《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學設計二

高中數(shù)學精選資源3/3《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學設計二教學設計一、情境引入出示天安門廣場上五星紅旗的照片，激發(fā)學生的愛國熱情.引導學生思考：如果要在本校操場上豎立一面新的旗桿，將旗桿抽象成一條直線，地面抽象成一個平面，怎樣檢驗旗桿與地面是不是垂直的？并點出這個問題就是“如何判定直線與平面垂直”的問題，也就是今天要研究的課題.設計意圖：借助觀察生活中的數(shù)學問題引出課題，自然生動，既提高了學生學習數(shù)學的興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活.觀察圖片，將圖片中的實物抽象為幾何圖形，直觀感知直線與平面的垂直.同時，也激發(fā)學生的愛國熱情.2.復習學習過的空間中點、直線、平面的位置關系中的直線與平面平行的探究過程，類比出研究直線與平面垂直的探究思路.直線和平面有幾種位置關系？已經掌握了直線和平面平行的哪些內容？怎樣研究“直線與平面垂直”呢？應該研究關于“直線與平面垂直”的什么內容？設計意圖：啟發(fā)引導學生類比探究線面平行的研究過程，明確按照“定義—判定定理—有關結論—性質定理”的研究程序，強化空間位置關系的常用研究策略——降維化歸.二、探索新知從路由器模型中判斷哪些直線與平面垂直，哪些不垂直，找出直觀感受的結論，“在平面內找出一條直線和已知直線不垂直，則線面不垂直”，即“已知直線與所有直線都垂直才可以達到線面垂直的目的”“所有直線”不能換為“無數(shù)條直線”，歸納出直線與平面垂直的準確定義.1.定義：如果直線a與平面內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面垂直，記作，直線a叫作平面的垂線，平面叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足.記法：a垂直于內的任意一條直線.畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直（如圖）.設計意圖：借助模型的演示過程構建直線與平面垂直的定義，可以幫助學生建立對定義的直觀感受，既真實又有效.并引導學生用“正難則反”的思想來思考問題，進步概括直線與平面垂直的定義.【師生活動】學生思考作答，教師補充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同義詞，“任意一條直線”不能用“無數(shù)條直線”代替.定義是說這條直線和平面內所有的直線垂直.引導學生主動思考辨析，利用現(xiàn)有工具擺出反例模型，提高學生的動手能力，同時給出線面垂直的記法與畫法.2.定義應用.小實驗：拿一塊教學用的直角三角板，驗證旗桿與地面的垂直.學生設計：如圖，三角板的直角頂點C與旗桿底端重合，直角邊BC所在直線與旗桿所在直線重合，將三角板繞BC轉動，在轉動過程中，直角邊AC與地面緊貼.教師動畫展示.問題1：在轉動前，BC邊與AC邊是什么位置關系？問題2：在轉動過程中，AC邊一直在移動，BC邊與AC邊是什么位置關系？問題3：BC邊與地面任意一條不過C點的直線又是什么位置關系？（教師用幾何畫板證明）設計意圖：通過實驗，讓學生應用直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學生的動手操作能力和幾何直觀能力.同時，再次加深對定義的理解：如果要得到一條直線與一個平面垂直，需要證明直線與平面內所有直線垂直.讓學生感受到定義的煩瑣，為尋找判定定理埋下伏筆.【師生活動】在驗證過程中，學生會出現(xiàn)驗證“BC與平面內過點C的所有直線垂直”和“BC與平面內不過點C的所有直線垂直”的兩種情況，教師應引導學生全面考慮問題，感受過程的嚴謹性.3.（1）分組探究直線與平面垂直的判定定理：顯然，根據(jù)定義判定直線與平面垂直，需要判定直線與平面內“任意一條直線”即“所有直線”都垂直而事實上這往往是難以實現(xiàn)的，我們可否尋求一個更為簡便的方法，用有限條直線來代替所有直線？【師生活動】分小組討論，一起探究直線與平面垂直的判定定理.教師引導學生可以類比之前探究其他判定平行或垂直的判定定理的過程和方法，大膽猜想可能的線面垂直判定定理，再通過實例論證猜想正確與否，最終得出小組的探究成果.用“智慧課堂”讓小組成員展示他們的探究過程和探究成果.設計意圖：通過問題思考與實例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗有限與無限之間的辯證關系.讓學生通過類比探究過程，不斷地猜想和論證，在探究過程中加深對探究方法和過程的感受和深刻理解，也讓判定定理的得出更加水到渠成.