九年級(jí)寒假數(shù)學(xué)培優(yōu)講義(二)

元二次方程——

解法、判別式

模塊一課前檢測(cè)

1.代數(shù)式萬(wàn)工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則X的取值范圍是（）

A.x<2B.爛2C.x<_2D.x<-2

2.下列函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（）

6

A.y=2xB.y=2x-3C.y=3-2xD-J=--

X

3.已知直線y=H+b經(jīng)過(guò)一、二、四象限，則直線），=以+攵-2的圖像只能是（）

4.如圖，在四邊形ABCD中,ZB=90°,AB=1,BC=73,AD=3,CD=V5,則四邊形ABCD

的面積為（）

.A.8-472B.3

5.武漢市梅苑學(xué)校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期體育成績(jī)滿分為100分，其中早鍛煉及體育課外活動(dòng)占

20%,期中考試成績(jī)占30%,期末成績(jī)占50%,小明的三項(xiàng)成績(jī)依次為95,90,86,則小明這

學(xué)期的體育總評(píng)成績(jī)?yōu)榉帧?/p>

6.如圖，四邊形ABCD是菱形，且AC=8,BD=4,DH_LAB于H,則AH=

D

模塊二一元二次方程的概念

知識(shí)點(diǎn)睛

1.一元二次方程的定義考查點(diǎn)有三個(gè)：①二次項(xiàng)系數(shù)不為0;②最高次數(shù)為2;③整式方程

2.一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=0(a^0),a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

3.一元二次方程根的考察：

關(guān)于一元二次方程根的考查就是需要將根代入方程得到一個(gè)等式，然后再考察恒等變換。

例：(1)ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程，因?yàn)闆](méi)有強(qiáng)調(diào)awO；

(2)(x-2)(x+3)=x2j不是一元二次方程，因?yàn)槎雾?xiàng)抵消

(3)3x2-f+6=0不是一元二次方程，因?yàn)椴皇钦椒匠獭?/p>

x

注：檢醛是否是一元一次方程：第一步看是否為整式方程；第一步將方程化為最簡(jiǎn)，看是否存

在二次項(xiàng)。

典型例題

【例1】(1)已知關(guān)于X的方程6+1)x2.ax=2x2」是一元二次方程，則〃的取值范

(圍?

(2)若一元二次方程(m-1)x2+3(m2-1)x+m-5=0一次項(xiàng)不存在，則m的值

為；

【鞏固】(1)機(jī)為何值時(shí)，關(guān)于x的方程(m-2)xn/-2.mx=4是一元二次方程.

(2)已知關(guān)于x的方程(a+1)x2-2x+(a2-l)=0的常數(shù)項(xiàng)等于0,則a的值為

【例2】(1)關(guān)于x的一元二次方程(a-拒)x2+(a+3)x+a-2=0的一個(gè)根是0,則。

的值為_(kāi)______

0

(3)若加是方程_x2?2x-l=0的一個(gè)根，那么代數(shù)式4m2?12m+3的值為

3

(4)已知。是方程f+x—JO的一個(gè)根，貝ij代數(shù)式a3+2a?+3的值為

【鞏固】(1)若兩個(gè)方程x2+(a-l)x+(b+D=O和x2+(b+l)x+a-l=O只有一個(gè)公共

根，則()

A.a=bB.〃+b=OC.a+b=\D.a+/>=-1

⑵已知a是方程X2-3X+1=0的一個(gè)根，則代數(shù)式2a3-3a2-7a+2019的值為

模塊三一元二次方程的解法

知識(shí)點(diǎn)睛

1.直接開(kāi)平方法

如(av+〃)2=〃？(/??>0)轉(zhuǎn)化為ov+〃=±J^,即轉(zhuǎn)化為or+〃=新^或or+〃=一^^進(jìn)行

2酒已方法

用配方法解一元二次方程的步驟如下：

(1)把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊

(2)根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為“1”

(3)把方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式。

-b+田2_4ac2

3.公式法*二———,此法的前提是b-4ac>0

2a

4.分解因式法：一般采取十字相乘法分解因式。

典型例題

【例3】（直接開(kāi)方法）（1）（2X-1）2=9；（配方法）（2）以2—&葉1=0：

（公式法）（3）X2+2V3X+3=D：（因式分解法）（4）4x2-12x+5=0

【鞏固】用適當(dāng)?shù)男问浇庀铝蟹匠?

