福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

福建省莆田市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點，點A關(guān)于y軸對稱的點為C，點B關(guān)于平面對稱的點為D，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．由直線上的一點向圓引切線，則切線段的最小值為（

）A．3 B． C． D．5．點P在直線上運動，，則的最大值是（

）A． B． C．3 D．46．已知點F，A分別是橢圓的左焦點、右頂點，滿足，則橢圓的離心率等于（

）A． B． C． D．7．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B．C． D．8．已知直線與直線的交點為P，則點P到直線距離的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．方程表示的曲線中，可以是（）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線10．已知圓，直線.則以下命題正確的有（

）A．直線l恒過定點 B．y軸被圓C截得的弦長為C．直線l與圓C恒相交 D．直線l被圓C截得弦長最長時，直線的方程為11．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（

）

A．B．直線與平面所成角的正弦值為C．點到直線的距離是D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．圓與圓相交所得公共弦長為．13．若雙曲線與橢圓的焦點相同，且過點1,2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．14．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點，，圓，在圓上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知空間三點，設(shè).(1)求和的夾角的余弦值；(2)若向量與互相垂直，求的值.16．直線經(jīng)過兩直線和的交點．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與圓相切，求直線的方程．17．某市為了改善城市中心環(huán)境,計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移,需要拆除工廠內(nèi)一個高塔,施工單位在某平臺O的北偏東方向處設(shè)立觀測點A,在平臺O的正西方向240m處設(shè)立觀測點B,以O(shè)為坐標(biāo)原點,O的正東方向為x軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.已知經(jīng)過O,A,B三點的圓為圓C.(1)求圓C的方程.(2)規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū),經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn),在平臺O的正南方向200m的P處,有一輛小汽車沿北偏西方向行駛,小汽車會不會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)?說明理由.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點.

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．已知橢圓C：的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：（）與橢圓C相交于A，B兩點，且．①求證：的面積為定值；②橢圓C上是否存在一點P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出點P橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，說明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因為該直線的斜率為，所以，所以，故選：A2．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸、平面的對稱性性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】，點A關(guān)于y軸對稱的點為，，點B關(guān)于平面對稱的點為.則.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時，直線與平行；當(dāng)直線與直線平行時，有且，解得，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】由圓的方程，得圓心，半徑，如圖，切線長，當(dāng)最小時，最小，最小值為圓心到直線的距離，所以切線長的最小值.故選：C.

5．【正確答案】A【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，解得，即故,,當(dāng)且僅當(dāng)，三點共線時，等號成立.故選：A6．【正確答案】B【詳解】

，，，即，整理得，即，等號兩邊同時除以得，即，求得，，，故選：B.7．【正確答案】A【詳解】設(shè)，則，直線的斜率，把兩點代入橢圓方程得：，，兩式作差得：，即，又因為，即，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A8．【正確答案】D【分析】求出兩直線所過定點，確定動點P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點到定直線的距離的最值，即可求得答案.【詳解】直線，分別過定點，，且互相垂直，所以點P的軌跡是以為直徑的圓（不含點），這個圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線l距離為，因此圓上的點到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時圓上點的坐標(biāo)是，因此取值范圍是.故選D.9．【正確答案】AB【詳解】當(dāng)，且，即時，方程表示橢圓，當(dāng)即時，方程表示雙曲線，故AB正確；要想表示圓，則無解，故C錯誤；直線為一次曲線，故D錯誤.故選：AB10．【正確答案】CD【分析】根據(jù)直線方程求出定點坐標(biāo)即可判斷選項A；求出圓和y軸的交點坐標(biāo)，即可判斷選項B；利用定點和圓的位置關(guān)系即可判斷選項C；當(dāng)弦長最長時，直線過圓心從而判斷選項D.【詳解】對于A，直線，即，由，解得，故直線過定點，故A錯誤；對于B,圓，當(dāng)時，，故y軸被圓C截得的弦長為，故B錯誤；對于C，直線過定點，,故點在圓內(nèi)，則直線l與圓C恒相交，故C正確；對于D，當(dāng)直線l被圓C截得弦長最長時，直線過圓心，則，解得，故直線方程為：，即，故D正確.故選：CD11．【正確答案】BCD【詳解】A選項，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，A錯誤；B選項，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項，，點到直線的距離為，C正確；D選項，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D正確.

故選：BCD12．【正確答案】【分析】兩圓方程作差得公共弦所在直線方程，利用點到直線的距離公式可得到直線的距離，最后由即可得解.【詳解】記圓，圓，兩個方程作差可得，，所以兩圓公共弦所在直線方程為，圓心到直線的距離為，所以公共弦長為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以橢圓的焦點坐標(biāo)為，根據(jù)雙曲線的定義可得：，解得，又因為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)Px,y，因為點，，，所以，即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因為在圓上存在點滿足，所以圓與圓有公共點，所以，整理可得：，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為.15．【正確答案】(1)(2)2或【詳解】（1）由點，得，，所以，所以和夾角的余弦值為.（2）由（1）可得，，因為向量與互相垂直，則，由整理可得，解得或，所以的值為2或.16．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）聯(lián)立兩直線和，解得，即交點坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為.綜上：直線的方程為或.17．【正確答案】(1)（或）(2)小次車會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓的一般方程用待定系數(shù)法將三個點代入求解.（2）根據(jù)題意寫出小汽車行駛軌跡的直線方程，求出圓心到直線的距離與半徑作比較并判斷直線與圓的位置關(guān)系，從而得到答案.【詳解】（1）由題意得,,設(shè)圓C的方程為,因為圓C經(jīng)過O,A,B三點,所以解得所以圓C的方程為（或）.圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為,故圓心為C,半徑,因為圓C到直線的距離，所以直線與圓C相交，即小汽車會進(jìn)入安全預(yù)警區(qū).18．【正確答案】(1)證明見詳解(2)（i），（ii）存在點，.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，因為是中點，所以，，又，，，，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），，又，，，則，又平面平面，平面平面，平面，，又，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（i）設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，，，又平面的一個法向量為，，所以二面角的余弦值為.（ii）假設(shè)線段上存在點，使得點到平面的距離為，設(shè)，，，，由（i）知平面的一個法向量為，所以點到平面的距離為，則，解得或，又，所以，即存在點到平面的距離為，且.19．