專題05 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)（12大考點(diǎn)知識串講+熱考題型+專題訓(xùn)練）（【含答案解析】）

專題05橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)知識點(diǎn)1橢圓的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓．這兩個定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、橢圓定義的集合語言表示：注意：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當(dāng)時，其軌跡為線段；②當(dāng)時，其軌跡不存在．3、橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”。一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立AF1+AF（設(shè)∠F1A性質(zhì)1：AF1+A拓展：?AF1?ABF1性質(zhì)2：4c知識點(diǎn)2橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程（1）以經(jīng)過點(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖1.（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為（＞0）.焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，圖1又設(shè)M與的距離的和等于常數(shù).圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因為，所以（3）兩邊平方得，整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應(yīng)有，故設(shè)，就有2、橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的對比知識點(diǎn)3橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍，，對稱性關(guān)于軸、原點(diǎn)對稱軸長長軸長：；短軸長：長軸長：；短軸長：頂點(diǎn)離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的橢圓的弦長通徑的大?。褐R點(diǎn)4直線與橢圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)在橢圓外2、直線與橢圓的位置關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去y得一個關(guān)于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(diǎn)(或兩個公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(diǎn)(或一個公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．（2）解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：=1\*GB3①得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；=2\*GB3②聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；=3\*GB3③寫出根與系數(shù)的關(guān)系；=4\*GB3④將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的形式；=5\*GB3⑤代入求解．3、直線與橢圓相交的弦長公式（1）定義：連接橢圓上兩個點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法=1\*GB3①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．=2\*GB3②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：4、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有?？键c(diǎn)1橢圓定義的辨析【例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．不存在D．橢圓或線段【答案】A【解析】因為，，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓.故選：A.【變式1-1】（2022秋·北京·高二校考階段練習(xí)）設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足條件，則動點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．線段C．橢圓或線段D．雙曲線【答案】C【解析】定點(diǎn)，，，常數(shù)，，所以動點(diǎn)滿足條件或，則點(diǎn)的軌跡是線段或橢圓．故選：C．【變式1-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知動點(diǎn)滿足（為大于零的常數(shù)）﹐則動點(diǎn)的軌跡是（）A．線段B．圓C．橢圓D．直線【答案】C【解析】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，同理的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，且又由為大于零的常數(shù)，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，故，即動點(diǎn)到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之和為定值，且大于，所以動點(diǎn)的軌跡為橢圓，故選：C.【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為該橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，則（）A．B．C．1D．3【答案】C【解析】因為點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，所以，因為，所以.故選：C.【變式1-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）（多選）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則的值可能是（）A．B．3C．6D．8【答案】BC【解析】由題意可知，所以，即.故選：BC.考點(diǎn)2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2022春·四川遂寧·高二?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓有相同的離心率的橢圓方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為所求橢圓與橢圓有相同的離心率，可設(shè)所求橢圓的方程為，又由橢圓過點(diǎn)，代入橢圓的方程，可得，解得，即所求橢圓的方程為，即.故選：D.【變式2-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因為橢圓，即，，，可得，橢圓的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓方程是，則，解得所求橢圓的方程為.故選：A．【變式2-2】（2023秋·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】顯然離心率，解得，即，分別為C的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，則，，于是，而，即，又，因此聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.故選：B【變式2-3】（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為10；（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn).【答案】（1）；（2）【解析】（1）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，所以，又因為，所以，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由于橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上一點(diǎn)，由橢圓的定義可知，因此.又因為，所以.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【變式2-4】（2023秋·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）長軸長為，離心率為；（2）x軸上的一個焦點(diǎn)與短軸兩個端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）由題意，橢圓的長軸長為，離心率為，可得，可得，則，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.