(1)2(x-2)2=50；(2)x(x+2)=5(x-2)(3)x2+2x=2—4x—x2

2

(4)2x-Vi7x+1=0(5)3X2-2X-1=0(6)3x2-4x-2=0

模塊四一元二次方程的判別式

知識(shí)點(diǎn)睛

1.一元二次方程6x+c=0(〃。0)只有當(dāng)系數(shù)4、b、。滿足條件△=4〃c20時(shí)

才有實(shí)數(shù)根.這里6-4ac叫做一元二次方程根的判別式.

2.判別式與根的關(guān)系：

(1)當(dāng)△=/一4加、>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)△=/-44c=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

(3)當(dāng)A=82-<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

典型例題

[例4](1)已知關(guān)于x的一?元二次方程(a?l)x2+(2-3a)x+3=0.求證：當(dāng)aw1時(shí)，此

方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)。、力為何值時(shí)，方程/+2(1+〃戶+3/+4"+4"+2=0有實(shí)根?

(3)若關(guān)丁x的元二次方程(in2-l)x2-(2H1+1)x+1=0有實(shí)根，則山的取值范圍是什

么？

(4)若關(guān)于x的方程(m」)x2-(2m+l)x+1=0有兩不相等實(shí)根，則m的取值范圍是什

么？

(5)若關(guān)于x的方程(n?/)x2-(2m+|)x+l=0有實(shí)根，則m的取值范圍是什么？

【鞏固】(1)關(guān)于x的方程kx2-4x-2=0有實(shí)數(shù)根，貝IJk的取值范圍是什么？

3

2八

(2)關(guān)于x的一元二次方程kx2?x-二°有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是什么？

3

2

(3)關(guān)于x的方程kxJ4x?二°有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是什么？

3

能力提升

7009

［例5］已知a是方程*一200%+1=0一個(gè)根，求42―2008〃t2_的值.

a2+\

［例6］(1)已知：a、b、c為AABC的三邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程

c(x2+/n)+Z?(x2-/n)-2痂x=()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。求證：AABC為直角三角形。

(2)已知。、b、c是三角形的三邊長(zhǎng)，求證：62/+(/+/一/求+°2=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根

真題解析

【例7】已知關(guān)于x的方程x2-(2k+l)x+4(k-b=0

2

(1)求證：無(wú)論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根

(2)若等腰4ABC的一邊長(zhǎng)a=4,另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求4ABC的周

長(zhǎng)

［例8］己知關(guān)于X的方程(〃/一6)^-2/3:+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)若“為整數(shù)，且“<3,。是上述方程的一個(gè)根，求代數(shù)式2。2-3。一初±1+3的值.

4

課后作業(yè)

【習(xí)題1】若0是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，則m值為（)

A.1B.0C.1或2D.2

【習(xí)題2】方程x2+ax+l=O和x2-x-a=0有一個(gè)公共根，則a的值是（）

A.0B.1C.2D.3

21

【習(xí)題31已知a是方程x2+x-2015=0的一個(gè)根，則———J的值為（)

a2-la2-a

1D.]

A.2014B.2015C.-------

20142015

【習(xí)題4】若關(guān)于x的方程0^+2（。+2）]+。=0有實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是什

么？

【習(xí)題5]關(guān)于工的一元二次方程0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求出的

取值范圍.

【習(xí)題61若關(guān)于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【習(xí)題7](1)(x+1)2=5(2)(2x+l)2=49

【習(xí)題8](1)x2-3x+l=0(2)5x2-8x+2=0

（2）

【習(xí)題91(1)2X2-V3X-3=0產(chǎn)-小+必。

【習(xí)題10](1)5X2-8X-4=0(2)x2-x-m2+3m-2=0

元二次方程

根與系數(shù)的關(guān)系

模塊一課前檢測(cè)

1.方程a+i）a—2）=（x+i）的解是（）

A.2B.3C.-1,2D.-1,3

2.已知x=2是方程第=。（存0）的解，則它的另一根為（）

A.2B.0C.-2D.不能確定

3.一元二次方程爐一級(jí)一1=0的根的情況為（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

4.已知（加+〃2）（62+/+2）=15,則加+〃2的值為（）

A.3B.-5C.-3或5D.-5或3

5.用配方法解關(guān)于x的方程/+/+鄉(xiāng)=0時(shí)，此方程可變?yōu)椋ǎ?/p>

A.（%+/=令"B.a+g2="L

C.（J）2=丘絲D.（。）2=/1

2424

6.（2014.武漢）在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加跳高的15名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫?