（2）探究判定定理的實驗：請同學們拿出準備好的一塊三角形紙片，如圖（1）所示，過三角形的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）觀察并思考：折痕AD與桌面垂直嗎？為什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直（如圖（2））？教師進行動畫演示.思考：你能歸納出除定義以外的直線與平面垂直的證明方法嗎？設計意圖：1.通過實驗，引導學生獨立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定條件，培養(yǎng)學生的動手操作能力和幾何直觀能力.2.從另一個角度理解定義：如果要說明一條直線與平面不垂直，只需在平面內找到一條直線與它不垂直就夠了.【師生活動】在折紙實驗中，學生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導學生進行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因.學生再次折紙，進而探究直線與平面垂直的條件，經過討論交流，使學生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強幾何直觀性.4.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.圖形語言：符號語言:若,則.設計意圖:引導學生根據(jù)直觀感知及已有知識經驗,進行合情推理,獲得判定定理，并體會將空間問題平面化、無限問題有限化的轉化思想.5.直線與平面垂直的性質定理.（1）歸納定理情境1：(課件展示)教師展示課件,并提出問題:垂直于同一個平面的直線之間具有怎樣的位置關系?觀察圖片,你能得到什么啟發(fā)?學生獨立思考,分組討論,同學間交流各自的意見,最終分析得出猜想結論:垂直于同一個平面的直線互相平行.設計意圖：通過熟悉的生活情境進行引入，引發(fā)學生探究知識的興趣,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、歸納、概括數(shù)學問題的能力.情境2:如圖,長方體中,棱,所在直線都與底面垂直,各側棱之間具有什么位置關系?教師提出問題，引導學生分組討論問題.學生認真觀察、思考得出結論：因為棱所在直線都與底面ABCD垂直，所以棱.設計意圖：借助學生最熟悉的長方體模型和生活中的簡單經驗，引導學生分析，將“垂直問題”逐步轉化為“平行問題”，以此為基礎，進行合情推理，驗證猜想，使學生的思維更加順暢；讓學生在發(fā)現(xiàn)定理的過程中，不僅有直觀上的感知，提高直觀想象核心素養(yǎng)，而且通過理性的說理，增強邏輯推理核心素養(yǎng).【設計說明】在直觀感知、操作確認的基礎上，使學生經歷從實際背景中抽象出幾何結論的全過程，從而形成完整和正確的概念.這種立足于感性認識的歸納過程，既有助于學生對知識本質的理解，又使學生的抽象思維得到發(fā)展，在培養(yǎng)學生幾何直觀能力的同時，也培養(yǎng)勇于探索的科學精神.經過師生對話猜想結論進行完善，并引導學生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面歸納直線和平面垂直的性質定理.學生自主完成.教師巡視課堂，對學生的完成情況進行個別指導.教師板書定理：文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言：，則.圖形語言：學生校對答案，完善自己的作品.設計意圖：通過板書加深學生對所學知識的印象，達到鞏固新知的目的；通過三種語言間的轉化，加深學生對定理的認識與記憶，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力、轉化化歸能力和書寫表達能力.（2）證明定理已知:.求證:.師:怎樣證明兩條直線平行?學生思考回答判定線線平行的方法.師:由于無法把兩條直線歸入到一個平面內,無法應用平行直線的判定知識,也無法應用基本事實4,在這種情況下,我們常采用“反證法”.證明:如圖,假設不平行于,設是經過點且與直線平行的直線.直線與確定平面,設.因為,所以.又因為,所以，這樣在平面內,經過直線上同一點,就有兩條直線與垂直,顯然不可能.因此.設計意圖：通過證明，加深對性質定理的理解和記憶，教師板書示范，讓學生體會反證法的證明步驟.6.兩個距離.（1）過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過點有且只有一個平面與已知直線垂直.（2）從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.（3）一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.