綜上，橢圓的方程為或.（2）由題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖所示，為橢圓的一個焦點(diǎn)，分別為短軸的兩個端點(diǎn)，且焦距為，則為一等腰直角三角形，所以，所以，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)3根據(jù)橢圓方程求參數(shù)【例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】方程可變形為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則有，解得.易知當(dāng)時，，當(dāng)時未必有，所以是的充分但不必要條件.故選：B.【變式3-1】（2021秋·高二課時練習(xí)）（多選）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的可能取值為（）A．1B．C．2D．3【答案】ABC【解析】方程可化為，依題意，解得.故選：ABC．【變式3-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是．【答案】且【解析】由方程表示橢圓，則，可得且.【變式3-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若曲線是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則的取值范圍為．【答案】【解析】由曲線，得，因為曲線是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，所以，解得，即的取值范圍為.【變式3-4】（2023秋·安徽淮南·高二?？茧A段練習(xí)）對于方程，（1）若該方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實數(shù)的取值范圍；（2）若該方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求實數(shù)的取值范圍；（3）若該方程表示橢圓，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以.（2）因為表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以.（3）因為表示橢圓，所以，解得且，所以.考點(diǎn)4橢圓的焦點(diǎn)三角形應(yīng)用【例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為.【答案】24【解析】由橢圓的方程可得：，，，，，且根據(jù)橢圓的定義可得：，，，則在中，，，【變式4-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為，若，則的面積為（）A．B．C．4D．【答案】D【解析】橢圓中，，由及橢圓定義得，因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D【變式4-2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，為兩個焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意橢圓，為兩個焦點(diǎn)，可得，則①，即，由余弦定理得，，故，②聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即，故選：B【變式4-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，則的面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸為，短半軸為，半焦距為，則，，即.設(shè)，所以由橢圓的定義可得：①.因為，所以由數(shù)量積的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故選：A.【變式4-4】（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓C：上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓半徑為【答案】【解析】因為，，所以，，則，等腰邊上的高，所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以考點(diǎn)5橢圓中距離和差的最值【例5】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）已知為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一動點(diǎn)，，則的最小值為（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】由為橢圓的焦點(diǎn)，，，，，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得，，所以的最小值為.故選：A.【變式5-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（）A．8，11B．8，12C．6，10D．6，11【答案】C【解析】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，由于，，所以橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為和，由橢圓定義可知：，所以的最大值為，的最小值為.故選：C【變式5-2】（2023春·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P是橢圓上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），則的范圍為．【答案】【解析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知，又點(diǎn)P在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得，所以所以易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立；又，所以；即的范圍為.【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由題意橢圓C：，M為橢圓C上任意一，N為圓E：上任意一點(diǎn)，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時等號成立，而，故，即的最小值為.【變式5-4】（2023春·安徽六安·高二?？奸_學(xué)考試）若點(diǎn)P在橢圓C1：＋y2＝1上，C1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，則的最小值為．【答案】【解析】記橢圓C1：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為E(－1,0)，右焦點(diǎn)F(1,0)，由橢圓的定義可得，，所以，由，得，即圓C2的圓心為，半徑為，作出圖形如圖所示，由圓的性質(zhì)可得，，＝＝4－3＝(當(dāng)且僅當(dāng)C2，Q，P，E四點(diǎn)共線時，等號成立)，所以的最小值為.故答案為：考點(diǎn)6與橢圓相關(guān)的軌跡問題【例6】（2023秋·高二單元測試）是橢圓的兩個焦點(diǎn)，A是橢圓上任一點(diǎn)，過任一焦點(diǎn)向的外角平分線作垂線，垂足為P，則P點(diǎn)的軌跡是（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【答案】A【解析】如圖，平分的外角，，垂足為，直線交的延長線于，令橢圓長軸長為，于是，為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，則，若過作的外角平分線的垂線，垂足為，同理得，所以P點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓.故選：A【變式6-1】（2023秋·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為【答案】【解析】設(shè)動圓P的圓心為，半徑為，由題意得，所以，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，即，，則，所以動圓圓心的軌跡方程為.【變式6-2】（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知圓與圓，圓與圓均相切，則圓的圓心的軌跡中包含了哪條曲線（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線【答案】B【解析】由圓可得，圓心，半徑；由圓可得，圓心，半徑.又，且，所以兩圓內(nèi)含，又.設(shè)圓的半徑為.由題意結(jié)合圖象可得，圓應(yīng)與圓外切，與圓內(nèi)切.則有，所以，根據(jù)橢圓的定義可得，圓的圓心的軌跡為橢圓.故選：B.【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是圓上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)，如圖，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故答案為：．