2024年北京十一學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2024北京十一學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)（2024.1）考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（共12道小題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置1.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則此冪函數(shù)的解析式為A. B. C. D.2.已知點是角終邊上一點，則（）A. B. C. D.3.函數(shù)的值域為（）A. B. C. D.4.已知那么a，b，c的大小關(guān)系為A. B. C. D.5.若，且是第二象限角，則（）A. B. C. D.6.若數(shù)列滿足（），且，，則當(dāng)?shù)那皀項和取到最大值，n的值為（）A.5 B.6 C.7 D.87.函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.8.在等比數(shù)列中，，公比，記其前項的和為，則對于，使得都成立的最小整數(shù)等于（）A.6 B.3 C.4 D.29.已知扇形的圓心角為8rad，其面積是4，則該扇形的弧長是（）A.10cm B.8cmC.cm D.cm10.已知無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“存在無限項滿足”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.函數(shù)在上恒為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.12.形如(n是非負(fù)整數(shù))的數(shù)稱為費馬數(shù)，記為數(shù)學(xué)家費馬根據(jù)都是質(zhì)數(shù)提出了猜想:費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學(xué)家歐拉計算出不是質(zhì)數(shù)，那的位數(shù)是（）(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010)A.9 B.10 C.11 D.12二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置13.計算：____________．14.已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項和為____________．15.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，的等差中項為，則____________．16.在平面直角坐標(biāo)系中，動點在單位圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，每12分鐘轉(zhuǎn)動一周.若點的初始位置坐標(biāo)為，則運動到3分鐘時，動點所處位置的坐標(biāo)是____________.17.已知函數(shù)，若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________．18.已知數(shù)列各項均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個成立，且，．記．給出下列四個結(jié)論：①可能為等差數(shù)列；②中最大的項為；③不存在最大值；④的最小值為36．其中所有正確結(jié)論的序號是________．三、解答題（五個大題，一共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置19.已知是數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明你的結(jié)論；（3）若函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.21.（1）P是角的終邊上一點，已知點P的坐標(biāo)為，求和的值；（2）若，是方程的兩根，求m的值．22.已知首項為0的無窮等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前2n項和.23.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“飄移點”．（1）函數(shù)是否有“飄移點”？請說明理由；（2）證明函數(shù)在上有“飄移點”；（3）若函數(shù)在上有“飄移點”，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（共12道小題，每題5分，共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置1.【答案】A【分析】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，得到，求出，由此能求出此冪函數(shù)的解析式．【詳解】冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得，此冪函數(shù)的解析式為．故選A．【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式的求法，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2.【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由點是角終邊上一點，即點，可得，所以.故選：D.3.【答案】A【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)值域.【詳解】，，故的值域為.故選：A.【點睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】A【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【詳解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故選A．【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及指對函數(shù)的值域問題，屬于基礎(chǔ)題．5.【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，由題中條件先求正弦，進(jìn)而可求出正切【詳解】因為，且是第二象限角，所以，因此.故選：B.6.【答案】A【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求公差和通項公式，利用的符號性判斷前n項和的最值.【詳解】因為（），可知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，解得，可得，令，解得，可知時，；時，；所以當(dāng)時，的前n項和取到最大值.故選：A.7.【答案】C【分析】將函數(shù)的圖象進(jìn)行變換可得出函數(shù)的圖象，由此可得出合適的選項.【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象位于軸下方的圖象關(guān)于軸翻折，位于軸上方圖象不變，可得到函數(shù)的圖象.故合乎條件的圖象為選項C中的圖象.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：兩種常見的圖象翻折變換：，.8.【答案】A【分析】由題可得，即可得答案.