2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章概率2古典概型2.2古典概型的應(yīng)用一學(xué)案含解析北師大版必修第一冊

PAGE1-2.2古典概型的應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解互斥事務(wù)概率加法公式、對立事務(wù)的概率公式，并能應(yīng)用公式解決應(yīng)用問題．(重點、易混點)2．駕馭較困難的古典概型的概率計算問題的解法．(重點、難點)1．通過對互斥事務(wù)概率加法公式、對立事務(wù)的概率公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過解決較困難的古典概型的概率問題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．互斥事務(wù)的概率加法公式(1)在一個試驗中，假如事務(wù)A和事務(wù)B是互斥事務(wù)，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．特殊地，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．(2)一般地，假如事務(wù)A1，A2，…，An是互斥事務(wù)，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思索：(1)設(shè)事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)，事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)，那么事務(wù)A＋B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？[提示]不肯定．當(dāng)事務(wù)A與B互斥時，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；當(dāng)事務(wù)A與B不互斥時，P(A＋B)≠P(A)＋P(B).(2)從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參與市運動會服務(wù)工作，記“其中至少有3名女同學(xué)”為事務(wù)A，那么事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)是什么？[提示]事務(wù)A的對立事務(wù)eq\x\to(A)是“其中至多有2名女同學(xué)”．1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7C[∵“摸出黑球”是“摸出紅球或摸出白球”的對立事務(wù)，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.]2．甲、乙兩隊進(jìn)行足球競賽，若兩隊?wèi)?zhàn)平的概率是eq\f(1,4)，乙隊勝的概率是eq\f(1,3)，則甲隊勝的概率是________．eq\f(5,12)[記甲隊勝為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).]3．中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參與奧運會乒乓球女子單打競賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________．eq\f(19,28)[由于事務(wù)“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事務(wù)“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事務(wù)概率的加法公式進(jìn)行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).]互斥事務(wù)的概率加法公式及應(yīng)用【例1】一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(1)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三：(利用對立事務(wù)求概率)(1)由法二知，取出1球為紅球或黑球的對立事務(wù)為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事務(wù)為A3∪A4，所以取得1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事務(wù)為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).概率公式的應(yīng)用(1)互斥事務(wù)的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個特別重要的公式，運用該公式解題時，首先要分清事務(wù)間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事務(wù)分拆為幾個互斥事務(wù)，然后求出各事務(wù)的概率，用加法公式得出結(jié)果．(2)當(dāng)干脆計算符合條件的事務(wù)個數(shù)比較煩瑣時，可間接地先計算出其對立事務(wù)的個數(shù)，求得對立事務(wù)的概率，然后利用對立事務(wù)的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事務(wù)的概率．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在數(shù)學(xué)考試中，小王的成果在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上(含80分)成果的概率；(2)小王數(shù)學(xué)考試及格的概率．[解]設(shè)小王的成果在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分別為事務(wù)A，B，C，且A，B，C兩兩互斥．(1)設(shè)小王的成果在80分以上(含80分)為事務(wù)D，則D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)設(shè)小王數(shù)學(xué)考試及格為事務(wù)E，由于事務(wù)E與事務(wù)C為對立事務(wù)，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.有序和無序型問題【例2】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．[解](1)每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有6個，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．總的事務(wù)個數(shù)為6，而且可以認(rèn)為這些樣本點是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”這一事務(wù)，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．因為事務(wù)A由4個樣本點組成，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其全部可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9個樣本點組成．由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會均等，因此可以認(rèn)為這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事務(wù)，則B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事務(wù)B由4個樣本點組成，因而P(B)＝eq\f(4,9).解決有序和無序問題應(yīng)留意兩點(1)關(guān)于不放回抽樣，計算樣本點個數(shù)時，既可以看做是有依次的，也可以看做是無依次的，其最終結(jié)果是一樣的．但不論選擇哪一種方式，視察的角度必需一樣，否則會產(chǎn)生錯誤．(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)留意在連續(xù)取出兩次的過程中，因為先后依次不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一個樣本點．解題的關(guān)鍵是要清晰無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會都是均等的．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一個袋中裝有四個形態(tài)、大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機(jī)取一個球，該球的編號為n，求n＜m＋2的概率．[解](1)從袋中隨機(jī)取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個．從袋中取出的兩個球的編號之和不大于4的事務(wù)有：1和2，1和3，共2個，因此所求事務(wù)的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個球，登記編號為m，放回后，再從袋中隨機(jī)取一個球，登記編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個．又滿意條件n≥m＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3個．所以滿意條件n≥m＋2的事務(wù)的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿意條件n＜m＋2的事務(wù)的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).較困難的古典概型問題[探究問題]1．計算樣本點的個數(shù)的方法包含哪些？提示：列舉法，列表法和樹狀圖法等．2．列表法和樹狀圖法分別適用于什么情形？提示：列表法適合于較簡潔的試驗的題目，樣本點較多的試驗不適合用列表法；樹狀圖法適合于較困難的試驗的題目．【例3】有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨意就坐時．(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率．[思路點撥]eq\x(利用樹狀圖法列舉事務(wù))→eq\x(計算樣本點個數(shù))→eq\x(利用古典概型概率公式計算概率)[解]將A，B，C，D四位貴賓就座狀況用下面圖形表示出來：如上圖所示，本題中的樣本點的總數(shù)為24.(1)設(shè)事務(wù)A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事務(wù)A只包含1個樣本點，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事務(wù)B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”，則事務(wù)B包含9個樣本點，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).1．求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解]設(shè)事務(wù)C為“這四個人恰有1位坐在自己席位上”，則事務(wù)C包含8個樣本點，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2．求這四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事務(wù)E為“這四人中有2人坐在自己的席位上”，則事務(wù)E包含6個樣本點，則D＝A＋E,且事務(wù)A與E為互斥事務(wù)，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＝eq\f(7,24).法二：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，則eq\x\to(D)＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－eq\f(3,8)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,24).1．當(dāng)事務(wù)個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進(jìn)行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰精確地列出全部的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的狀況．2．在求概率時，若事務(wù)可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標(biāo)系中的點表示，即采納圖表的形式可以精確地找出樣本點的個數(shù)．故采納數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來便利．1．互斥事務(wù)概率的加法公式是一個很基本的計算公式，解題時要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥，只有互斥事務(wù)才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).2．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)；(2)先求其對立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若A與B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)＝1. ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與B為對立事務(wù)． ()(3)某班統(tǒng)計同學(xué)們的數(shù)學(xué)測試成果，事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對立事務(wù)為“全部同學(xué)的成果都在60分以下”． ()[提示](1)錯誤．只有當(dāng)A與B為對立事務(wù)時，P(A)＋P(B)＝1.(2)錯誤．(3)錯誤．事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對立事務(wù)為“至少有一個同學(xué)的成果在60分以下”．[答案](1)×(2)×(3)×2．甲、乙