四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含解析

安寧河聯(lián)盟2023～2024學(xué)年度上期高中2022級期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考試時間共120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.93.已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.4.一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到標號?和3的號簽”，事件“兩張?zhí)柡灅颂栔蜑?”，則下列說法正確的是（）A.與互斥 B.與獨立 C.與對立 D.5.設(shè)橢圓的焦點分別為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，則的周長為（）A.6 B.8 C.10 D.166.某學(xué)校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為，和樣本方差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.207.橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓上一點，為坐標原點.若，，，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.8.如圖所示，正方體的棱長為4，，分別是棱，上的動點，且，當四點共面時，點到平面的距離為（）A. B. C. D.3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量第65百分位數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差10.以下四個命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點不同B.，為橢圓的左、右焦點，則該橢圓上存在點滿足C.曲線漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的充要條件11.已知直線和圓相交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.的最小值為C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，的面積的最大值為B.當時，三棱雉的體積為定值C.當時，的最小值為D.當時，不存在點，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線，，當直線與垂直時，________.14.甲乙兩人參加一場比賽，假設(shè)甲乙獲勝的概率分別為，，則兩人中至少有一人獲勝的概率為________.15.點關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱點的坐標為______．16.已知是圓上一點，過點作垂直于軸的直線，垂足為，點滿足.若點，，則的取值范圍是________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點.（1）求直線的方程.（2）直線恒過定點，求點到直線的距離.18.2023年中國田協(xié)召開了2023路跑工作會議，會議對《2022年中國田徑協(xié)會路跑管理文件匯編》進行了修訂.新版在年齡組別上調(diào)整為8個：34歲以下組、35-39歲組、40-44歲組、45-49歲組、50-54歲組、55-59歲組、60-64歲組、65歲以上組.現(xiàn)抽取了1000名年齡在35-64歲的參賽人員，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并估計這1000人年齡的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的人數(shù)中抽取一個容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，求這兩人中至少一人的年齡在中的概率.19.將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.如圖，已知圓，點.（1）求圓心在直線上，經(jīng)過點且與圓相外切的圓的方程；（2）若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.21.過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使該弦被點平分.（1）求該弦所在的直線方程；（2）求該弦的弦長.22.已知橢圓的右頂點，過點的直線與橢圓交于，兩點（，異于點），當直線與軸垂直時，.（1）求橢圓C的方程；（2）求面積的取值范圍.安寧河聯(lián)盟2023～2024學(xué)年度上期高中2022級期末聯(lián)考數(shù)學(xué)考試時間共120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級、準考證號用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間直角坐標系中點在坐標平面的投影確定點坐標再表示向量即可.【詳解】根據(jù)題意點在坐標平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)得到平均數(shù)為.【詳解】已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，記數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.3.已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷動點的軌跡形狀，利用待定系數(shù)法即可求得軌跡方程.【詳解】因為，，所以，動點滿足，由雙曲線的定義可知，動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動點的軌跡方程為.故選：D.4.一個盒子中裝有標號為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到標號?和3的號簽”，事件“兩張?zhí)柡灅颂栔蜑?”，則下列說法正確的是（）A.與互斥 B.與獨立 C.與對立 D.【答案】A【解析】【分析】由互斥事件，對立事件，獨立事件的定義判斷ABC選項，古典概型計算概率判斷選項D.