【變式6-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角的角平分線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】【解析】延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，由是的外角的角平分線，且，在中，且為線段的中點(diǎn)又為線段的中點(diǎn)，由三角形的中位線：，根據(jù)橢圓的定義得：，則，點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡方程：.考點(diǎn)7求橢圓離心率的值【例7】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？奸_學(xué)考試）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：，則直線，即，與圓相切，，即，，，橢圓的離心率.故選：A.【變式7-1】（2023秋·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)P，若，則橢圓E的離心率為【答案】【解析】因過點(diǎn)斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，則有，，因此，在中，，令橢圓半焦距為c，于是得，，由橢圓定義得：，，所以橢圓的離心率是.【變式7-2】（2023秋·吉林四平·高二統(tǒng)考期中）如圖，A，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上（點(diǎn)異于A，兩點(diǎn)），線段與橢圓交于另一點(diǎn)，若直線的斜率是直線的斜率的4倍，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，易知，則，，又，所以.故選：C【變式7-3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知右焦點(diǎn)為的橢圓：上的三點(diǎn)，，滿足直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，，則.因為，，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故選：A【變式7-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，的最小值為，且存在點(diǎn)，使得（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由橢圓的定義可得，要使（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）為正三角形，不妨設(shè)點(diǎn)為右焦點(diǎn)，則存在，即，將代入橢圓的方程得將代入上式得，化簡得，則，代入，得，所以，代入，可得，所以.故選：D.考點(diǎn)8求橢圓離心率的取值范圍【例8】（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓和圓，（為橢圓的半焦距），對任意的恒有四個交點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意對于恒成立，∴，由得，，，，又，即，整理得，又，∴．故選：B．【變式8-1】（2023秋·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知兩定點(diǎn)和，動點(diǎn)在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，，，當(dāng)a取最小值時，橢圓C的離心率有最大值．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，，則，當(dāng)時，橢圓有最大離心率，此時，．故選：B．【變式8-2】（2022秋·河南商丘·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得由點(diǎn)所作的圓的兩條切線的夾角為，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題設(shè)，圓與橢圓在上下頂點(diǎn)處相切，橢圓上任意點(diǎn)(與上下頂點(diǎn)不重合)作圓的切線，如下圖，若且，要所作的圓的兩條切線的夾角最小，只需最大，所以，當(dāng)與左右頂點(diǎn)重合時，此時最??；靠近上下頂點(diǎn)時無限接近；在橢圓上存在一點(diǎn)，使得所作的圓的兩條切線的夾角為，所以，保證時，即，由題意及圖知：，故，而，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：A【變式8-3】（2022秋·江西上饒·高二階段練習(xí)）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是【答案】.【解析】由題意可知：，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時等號成立）所以，則，又因為橢圓的離心率，所以.【變式8-4】（2023秋·高二單元測試）若橢圓上存在一點(diǎn)M，使得（，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)），則橢圓的離心率e的取值范圍為.【答案】【解析】方法一：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則.∵，，∴，.∵，∴，即.又點(diǎn)M在橢圓上，即，∴，即，∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍是.方法二：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由方法一可得消去，得，∵，∴，由②得，此式恒成立.由①得，即，∴，則.又，∴.綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是.方法三：設(shè)橢圓的一個短軸端點(diǎn)為P，∵橢圓上存在一點(diǎn)M，使，∴，則，（最大時，M為短軸端點(diǎn)）∴，即，又，∴，故橢圓的離心率e的取值范圍為.考點(diǎn)9直線與橢圓位置關(guān)系判斷【例9】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相離B．相切C．相交D．無法確定【答案】B【解析】由橢圓的方程，可得，即橢圓的短軸的右頂點(diǎn)為，所以直線與橢圓相切.故選：B.【變式9-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．無法確定【答案】C【解析】聯(lián)立，消去，整理得到，該方程判別式，于是此方程無解，即直線和橢圓沒有交點(diǎn)，故直線和橢圓相離.故選：C【變式9-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線：與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．相切或相交【答案】A【解析】方法1：∵，即：，∴直線l恒過定點(diǎn)，又∵橢圓,∴，∴定點(diǎn)M在橢圓內(nèi)，∴直線l與橢圓相交.方法2：∴恒成立，∴直線l與橢圓相交.故選：A.【變式9-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知橢圓，直線，那么直線與橢圓位置關(guān)系（）A．相交B．相離C．相切D．不確定【答案】A【解析】由，則，則直線，恒過定點(diǎn)，由，則點(diǎn)，在橢圓1內(nèi)部，∴直線與橢圓相交．故選：A【變式9-4】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，消去得①，因為直線與橢圓有公共點(diǎn)，所以方程①有實數(shù)根，則，得.故選：B．考點(diǎn)10直線與橢圓相切應(yīng)用【例10】（2022·高二課時練習(xí)）若直線與橢圓相切，則斜率的值是（）A．B．C．±D．±【答案】C【解析】因為直線與橢圓相切，所以已知直線與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，所以聯(lián)立方程消去并整理，得，所以，解得：.故選：C【變式10-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)作橢圓的切線，則切線方程為.【答案】或【解析】因為，P在外部，1.當(dāng)斜率不存在時，易知為橢圓一切線；2.當(dāng)斜率存在時，設(shè)切線斜率為，則切線方程為，代入中并整理得，因為直線與橢圓相切，則，解得，此時切線方程為；所以切線方程為或.【變式10-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可知，當(dāng)點(diǎn)在第三象限且橢圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，因此，點(diǎn)到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.【變式10-3】（2022·高二課時練習(xí)）已知是橢圓：，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則使得點(diǎn)P到直線l的距離為的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】設(shè)直線：與橢圓相切，聯(lián)立，得，整理得，則該方程有且只有一個解，由，得或，所以的方程為或，易知直線與直線l的距離為，直線與直線l的距離為，所以在直線l的右側(cè)有兩個符合條件的P點(diǎn)，在直線l的左側(cè)不存在符合條件的P點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有2個．