全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)比賽一等獎(jiǎng)數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)（人教2024年新編）《解一元一次方程（第4課時(shí)去分母）》教學(xué)設(shè)計(jì)

5.2解一元一次方程（第4課時(shí)去分母）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.2解一元一次方程第4課時(shí)，內(nèi)容包括一元一次方程的去分母解法，歸納解一元一次方程的基本步驟，用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題.2.內(nèi)容解析去分母是解方程、不等式時(shí)常用的基本步驟之一，是一種同解變形，通過(guò)去分母可以使分?jǐn)?shù)系數(shù)方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)方程，從而使方程形式簡(jiǎn)化．本課是運(yùn)用去分母解方程的初次嘗試，其中進(jìn)一步滲透化歸思想．至此，在已學(xué)習(xí)過(guò)的解方程方法基礎(chǔ)上，可以得到解一元一次方程的一般步驟1：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．去分母是在保持方程的左右兩邊相等的前提下，把分?jǐn)?shù)系數(shù)方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)方程，其依據(jù)是等式性質(zhì)2，即在方程兩邊同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)，再運(yùn)用分配律進(jìn)行化簡(jiǎn)，將方程轉(zhuǎn)化為形式更簡(jiǎn)單的同解方程．基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：解含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程，歸納解一元一次方程的基本步驟，體會(huì)建立一元一次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）會(huì)通過(guò)去分母解一元一次方程．（2）歸納一元一次方程解法的一般步驟，體會(huì)解方程中化歸和程序化的思想方法．（3）體會(huì)建立方程模型的思想．2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：知道去分母的依據(jù)，會(huì)正確地去分母，把分?jǐn)?shù)系數(shù)方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)方程并求解．達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：通過(guò)對(duì)方程特征的研究和分析，歸納出解一元一次方程的一般步驟，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)方程解法的理解，體會(huì)其中蘊(yùn)含的程序化思想．達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：經(jīng)歷審題、列含有分母的一元一次方程并求解的過(guò)程，進(jìn)一步領(lǐng)悟方程思想．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析去分母使方程的系數(shù)都化為整數(shù)，可以使解方程過(guò)程中減少分?jǐn)?shù)運(yùn)算，從而使計(jì)算更加方便．本節(jié)課前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了除去分母以外的解一元一次方程的四種基本步驟，而對(duì)于含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程的解法還是初次接觸，不熟悉去分母的方法，在去分母的過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)不知應(yīng)乘以幾以及漏乘和對(duì)分?jǐn)?shù)線的理解不全面等錯(cuò)誤．因此，要讓學(xué)生明白去分母的目的及原理，多讓學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)例診斷，從而減少出錯(cuò)率．提醒學(xué)生注意分?jǐn)?shù)線有兩層意義，一方面它是除號(hào)，另一方面它又代表著括號(hào)，所以在去分母時(shí)，應(yīng)該將分子用括號(hào)括上．有些學(xué)生對(duì)解方程是逐步向“x=a”轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)理解仍不到位，所以教師應(yīng)繼續(xù)加以引導(dǎo)，讓學(xué)生深入理解解方程的本質(zhì)．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：準(zhǔn)確列出一元一次方程，正確地進(jìn)行去分母并解出方程．四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題問(wèn)題1：?jiǎn)栴}：如下圖，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山50km，距綠水70km.某天，一輛汽車勻速行駛，途經(jīng)王家莊、青山、綠水三地的時(shí)間如下表所示.王家莊距翠湖的路程有多遠(yuǎn)？地名王家莊青山綠水時(shí)間10:0013:0015:00師生活動(dòng)：學(xué)生審題后，教師提問(wèn)：追問(wèn)1：題中涉及哪些相等關(guān)系？