【師生活動】教師給出上述幾個概念，學生識記.讓學生分析兩個距離的聯(lián)系和區(qū)別.7.線面所成的角.類比直線與直線的夾角，得到直線與平面所成的角.一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫作這個平面的斜線，斜線與平面的交點叫作斜足，斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段.如圖,過平面外一點向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內的射影,線段就是斜線段在平面內的射影.平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角,叫作這條直線與這個平面所成的角.思考:線面角的范圍是多少?線面角多大時直線和平面垂直?學生思考、回答,教師總結.如果一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是直角;如果一條直線與平面平行或在平面內,那么稱它們所成的角是角.直線與平面所成的角的取值范圍是.設計意圖:讓學生學會類比思考問題,探索新知,推廣線面角的概念,得出類似于兩直線所成的角的相關內容,為后面學習平面與平面所成的角(二面角)做鋪墊.三、應用舉例例1證明:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.已知:(如圖).求證:.分析只要證明與平面內任意一條直線都垂直.證明設是內的任意一條直線.，則.例2已知:.求證:直線上各點到平面的距離相等.證明過直線上任意兩點分別作平面的垂線,垂足分別為(如圖).因為,所以.設經過直線和的平面為,則與的交線為直線.因為,所以,從而四邊形是平行四邊形,所以.故直線上各點到平面的距離相等.例3如圖,已知分別是平面的垂線和斜線,分別是垂足和斜足,,求證:.分析因為平面ABC，所以只要證明平面ABC.證明.例4如圖,已知在平面內,.求證:點在平面內的射影在的平分線上.證明作,垂足分別為,連接...同理.在和中,,所以Rt,從而.故點在平面內的射影在的平分線上.設計意圖：利用教材中的4個例題，使學生初步感受如何運用直線與平面垂直的性質定理、判定定理解決問題，明確運用線面垂直判定、性質定理的條件，提升邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng).【師生活動】教師引導學生理清思路，并做規(guī)范化的解答，為學生后面熟練的應用定理打下基礎.四、課堂小結1.本節(jié)課你學會了哪些判定直線與平面垂直的方法？（1）定義法：強調是“任何一條直線”.（2）判定定理法：必須是“兩條相交直線”.2.直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了什么數(shù)學思想方法？轉化、化歸、類比，先猜想后論證.3.線面垂直性質定理的實質是什么？線面垂直，線線平行4.如何求線面所成的角？通過作輔助線，轉化為求直線與直線所成的角.設計意圖：回顧和總結本節(jié)課的主要內容，優(yōu)化重組認識結構，并鼓勵學生多總結，多反思.【師生互動】學生發(fā)言，互相補充，教師點評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法.五、布置作業(yè)1.教材第171頁練習第5題；教材第173頁練習第6，7題.2.請借助信息網(wǎng)絡，以“生活中的垂直”為題，寫一篇數(shù)學應用小論文3.探究：（1）線面垂直判定定理的證明;（2）有沒有線面平行的相關結論類比推理成線面垂直的正確命題？設計意圖：進一步鞏固新知，提高運用直線與平面垂直的定義和判定定理解決問題的能力；研究性作業(yè)的設計可以提高學生獨立思考、自主探究的能力，滿足學有余力的同學需要.板書設計第2課時直線與平面垂直和直線與平面所成的角一、情境引入二、探索新知1.定義：a垂直于內的任意一條直線畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直2.定義應用3.（1）分組探究直線與平面垂直的判定定理（2）探究判定定理的實驗4.直線與平面垂直的判定定理如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直圖形語言：符號語言:若,則5.直線與平面垂直的性質定理（1）歸納定理文字語言:垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言:,則圖形語言：（2）證明定理（反證法）6.兩個距離7.線面所成的角如圖,過平面外一點向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內的射影,線段就是斜線段在平面內的射影平面的一條斜線與它在這個平面