高等數(shù)學(xué)第七章習(xí)題課 歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫(kù)研發(fā)工作室QQ群：928812498

一階微分方程的習(xí)題課(一)一、一階微分方程求解二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題解法及應(yīng)用

第七章歡迎加入湘潭大學(xué)期末考試復(fù)習(xí)資料庫(kù)研發(fā)工作室QQ群：928812498班級(jí)集體復(fù)印復(fù)習(xí)資料超級(jí)便宜??！拒絕高價(jià)壟斷?。?！請(qǐng)各班學(xué)委/班長(zhǎng)先聯(lián)系群主哦！一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解變量代換法代換因變量代換某組合式三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型可分離變量方程齊次方程線性方程代換自變量例1.求下列方程的通解提示:(1)故為分離變量方程:通解(2)

這是一個(gè)齊次方程，令y=ux,化為分離變量方程:方程兩邊同除以x

即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線性方程通解公式求解.化為例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)將方程改寫(xiě)為(伯努利方程)(分離變量方程)原方程化為令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為例3.設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿足以下條件:(1)求F(x)所滿足的一階微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表達(dá)式.解:(1)所以F(x)滿足的一階線性非齊次微分方程:(2)由一階線性微分方程解的公式得于是練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P353題2求以為通解的微分方程.提示:消去

C

得P353題3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分離變量方程:提示:

這是一階線性方程,其中P353題1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示:

可化為關(guān)于

x

的一階線性方程提示:

為伯努利方程,令提示:可化為伯努利方程令公式提示:

為可降階方程,令原方程化為,即則故原方程通解提示:令二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題利用共性建立微分方程,利用個(gè)性確定定解條件.關(guān)鍵問(wèn)題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):P354題5.

已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:

設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱二階微分方程的習(xí)題課(二)二、微分方程的應(yīng)用

解法及應(yīng)用一、兩類(lèi)二階微分方程的解法

第七章歡迎加入湘潭大學(xué)考試資料群：579654451一、兩類(lèi)二階微分方程的解法

1.可降階微分方程的解法—降階法令令逐次積分求解2.二階線性微分方程的解法

常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法練習(xí)題:P353題2

(2);3(6),(7);

4(2)；

解答提示P353題2(2)

求以為通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根為故特征方程為因此微分方程為P353題3

求下列微分方程的通解提示:(6)令則方程變?yōu)樘卣鞲?齊次方程通解:令非齊次方程特解為代入方程可得思考若(7)中非齊次項(xiàng)改為提示:原方程通解為特解設(shè)法有何變化?P354題4(2)

求解提示:

令則方程變?yōu)榉e分得利用再解并利用定常數(shù)思考若問(wèn)題改為求解則求解過(guò)程中得問(wèn)開(kāi)方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定?特征根:例1.求微分方程提示:故通解為滿足條件解滿足處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解:代入方程定A,B,得得處的銜接條件可知,解滿足故所求解為其通解:定解問(wèn)題的解:例2.且滿足方程提示:

則問(wèn)題化為解初值問(wèn)題:最后求得思考:

設(shè)提示:

對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:

作業(yè)

P3533(1)(7)

(7);4(2)；