連接OB將紙片沿OB折疊，使A落在A'的位置，OB=5,tanA．-35,45 B．-43．（2023·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=5，AB=12，cosA=35，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為A．71050 B．1050 C．94．（2023·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，∠CDA=∠CAB．若A．94 B．125 C．1545．（2024·重慶·一模）如圖，在正方形ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，連接OC，E為邊AB上一點(diǎn)，CF⊥DE于點(diǎn)F，若OF=2，CF=5，則AEA．23 B．34-2 C．3二、填空題6．（2024·山西呂梁·一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DA的延長線上，CF與AB相交于點(diǎn)G，若AD=2，tan∠FCE=27．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）某三棱柱的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為矩形，俯視圖為△ABC，已知tanB=13

8．（2024·山西臨汾·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BA邊的延長線上，且CE=AF，連接EF交AD邊于點(diǎn)G，HN垂直平分EF，分別交AD，EF，AB于點(diǎn)H，M，N．若CE=2三、解答題9．（2024·貴州安順·一模）如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)F作∠AFD的角平分線交AD于點(diǎn)G(1)求證：AE?(2)求∠AFG(3)若DC=4，求四邊形EFDC10．（2024·山東濟(jì)南·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，過點(diǎn)E作⊙O的切線與AB的延長線交于點(diǎn)F(1)求證：∠CAB(2)若BF=1，sin∠AFE11．（2024·重慶·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點(diǎn)A，B，與(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，直線PM交y軸于點(diǎn)N．若tan∠PNC=23(3)另有拋物線y'的頂點(diǎn)E在線段BC上，y'經(jīng)過點(diǎn)C，將拋物線y'平移得到新的拋物線yn，點(diǎn)E，C平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)F，G，連接GE．若GE∥x軸，點(diǎn)F在x軸上，yn12．（2023·河南平頂山·一模）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上．連接AM，AN，MN．∠MAN=45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：線段（2）如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊DC，BC上，連接AM，AN，MN，∠MAN=45°，若tan∠（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，點(diǎn)M，N分別在邊DC，BC上，連接AM，AN，已知∠MAN=45°，BN=4

考點(diǎn)二解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型01仰角俯角問題1．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得河流左岸C處的俯角為α，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行12米至B處，測得河流右岸D處的俯角為30°，線段AM=243米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M，C，D在同一條直線上，其中tanα=2．求河流的寬度CD（結(jié)果精確到

2．（2023·湖南·中考真題）2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面O處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面C處的雷達(dá)站測得AC的距離是8km，仰角為30°；10s后飛船到達(dá)B處，此時(shí)測得仰角為

(1)求點(diǎn)A離地面的高度AO；(2)求飛船從A處到B處的平均速度．(結(jié)果精確到0.1km/s，參考數(shù)據(jù)：33．（2023·山東·中考真題）無人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，如圖所示，某人利用無人機(jī)測最大樓的高度BC，無人機(jī)在空中點(diǎn)P處，測得點(diǎn)P距地面上A點(diǎn)80米，點(diǎn)A處俯角為60°，樓頂C點(diǎn)處的俯角為30°，已知點(diǎn)A與大樓的距離AB為70米（點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)），求大樓的高度BC（結(jié)果保留根號(hào)）

4．（2023·湖南永州·中考真題）永州市道縣陳樹湘紀(jì)念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示），寓意陳樹湘為中國革命“斷腸明志”犧牲時(shí)的年齡為29歲．如圖2，以線段AB代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面BN上D處為陳樹湘雕拍照，相機(jī)支架CD高0.9米，在相機(jī)C處觀測雕像頂端A的仰角為45°，然后將相機(jī)架移到MN處拍照，在相機(jī)M處觀測雕像頂端A的仰角為30°，求D、N兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732題型02方位角問題1．（2023·遼寧丹東·中考真題）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測得燈塔B在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港，此時(shí)測得燈塔B在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到0.1nmile）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

2．（2023·海南·中考真題）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處，測得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．