【詳解】根據(jù)題意，選取兩張?zhí)柡炗帽硎疽淮螌嶒灲Y(jié)果，則隨機試驗結(jié)果的樣本空間，，.對A，，所以與互斥，故A選項正確；對B，，，，所以，與不獨立，故B選項錯誤；對C，，，所以與不對立，故C選項錯誤；對D，，故D選項錯誤.故選：A.5.設(shè)橢圓的焦點分別為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，則的周長為（）A.6 B.8 C.10 D.16【答案】D【解析】【分析】利用橢圓定義直接求出的周長.【詳解】橢圓長半軸長，所以的周長為.故選：D6.某學(xué)校高一高二年級共1000人，其中高一年級400人，現(xiàn)按照年級進行分層隨機抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個年級的樣本平均數(shù)分別為，和樣本方差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的方差公式計算即可得.【詳解】總體樣本平均數(shù)，.故選：B.7.橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓上一點，為坐標原點.若，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意求出c值，利用勾股定理即可求得的值，結(jié)合橢圓定義求出a，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的幾何性質(zhì)，可知點是線段的中點，，所以：，即得，而，解得：，所以：，故，所以：，故選：A.8.如圖所示，正方體的棱長為4，，分別是棱，上的動點，且，當四點共面時，點到平面的距離為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由面面平行的性質(zhì)得到，又，故，分別為，的中點，有等體積法求出點到平面的距離.【詳解】因為平面與平面平行，當四點共面時，由面面平行的性質(zhì)可得，又，故此時，分別為，的中點，連接EF，設(shè)點到平面的距離為，點到平面的距離為，，即.其中，，，，取的中點，連接，則⊥，，故，，所以.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差【答案】ABC【解析】【分析】ABC選項，由極差，百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求出答案；D選項，根據(jù)圖形及方差的意義得到D錯誤.【詳解】A選項，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為，故A正確；B選項，，結(jié)合A選項可知第65百分位數(shù)為第7個數(shù)33，故B正確；C選項，從小到大，選取第5個和第6個的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為，故C正確；D選項，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動小于后5年的糧食產(chǎn)量波動，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯誤；故選：ABC.10.以下四個命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點不同B.，為橢圓的左、右焦點，則該橢圓上存在點滿足C.曲線的漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點在軸上的橢圓”是“”的充要條件【答案】CD【解析】【分析】A選項，求出雙曲線和橢圓方程的焦點坐標，判斷A錯誤；B選項，求出，故點的縱坐標為2或即可，根據(jù)橢圓上點的有界性判斷B錯誤；C選項，根據(jù)雙曲線漸近線方程公式求出答案；D選項，根據(jù)焦點所在位置得到不等式，求出，D正確.【詳解】A選項，雙曲線，即，焦點在軸上，由于，故其焦點為，，而橢圓，焦點在軸上，且，故焦點為，，故A錯誤；B選項，橢圓，則，，即，所以，，則，要使，則，即，即點的縱坐標為2或即可，而橢圓上的點縱坐標取值范圍為，則不存在點滿足，故B錯誤；C選項，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；D選項，曲線，若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得，故D正確.故選：CD.11.已知直線和圓相交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.的最小值為C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則【答案】AC【解析】【分析】A選項，直線變形后求出定點坐標；B選項，數(shù)形結(jié)合得到當時，圓心到直線的距離最大，最小，由垂徑定理求出的最小值；C選項，表達出，求出最小值；D選項，由題可得圓心到直線的距離，從而求出.【詳解】A選項，根據(jù)題意變形為，故直線過定點，A正確；B選項，由題意可知，當時，圓心到直線的距離最大，此時最小，其中，此時，B錯誤；C選項，的圓心為，半徑，，因為的最小值為，所以的最小值為，C正確；D選項，，因為圓上到直線的距離為的點恰好有三個，所以圓心到直線的距離，即，解得，D錯誤；故選：AC.12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當時，的面積的最大值為B.當時，三棱雉的體積為定值C.當時，的最小值為D.當時，不存在點，使得【答案】ABC【解析】【分析】當時，當點與重合時，證得，結(jié)合，可判定A正確；當時，得到點在上運動，根據(jù)，可判定B正確；設(shè)的中點為，的中點為，得到點在線段上運動，當點運動到線段的中點時，，求得，可判定C正確；當時，設(shè)的中點為，的中點為，得到點在上運動，當點與點重合時，證得；當點與點重合時，，可判定D錯誤；【詳解】對于A中，當時，，則點在上運動，則當點與重合時，則此時面積取得最大值，，由于直三棱柱，則，為等腰直角三角形，則，又由，面，則面，因為面，所以，則，故選項A正確；對于B中，當時，則，點在上運動，則，由于點到平面的距離為定值，點到線段的距離恒為，則，則，故選項B正確；對于C中，設(shè)的中點為，的中點為，當時，，則點在線段上運動，因為，，所以當點運動到線段的中點時，，此時，所以，故選項C正確；對于D中，當時，，設(shè)的中點為，的中點為，則點在上運動，當點與點重合時，，，因為，平面，則面，又因為面，則，當點與點重合時，面，即面，則，故選項D錯誤；故選：ABC.