追問(wèn)2：應(yīng)怎樣設(shè)未知數(shù)？如何根據(jù)相等關(guān)系列出方程？教師展示問(wèn)題，讓學(xué)生思考，獨(dú)立完成分析并經(jīng)歷以下思維過(guò)程．設(shè)王家莊距翠湖的路程為xkm，則王家莊距青山的路程為(x－50)km，王家莊距綠水的路程為(x+70)km.由表格可知，汽車從王家莊到青山的行駛時(shí)間為3h，從王家莊到綠水的行駛時(shí)間為5h.根據(jù)汽車在各段的行駛速度相等，列得方程.【設(shè)計(jì)意圖】由一道有關(guān)數(shù)學(xué)的問(wèn)題，引出帶有分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程，進(jìn)而討論用去分母解這類方程．利用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題，能再一次讓學(xué)生感受方程的實(shí)用價(jià)值.（二）合作交流，探究方法問(wèn)題2：這個(gè)方程與前面學(xué)過(guò)的一元一次方程有什么不同？怎樣解這個(gè)方程呢？師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生思考、回答，并嘗試解這個(gè)方程，學(xué)生代表將不同的解法在黑板展示交流．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，努力嘗試新的方法.問(wèn)題3：不同的解法各有什么特點(diǎn)？通過(guò)比較你認(rèn)為采用什么方法比較簡(jiǎn)便？師生活動(dòng)：學(xué)生討論之后，教師通過(guò)以下問(wèn)題明確去分母的方法和依據(jù)：追問(wèn)1：怎樣去分母呢？追問(wèn)2：去分母的依據(jù)是什么？學(xué)生思考后得出結(jié)論：（1）在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)可以去分母；（2）去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.師生共同分析解法：方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)15，得5(x－50)＝3(x＋70).去括號(hào)得，5x－250＝3x＋210.移項(xiàng)得，5x－3x＝250＋210.合并同類項(xiàng)，得2x=460.系數(shù)化為1，得x=230．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)同一方程不同解法的探索過(guò)程，使學(xué)生感受去分母方法的簡(jiǎn)便，同時(shí)理解去分母的目的和依據(jù)，進(jìn)而得出去分母的一般方法.問(wèn)題4：解方程：．師生活動(dòng)：教師展示問(wèn)題，師生共同完成如下分析過(guò)程．方程左邊=．注意：這里易犯的錯(cuò)誤：方程左邊=5×(3x+1)－2，應(yīng)提醒學(xué)生去分母時(shí)不能漏乘．提問(wèn)：方程右邊乘以10，化簡(jiǎn)的結(jié)果是什么？學(xué)生口答化簡(jiǎn)結(jié)果．方程右邊=(3x－2)－2(2x+3).教師用框圖展示解法的流程．追問(wèn)1：解含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程的步驟包括哪些？追問(wèn)2：以x為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)是什么？學(xué)生思考，總結(jié)并歸納出解一元一次方程的一般步驟，教師提示補(bǔ)充．【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生再次認(rèn)識(shí)去分母解一元一次方程的方法，歸納解一元一次方程的一般步驟，進(jìn)一步體會(huì)化歸的數(shù)學(xué)思想，在討論過(guò)程中互相補(bǔ)充思維中不嚴(yán)密、不完善的地方，加深對(duì)去分母的認(rèn)識(shí)，避免出現(xiàn)類似錯(cuò)誤．（三）典例分析例1：解下列方程：（1）；（2）．解：（1）去分母(方程兩邊乘4)，得2(x+1)－4=8+(2－x).去括號(hào)，得2x+2－4=8+2－x.移項(xiàng)，得2x+x=8+2－2+4.合并同類項(xiàng)，得3x=12.系數(shù)化為1，得x=4.（2）去分母（方程兩邊乘6），得18x+3(x－1)=18－2(2x－1).去括號(hào)，得18x+3x－3=18－4x+2.移項(xiàng)，得18x+3x+4x=18+2+3.合并同類項(xiàng)，得25x=23.系數(shù)化為1，得．師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生獨(dú)立完成過(guò)程，然后分組進(jìn)行交流，對(duì)錯(cuò)例進(jìn)行展示，找出錯(cuò)誤根源，歸納正確方法．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)實(shí)踐，加深對(duì)去分母解法的認(rèn)識(shí)．針對(duì)訓(xùn)練：解下列方程：（1）；（2）．解：（1）去分母（方程兩邊乘6），得(x－1)－2(2x+1)=6.去括號(hào)，得x－1－4x－2=6.移項(xiàng)，得x－4x=6+2+1.合并同類項(xiàng)，得－3x=9.系數(shù)化為1，得x=－3.（2）整理方程，得，去分母（方程兩邊乘30），得6(4x+9)－10(3+2x)=15(x－5).去括號(hào)，得24x+54－30－20x=15x－75.移項(xiàng)，得24x－20x－15x=－75－54+30.合并同類項(xiàng)，得－11x=－99.