2024-2025學(xué)年四川省自貢市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省自貢市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相離 C．內(nèi)切 D．外切2．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（

）A． B． C． D．4．橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為（）A． B．2 C． D．45．已知直線，雙曲線，則（

）A．直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B．直線與雙曲線的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)C．直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)D．直線與雙曲線的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)6．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．傾斜角為的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線過右焦點(diǎn)，則此雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）A． B．C． D．10．如圖，已知點(diǎn)，是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧，是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧，三段圓弧構(gòu)成曲線，則（

）

A．曲線與軸圍成的面積等于B．與的公切線的方程為C．所在圓與所在圓的相交弦所在直線的方程為D．所在圓截直線所得弦的弦長為11．已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1三、填空題（本大題共3小題）12．若，，則.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)點(diǎn)的軌跡為.則的方程為.14．已知橢圓：，，為其左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任一點(diǎn)，的重心為G，I是內(nèi)心，且有（其中為實(shí)數(shù)），橢圓的離心率.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切.(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.16．某學(xué)校組織全校學(xué)生進(jìn)行了一次“兩會(huì)知識知多少”的問卷測試．已知所有學(xué)生的測試成績均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的測試成績，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值，并估算這40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)現(xiàn)學(xué)校準(zhǔn)備利用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從和的學(xué)生中抽取7人組成兩會(huì)知識宣講團(tuán)．①求應(yīng)從和學(xué)生中分別抽取的學(xué)生人數(shù)；②從選定的7人中隨機(jī)抽取2人對高一同學(xué)進(jìn)行宣講，設(shè)事件“至少有1人測試成績位于區(qū)間”，求事件A的概率．17．已知雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)若直線交雙曲線于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是弦的中點(diǎn)，求的面積.18．如圖，在四棱錐中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且.(1)求證:CD平面PAD;(2)求二面角的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)G在線段PB上，且直線AG在平面AEF內(nèi)，求的值.19．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，其離心率為，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于，且.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線分別與橢圓交于.①若直線斜率存在，過點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；②求四邊形面積的取值范圍.

答案1．【正確答案】D求出兩圓圓心以及半徑，再由圓心距與兩圓半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.【詳解】由題意圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，即兩圓外切故選：D2．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以，所以，故選：A3．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.【詳解】記2名男生為，2名女生為，任意選出兩人的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，恰好一男一女生的事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故選A.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，求出，根據(jù)，解出的值即可.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴，可得，.∵長軸長是短軸長的2倍，∴，解得故選：D.5．【正確答案】C【分析】發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn)的右邊，聯(lián)立直線與雙曲線方程并畫出圖形即可得到答案.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象如圖所示：由圖可知直線過點(diǎn)，它在雙曲線的右頂點(diǎn)的右邊，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，解得或，則直線與雙曲線的右支有兩個(gè)公共點(diǎn).故選：C.6．【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為.故選A.7．【正確答案】A【分析】由垂直平分線性質(zhì)定理可得，運(yùn)用解直角三角形知識和雙曲線的定義，求得，結(jié)合勾股定理，可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而得到a，b的關(guān)系，即可得到所求雙曲線的漸近線方程．【詳解】解：如圖為線段AB的垂直平分線，可得，且，可得，，由雙曲線的定義可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，，則漸近線方程為．故選A．本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形，注意運(yùn)用雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．【正確答案】B【詳解】直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故圓心是，半徑為則點(diǎn)的方程是令，因?yàn)?，所以，則所以，可得點(diǎn)則.

9．【正確答案】ABD【詳解】由于是空間的一個(gè)基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對于C，由于，因此這三個(gè)向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底.故選：ABD10．【正確答案】BC【詳解】對于A，，，所在圓的方程分別為，，，曲線與軸圍成的圖形為一個(gè)半圓、一個(gè)矩形和兩個(gè)圓，其面積為，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)與的公切線方程為，則，所以，，所以與的公切線的方程為，即，故B正確；對于C，由及兩式相減得，即公共弦所在直線方程，故C正確；對于D，所在圓的方程為，圓心為，圓心到直線的距離為，則所求弦長為，故D錯(cuò)誤.故選BC.11．【正確答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號．故的最大值為，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問題里面的應(yīng)用.12．【正確答案】【詳解】,則，故13．【正確答案】【詳解】由題，點(diǎn)M的軌跡是為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支，故可設(shè)C的方程為，由題：，解得：,故C的方程為.故．14．【正確答案】/0.5【詳解】設(shè)為的重心，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴IG∥x軸或IG兩點(diǎn)重合，∴I的縱坐標(biāo)為，在中，，，又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)即知內(nèi)切圓半徑，內(nèi)心I把分為三個(gè)底分別為的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，，即，，∴橢圓C的離心率故答案為:15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由題意，設(shè)圓心，半徑，∵圓M經(jīng)過點(diǎn)，∴，∵圓M與直線相切，∴圓心到直線的距離，∴，化簡，解得，則圓心，半徑，所以圓M的方程為．（2）由題意，圓心到直線的距離，若直線的斜率不存在，其方程為，顯然符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離由，解得，則直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或．16．【正確答案】(1)，(2)①5人，2人；②.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，得，解得；所以估算這40名學(xué)生測試成績的平均數(shù)為；（2）①由圖可得和90,100這兩組的頻率之比為，故應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人），應(yīng)從學(xué)生中抽取的學(xué)生人數(shù)為（人）；②設(shè)從中抽取的5人為，從學(xué)生中抽取的2人為1，2，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，則；又，則，故.17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用焦點(diǎn)到漸近線的距離求出，結(jié)合漸近線方程即可求出雙曲線方程；（2）利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，然后聯(lián)立直線與雙曲線的方程，求出弦長和點(diǎn)到直線的距離，即可求出的面積.【詳解】（1）由雙曲線的一條漸近線方程為，所以，故到漸近線的距離，所以，又，所以，故的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，則由于，所以兩式相減得，所以，即直線的斜率為，所以直線的方程為，即.聯(lián)立消去并整理，得，所以，且，所以.點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為.

18．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)镻A平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，又因?yàn)锳DCD，PAAD=A，PA，AD平面PAD，所以CD平面PAD；（2）過點(diǎn)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M，因?yàn)镻A平面ABCD，AM，AD平面ABCD，所以PAAM，PAAD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，所以，，，所以，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，即，取，又因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為，所以，由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.（3）因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，設(shè)，，，，由得，即，所以，由（2）知，平