【點睛】方法點睛：1、立體幾何中的動態(tài)問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動角的范圍等問題；2、解答方法：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程；3、對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點的坐標，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線，，當直線與垂直時，________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由兩條直線的位置關(guān)系，列出方程，即可求解；【詳解】由直線，，因為直線與垂直，所以，解得.故答案為：.14.甲乙兩人參加一場比賽，假設(shè)甲乙獲勝的概率分別為，，則兩人中至少有一人獲勝的概率為________.【答案】##0.625【解析】【分析】先求出兩人均沒有獲勝的概率，再利用對立事件求概率公式求出答案.【詳解】兩人均沒有獲勝的概率為故兩人中至少有一人獲勝的概率為.故答案為：.15.點關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)點(3,4)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標是，根據(jù)垂直和中點列方程組可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標為，則，解得，所以點（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對稱的點的坐標為．故答案為：16.已知是圓上一點，過點作垂直于軸的直線，垂足為，點滿足.若點，，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意先求出點的軌跡方程，得知它的軌跡為以點，為焦點的橢圓，由橢圓的定義可將化簡為，結(jié)合焦半徑的范圍即可得解.【詳解】由題意設(shè)，所以，因為，所以.將點帶入圓，則點滿足橢圓的方程.所以，又，即，當時，最大，最小且為；當或時，最小，最大且為，即，即，所以的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是得到點的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義化簡表達式即可進一步得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點.（1）求直線的方程.（2）直線恒過定點，求點到直線的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線斜率，由點斜式求出直線方程；（2）直線變形后求出定點坐標，進而由點到直線距離公式求出答案.【小問1詳解】由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點，∴由直線的點斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；【小問2詳解】∵直線化簡得：，∴定點，則點到直線的距離，∴到直線的距離為.18.2023年中國田協(xié)召開了2023路跑工作會議，會議對《2022年中國田徑協(xié)會路跑管理文件匯編》進行了修訂.新版在年齡組別上調(diào)整為8個：34歲以下組、35-39歲組、40-44歲組、45-49歲組、50-54歲組、55-59歲組、60-64歲組、65歲以上組.現(xiàn)抽取了1000名年齡在35-64歲的參賽人員，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并估計這1000人年齡的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的人數(shù)中抽取一個容量為5的樣本，再從樣本中任意抽取2人，求這兩人中至少一人的年齡在中的概率.【答案】（1），中位數(shù)為46.5（2）【解析】【分析】（1）由概率之和為1計算即可得，借助中位數(shù)的性質(zhì)計算即可得中位數(shù)；（2）由分層抽樣可確定兩組的具體人數(shù)，再計算概率即可得.【小問1詳解】由題可得，∴，∵的頻率為，的頻率為，∴中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，∴，即中位數(shù)為46.5.【小問2詳解】∵的頻率為，的頻率為，∴這兩組的頻率之比為，∴抽取的人數(shù)為：（人），記為，，，抽取的人數(shù)為：（人），記為，，則5人中抽取2人的基本事件包含：、，共10種，其中至少1人在的基本事件包含：，共有7種.∴這兩人中至少1人的年齡在中的概率為.19.將長方體沿截面截去一個三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，進而得到線線平行，得到線面平行；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，從而得到線面角的正弦值.【小問1詳解】連接，如圖所示，∵長方形中，，分別是，的中點，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面【小問2詳解】以點為原點，，所在直線為軸，軸，以點為垂足，垂直于平面直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為，則有，令，則，，即，設(shè)為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.如圖，已知圓，點.（1）求圓心在直線上，經(jīng)過點且與圓相外切的圓的方程；（2）若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到圓的圓心坐標為，設(shè)圓的圓心坐標為，結(jié)合,列出方程，求得解得，進而得到圓的方程；（2）根據(jù)題意，得到點到直線的距離為，分直線的斜率不存在和直線的斜率存在，兩種情況，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，求得的值，進而求得直線的方程.【小問1詳解】解：由，化為標準方程得所以圓的圓心坐標為，又因為圓的圓心在直線上，所以當兩圓外切時，切點為，設(shè)圓的圓心坐標為，因為在圓上，可得，則有解得，所以圓的圓心坐標為，半徑，故圓的方程為.【小問2詳解】解：因為圓弧恰為圓周長的，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點到直線的距離為，①當直線的斜率不存在時，點到軸的距離為，直線即為軸，此時直線的方程為.②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方