系數(shù)化為1，得x=9.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固利用去分母解方程的方法．（四）當(dāng)堂鞏固1.方程去分母正確的是(C)A.3－2(5x+7)=－(x+17)B.12－2(5x+7)=－x+17C.12－2(5x+7)=－(x+17)D.12－10x+14=－(x+17)2.若代數(shù)式與的值互為倒數(shù)，則x=.3.解下列方程：（1）；（2）．答案：（1）；（2）．4.某單位計(jì)劃“五一”期間組織職工到東江湖旅游，如果單獨(dú)租用40座的客車若干輛剛好坐滿；如果租用50座的客車則可以少租一輛，并且有40個(gè)剩余座位．該單位參加旅游的職工有多少人？解：設(shè)該單位參加旅游的職工有x人，由題意得方程：，解得x＝360.答：該單位參加旅游的職工有360人.5.有一人問(wèn)老師，他所教的班級(jí)有多少學(xué)生，老師說(shuō)：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂(lè)，七分之一的學(xué)生在學(xué)外語(yǔ)，還剩六位學(xué)生正在操場(chǎng)踢足球．”你知道這個(gè)班有多少學(xué)生嗎？解：這個(gè)班有x名學(xué)生，依題意得，解得x=56.答：這個(gè)班有56個(gè)學(xué)生.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視，教師注意收集錯(cuò)例進(jìn)行展示，由學(xué)生分析錯(cuò)誤原因，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找出簡(jiǎn)便的方法．學(xué)生完成練習(xí)之后，教師提問(wèn)：解一元一次方程的一般步驟，是否是固定不變的？學(xué)生帶著問(wèn)題討論得出：解方程要先觀察方程的特點(diǎn)，根據(jù)不同特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)?、?jiǎn)便的方法，采取靈活、合理的步驟，不能生搬硬套、機(jī)械模仿．【設(shè)計(jì)意圖】及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)．至此，前后呼應(yīng)，體現(xiàn)了本章問(wèn)題解決的主線．讓學(xué)生理解解方程的步驟不是固定不變的，而是可以根據(jù)一元一次方程的不同形式靈活改變解題順序的．（五）能力提升“墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路.上帝給予的童年占六分之一.又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡.再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃結(jié)婚的蠟燭.五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓．悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途.”解：設(shè)丟番圖活了x歲，據(jù)題意得，解得x=84.答：丟番圖活了84歲.（六）感受中考（2023?衢州）小紅在解方程時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤：（1）請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處．（2）寫(xiě)出你的解答過(guò)程．解：（1）如圖：（2）去分母：2×7x＝(4x－1)＋6，去括號(hào)：14x＝4x－1＋6，移項(xiàng)：14x－4x＝－1＋6，合并同類項(xiàng)：10x＝5，系數(shù)化1：．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)．（七）課堂小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2.去分母的依據(jù)是什么？去分母的作用是什么？3.用去分母解一元一次方程時(shí)應(yīng)該注意什么？4.去分母時(shí)，方程兩邊所乘的數(shù)是怎樣確定的？【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)鞏固、提升總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)反思．（八）布置作業(yè)P130：習(xí)題5.2：第3題.P131：習(xí)題5.2：第15、16題.五、教學(xué)反思在解一元一次方程時(shí)，要使學(xué)生朝著解方程的目標(biāo)方向進(jìn)行變形，即最終使方程變成形如x=a（已知數(shù)）的形式，而解方程的各種步驟都是針對(duì)現(xiàn)有方程的形式特征，為逐步接近最終目標(biāo)而實(shí)施的，即在保持方程左右兩邊相等關(guān)系的前提之下，逐步使方程向x=a的方向變形：簡(jiǎn)單的變形——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)——較為復(fù)雜的變形——去括號(hào)與去分母，而復(fù)雜的變形又往往包含簡(jiǎn)單的變形，從而使“未知”逐步轉(zhuǎn)化為“已知”，學(xué)生要能夠理解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會(huì)解方程過(guò)程中蘊(yùn)涵的化歸思想和程序化思想．在學(xué)習(xí)“去分母”解一元一次方程時(shí)，要結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)進(jìn)行，即先列出方程，然后討論如何解方程．