故選：C．【變式10-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，直線，則橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)與直線平行的直線：，聯(lián)立，消可得，，解得，所以所求直線為或，直線與直線的距離為.直線與直線的距離為.所以橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值為故選：C考點(diǎn)11橢圓的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法【例11】（2023秋·寧夏銀川·高二?？计谥校┤魴E圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，則直線的中點(diǎn)在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.【變式11-1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．【變式11-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程為.【答案】【解析】已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，設(shè)這條弦的兩個端點(diǎn)分別為、，則，得，由于點(diǎn)、均在橢圓上，則，兩式相減得，可得，即，所以直線的斜率為，因此，這條弦所在直線的方程為，即.【變式11-3】（2022秋·浙江嘉興·高二?？计谥校┻^點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為.【答案】【解析】設(shè)，，則直線的斜率，點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，所以有，，因為直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，所以，兩式相減可得，，即，故，故，所以直線的斜率為.【變式11-4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點(diǎn)的軌跡．【答案】點(diǎn)的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分【解析】如圖，設(shè)直線被橢圓所截得的線段的兩個端點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為、，線段中點(diǎn)為．聯(lián)立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當(dāng)判別式，即時，上述方程有兩個不同的實數(shù)解，即直線與橢圓的相交線段存在．因為，，從而，這就是中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點(diǎn)的軌跡方程為，，即點(diǎn)的軌跡是直線在橢圓內(nèi)的部分．考點(diǎn)12直線與橢圓相交弦長【例12】（2022秋·四川樂山·高二?？计谥校┻^橢圓的左焦點(diǎn)作斜率為1的弦，則弦的長為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由,得橢圓方程,左焦點(diǎn)為,過左焦點(diǎn)的直線為，代入橢圓方程得，解得或，，故選：D.【變式12-1】（2023秋·重慶沙坪壩·高二校考階段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意設(shè)橢圓的方程為（），則，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意直線的方程為，設(shè)、，由，消去整理得，則，所以，，所以.【變式12-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，解得,，，∴橢圓的方程為.（2）因為，所以設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得得，又直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，所以，∴∴，∴故當(dāng)，即直線過原點(diǎn)時，最大，最大值為.【變式12-3】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：與橢圓有相同的焦點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長度為1．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求實數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得的焦點(diǎn)為，故橢圓C：的焦點(diǎn)為，則；令，則，故由過橢圓C的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長度為1可得，聯(lián)立，解得，故橢圓C的方程為；（2）將代入得，需滿足，即；設(shè)，則，由得，即，解得，故，符合題意.【變式12-4】（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是．（1）求橢圓的方程；（2）傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知，求直線的一般式方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．（2）因為直線的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．1．（2023秋·江西·高二?？茧A段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．線段B．圓C．橢圓D．不存在【答案】A【解析】因為，表示點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為2，又，則點(diǎn)的軌跡就是線段.故選：A2．（2023秋·河南·高二?？计谥校┮阎獧E圓C過點(diǎn)，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】若焦點(diǎn)在x軸上，則．由，得，所以，此時橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．若焦點(diǎn)在y軸上，則．由，得，此時橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上所述，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．故選：D.3．（2023秋·江西撫州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，過作直線與交于兩點(diǎn)，則的周長為（）A．24B．20C．16D．12【答案】A【解析】由橢圓方程可知，則，所以是橢圓的焦點(diǎn)，所以的周長為.故選:.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，得，所以，故橢圓的離心率.故選：B.5．（2023秋·湖南株洲·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)實數(shù)滿足的最小值為（）A．B．C．D．前三個答案都不對【答案】A【解析】設(shè)，則在橢圓上，又，設(shè)，則為橢圓的右焦點(diǎn)，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時等號成立，而，故的在最小值為，故選：A.6．（2023秋·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)直線與橢圓相切，聯(lián)立方程，得①，因為直線與橢圓相切，所以，得，當(dāng)時，與的距離最大，最大距離為，把代入①得，，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A7．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列命題錯誤的是（）A．若定點(diǎn)，滿足，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是橢圓B．若定點(diǎn)，滿足，動點(diǎn)滿足，則的軌跡是橢圓C．當(dāng)時，曲線：表示橢圓D．若動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】AC【解析】對于A中，若定點(diǎn)，滿足，動點(diǎn)滿足，可得點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段，所以A不正確；對于B中，若定點(diǎn)，滿足，動點(diǎn)滿足，由橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，所以B正確；對于C中，當(dāng)時，曲線：，若時，即時，此時曲線表示圓，所以C不正確；對于D中，若動點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其中，可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以D正確.故選：AC.8．（2023秋·江西吉安·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）中國的嫦娥四號探測器，簡稱“四號星”