(1)填空：∠AMB=度，∠(2)求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2023·遼寧營口·中考真題）為了豐富學(xué)生的文化生活，學(xué)校利用假期組織學(xué)生到素質(zhì)教育基地A和科技智能館B參觀學(xué)習(xí)，學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，走到C處時(shí)，發(fā)現(xiàn)A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老師將學(xué)生分成甲乙兩組，甲組前往A地，乙組前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，請求出甲組同學(xué)比乙組同學(xué)大約多走多遠(yuǎn)的路程（參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，6

題型03坡度坡角問題1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即∠CEF=∠AEF）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離CD=1.7m，BE

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至E1處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出DE1=2m；再將鏡子移動(dòng)至E2處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出DE

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離CD=1.7m），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出DE=2.8m；③測出坡長AD=17m；④測出坡比為

2．（2023·四川自貢·中考真題）為測量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對平直的山坡AB，BC，如圖2，同學(xué)們將兩根直桿MN，MP的一端放在坡面起始端A處，直桿MP沿坡面AB方向放置，在直桿MN另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿MN與鉛垂線NG重合時(shí)，測得兩桿夾角α的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角β的度數(shù)．請直接寫出(2)測量山高同學(xué)們測得山坡AB，BC，CD的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為24°，30°，45°；為求BH，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含24°角的Rt△TKS（如圖(3)測量改進(jìn)由于測量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場上，將直桿NP置于MN的頂端，當(dāng)MN與鉛垂線NG重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿NP，使點(diǎn)N，P，D共線，測得∠MNP的度數(shù)，從而得到山頂仰角β1，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測得山頂仰角β2；畫一個(gè)含β1的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a1厘米，b1厘米，再畫一個(gè)含β2的直角三角形，量得該角對邊和另一直角邊分別為a2厘米，b23．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

題型04與不易測量相關(guān)問題1．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點(diǎn)測得∠CBE=30°，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)

(1)求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）(2)若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走(123+12)米到達(dá)P點(diǎn)．求2．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）知識(shí)再現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．∵sinA=∴c=a∴a(1)拓展探究：如圖2，在銳角ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c．請?zhí)骄縜sinA，bsin(2)解決問題：如圖3，為測量點(diǎn)A到河對岸點(diǎn)B的距離，選取與點(diǎn)A在河岸同一側(cè)的點(diǎn)C，測得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．請用拓展探究中的結(jié)論，求點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離．3．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，為了測量河對岸兩點(diǎn)A，B之間的距離，在河岸這邊取點(diǎn)C，D．測得CD=80m，∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=19°17'，∠BDC=56°19'，設(shè)題型05與可調(diào)節(jié)的滑動(dòng)懸桿問題1．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿BC=2a，AB=b，AB的最大仰角為α.當(dāng)∠

A．a(chǎn)+bcosa B．a(chǎn)+b2．（2022·江蘇鹽城·中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．機(jī)械臂端點(diǎn)(1)求A、C兩點(diǎn)之間的距離；(2)求OD長．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達(dá)的物體高度模型需測量數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αtanh=m+n?矩形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系水平距離n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h23）測量底部不可到達(dá)的物體的高度1．（2023·云南·模擬預(yù)測）2023年4月20日，云南大學(xué)迎來百年校慶，當(dāng)天晚間，千架無人機(jī)在云南大學(xué)上空變換著“云南大學(xué)?；铡钡葓D案（如圖1），書寫著百年學(xué)府的深厚積淀．小李為記錄這次表演，攜帶無人機(jī)航拍，如圖2，某一時(shí)刻小李在水平地面點(diǎn)A處測得無人機(jī)位置點(diǎn)B的仰角為60°，無人機(jī)從點(diǎn)B水平飛至點(diǎn)C處，小李在點(diǎn)A處測得點(diǎn)C的仰角為45°，水平地面AF∥BC，若BC=4

A．6+23米 B．8米 C．2+23米 D．2．（2023·山東泰安·一模）某區(qū)域平面示意圖如圖，點(diǎn)O在河的一側(cè)，AC和BC表示兩條互相垂直的公路．甲偵測員在A處測得點(diǎn)O位于北偏東45°，乙勘測員在B處測得點(diǎn)O位于南偏西73.7°，測得AC=840m，