而列方程是建立在分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，關(guān)鍵是找出適當(dāng)?shù)南嗟汝P(guān)系，并將其用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言正確表達(dá)，即建立問(wèn)題的方程模型．因此通過(guò)這一節(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生要逐步能夠找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程表示問(wèn)題中的相等關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想．第五章一元一次方程5.2解一元一次方程（4）【教學(xué)目標(biāo)】1.讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中方程的特點(diǎn)，學(xué)習(xí)一元一次方程的解法,會(huì)解含有分母的一元一次方程；2.體驗(yàn)通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)系數(shù)化為1得到方程解的轉(zhuǎn)化過(guò)程；通過(guò)探究與發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的辯證思想.3.體會(huì)建立一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟和基本思想，發(fā)展學(xué)生的推理和運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)模型思想.【教學(xué)重點(diǎn)】解含有分母一元一次方程.【教學(xué)難點(diǎn)】去分母.【教學(xué)過(guò)程】 一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了解一元一次方程，本節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)含有分母的一元一次方程解法，5.2解一元一次方程（4）（板書(shū)課題）合作探究活動(dòng)一：探究解含有分母的一元一次方程問(wèn)題1.如圖5.2-1，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山，距綠水.某天，一輛汽車勻速行駛，途經(jīng)王家莊、青山、綠水三地的時(shí)間如表5.2-1所示.王家莊距翠湖的路程有多遠(yuǎn)?教師活動(dòng)：追問(wèn)1.需要求的量是什么？需要求的量與已知量之間有什么等量關(guān)系？追問(wèn)2.如果設(shè)王家莊距翠湖的路程為，那么王家莊距青山的路程是多少？王家莊距綠水的路程為多少？追問(wèn)3.汽車在王家莊距青山行駛的時(shí)間是多少？速度是多少？汽車在王家莊到綠水行駛的時(shí)間是多少？速度是多少？?jī)啥蔚男旭偹俣戎g的關(guān)系如何？學(xué)生活動(dòng)：尋找等量關(guān)系，列方程，嘗試解方程.師生共同完成以上活動(dòng)，得到方程為.教師活動(dòng)：你還能列得其他方程嗎？試一試.探究解方程：教師活動(dòng)：追問(wèn)：觀察這個(gè)方程和前面學(xué)習(xí)的方程有什么不同？追問(wèn)2.你有什么解決問(wèn)題的想法？學(xué)生活動(dòng)：這個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)不是整數(shù)，如果能化去分母，把未知數(shù)的系數(shù)化成整數(shù)，就可以使解方程中的計(jì)算更簡(jiǎn)便些.教師活動(dòng)：追問(wèn)：怎樣去分母？依據(jù)是什么？學(xué)生活動(dòng)：討論得到：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)（這個(gè)數(shù)是各分母的最小公倍數(shù)）結(jié)果仍相等.這個(gè)方程中是各分母的最小公倍數(shù)15，方程兩邊都乘15.師生共同解方程：方程兩邊同乘以15，去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得所以，王家莊距翠湖的路程有活動(dòng)二：歸納解一元一次方程的一般步驟教師活動(dòng)：從上面的解一元一次方程的過(guò)程，你能歸納出解一元一次方程的一般步驟嗎？其依據(jù)有那些？師生共同歸納：解一元一次方程的一般步驟包括:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等.通過(guò)這些步驟，可以使以x為未知數(shù)的一元一次方程逐步轉(zhuǎn)化為x=m的形式。這個(gè)過(guò)程主要依據(jù)等式的性質(zhì)和運(yùn)算律等.活動(dòng)三：解一元一次方程解下列方程：學(xué)生活動(dòng)：討論怎樣解方程，并完成解方程.教師活動(dòng)：指導(dǎo)學(xué)生解方程，并示范寫(xiě)出解題過(guò)程.師生強(qiáng)調(diào)：按解一元一次方程的步驟進(jìn)行解方程；提出注意：去分母時(shí)，方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)，所有的項(xiàng)都要乘，不能漏乘；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要乘以括號(hào)前的因數(shù)，是負(fù)號(hào)的可以看成“-1”；移項(xiàng)要注意變號(hào)等.活動(dòng)四：探究與發(fā)現(xiàn)無(wú)限循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)問(wèn)題：我