【詳解】由題，，則.故選：A9.【答案】B【分析】根據(jù)扇形的弧長公式和面積公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因為扇形的圓心角為，其面積是，可得，解得，又由扇形的弧長公式，可得.故選：B.10.【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以存在無限項滿足成立，即充分性成立；反之：由等差數(shù)列的公差為，在數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，若存在無限項滿足成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即必要性成立，所以“”是“存在無限項滿足”充要條件.故選：C.11.【答案】D【分析】根據(jù)底數(shù)是，在上恒為正數(shù)，故在上恒成立，進(jìn)而解不等式就可以了．【詳解】解：由于底數(shù)是，從而在上恒為正數(shù)，故在上恒成立，即由于，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號；由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以．故選：．【點睛】本題主要考查對數(shù)型函數(shù)，一元二次函數(shù)值域問題，屬于中檔題．12.【答案】B【分析】,設(shè),兩邊取常用對數(shù)估算的位數(shù)即可.【詳解】,設(shè)，則兩邊取常用對數(shù)得.，故的位數(shù)是10，故選：B．【點睛】解決對數(shù)運算問題的常用方法：(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的簡化計算.二、填空題（共6個小題，每題5分，共30分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置13.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪的運算法則及對數(shù)的運算性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則及對數(shù)的運算性質(zhì)，可得：.故答案為：.14.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，解得，又因為，可得，又由，解得，所以.故答案為：.15.【答案】64【分析】根據(jù)等差中項結(jié)合等比數(shù)列通項公式運算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，的等差中項為，則，即，則，且，可知，解得，所以.故答案為：64.16.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出3分鐘轉(zhuǎn)過的角度，結(jié)合三角函數(shù)的定義計算點所處位置的坐標(biāo)．【詳解】解：由題意可得圖：每12分鐘轉(zhuǎn)動一周，則運動到3分鐘時，轉(zhuǎn)過的角為；點的初始位置坐標(biāo)為，若角的始邊為軸的非負(fù)半軸，此時角終邊所在直線為，則運動到3分鐘時，形成的角度為，所以動點所處位置的坐標(biāo)是．故答案為：．17.【答案】【分析】分和兩種情況，結(jié)合分段函數(shù)解析式分析可知方程在內(nèi)只有一個根，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.【詳解】令，當(dāng)時，則，即，解得；當(dāng)時，則由題意可知：方程在內(nèi)只有一個根，注意到二次函數(shù)的圖象開口向上，且，可得，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.18.【答案】③④【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.【詳解】當(dāng)時，由得，由得，于是與僅只一個為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯誤；令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項為1），若，則，，而，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時取等號，若，則，，而，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時取等號，從而的最小值為36，④正確；當(dāng)時，取，數(shù)列為：，滿足題意，取，，中最大的項不為，②錯誤；由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，所以所有正確結(jié)論的序號是③④.故答案為：③④【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.三、解答題（五個大題，一共60分），請將答案填寫到答題卡規(guī)定的位置19.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項求和法求得.【小問1詳解】當(dāng)時，由，得，則.當(dāng)時，有，符合上式.綜上，.【小問2詳解】由（1）得，，則.20.【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）由，求得x的范圍，可得函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)；（3）由f（x）0，利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性求出不等式的解集．【詳解】（1）由解得所以,故函數(shù)的定義域是.（2）函數(shù)是奇函數(shù).由（1）知定義域關(guān)于原點對稱.因為，所以函數(shù)是奇函數(shù).(3)由可得.得解得.【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域、奇偶性問題，考查了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．21.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到，且，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，代入即可求解；（2）根據(jù)題意，得到韋達(dá)定理得到，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：（1）由點的坐標(biāo)為，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，且，則.（2）由，是方程的兩根，可得，即，解得或.又因為，可得，所以，解得，當(dāng)時.滿足，所以.22.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）等差數(shù)列的公差為，由等比數(shù)列的性質(zhì)列式可得或，驗證可得，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2），由分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，成等比數(shù)列，所以，即，即，解得或.若，則，則，不能是等比數(shù)列中的項，故不符合題意.所以，,可得，，符合，，成等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】，所以.所以.23.【答案】（1）不存在，理由見詳解（2）證明見詳解（3）【分