成績(jī)（/?）1.501.601.651.701.751.80

人數(shù)124332

那么這些運(yùn)動(dòng)員跳高成績(jī)的眾數(shù)是

7.若方程x2-9x+18=0的兩根伶好是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，則此三角形的周長(zhǎng)為

8.已知關(guān)于彳的一元二次方程（冽+1）好一2（w一1次+〃?=0有實(shí)根，則，〃的取值范圍是

模塊二根與系數(shù)關(guān)系(韋達(dá)定理)

知識(shí)點(diǎn)睛

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：

若西，不是關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=O(a^0)的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根

和系數(shù)有如下關(guān)系：x+x=-_,xx=.c_

1212a]2a

EG:先閱讀，再填空解題：

(1)方程e一X一12=0的根是：汨=一3,4=4,則》+x2=1勺刈%2=-12；

(2)方程Zv2—7x+3=0的根是：汨=1，^2=3,則即+e=一；

222

(3)方程X2—3x+l=0的根是：X1=,X2=.則即+12=,X\-X2

=?

(4)根據(jù)以上(1)(2)(3)你能否猜出：

如果關(guān)于X的一^二次方程相/+/1￥+〃=0(〃用0且小、小〃為常數(shù))的兩根為X1、X2,那

么即十檢、為與系數(shù)〃?、小〃有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出來(lái)你的猜想并說(shuō)明理由.

典型例題

【例1】(1)設(shè)XI，X2是方程2x2-3x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則三+三的值為

X2X1

JaJb...

(2)己知實(shí)數(shù)a、b(aWb)分別滿足a2-3a+=0,b2-3b+^=0,試求-尸+〒的值z(mì);

VbJa

(3)設(shè)方程4d-7x-3=0的兩個(gè)根為修、x2,不解方程求下列各式的值

①區(qū)一3)(應(yīng)-3)；③跖一忌

【鞏固】（1）己知一元二次方程y2?3y+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為yi、yz，則（yrl）（y2-l）

的值為；

（2）已知關(guān)于x的方程x??（a+b）x+ab-2=0.x,.x?是此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個(gè)

結(jié)論：①X#X2；②X[X2>ab；③X』+X22>a2+b2,則正確結(jié)論的序號(hào)是

模塊三判別式與韋達(dá)定理

■知識(shí)點(diǎn)睛

判別式與韋達(dá)定理的應(yīng)用主要體現(xiàn)在含參一元二次方程中，含參一元二次方程處理辦法：

①二次項(xiàng)系數(shù)不為0;②判別式大于或者等于0;③根與系數(shù)的關(guān)系參與計(jì)算；④結(jié)合

實(shí)際情況進(jìn)行答案的取舍。例如：（a-DX2-2X+1=0,首先awl,接著△NO,之后進(jìn)行根

與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。實(shí)際情況一般指根必須為非負(fù)數(shù)，或者三角形三邊需要滿足三邊關(guān)系。

典型例題

【例2】（1）設(shè)x、x是方程2（2+1.+1+2=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，且

I2

（%+1）（毛+1）=8,則々的值是.

（2）如果關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+3m-l=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xHx2,且它們滿足不等式

X]X2

VI,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

X]+X2-3

(3)若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+(k2-l)x+(k-l)2=0的兩根分別為a,且

a2+6=4,求k的值.

(4)若關(guān)于x的一元二次方程x2-(a+3)x+a2+8a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為4和b,求ab的

值.

(5)己知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m+2=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根X1和x2

①求m的取值范圍；②若|X「X2|=2,求m的值.

【鞏固】⑴若方程f+px+l=0的一個(gè)根為1-也，則它的另一根等于,〃等

(2)關(guān)于x的方程x2+(m-1)x+m2-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，求m的值.

(3)已知關(guān)于x的方程x2+2(a-l)x+a2-7a-4=0的兩根為xi、X2，且滿足XJX2-3X『3X2-2=0.求

a的值.

?_能力提升

［例3］已知m,n是方程x2+3x+l=0的兩根

⑴求(m+5-16)Jm獨(dú)_，值；

5-m3-mm

求的值。

\xi+y2-2x=0①

【例4］己知方程組…(X、y為未知數(shù))

［履-)，-女=0②

①求證：不論％為何實(shí)數(shù)，方程組得有眄個(gè)不螞的實(shí)數(shù)解

2

②設(shè)方程組的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解為『?和乜一/求證：(x-x)+(y-y)2是一個(gè)常數(shù)

y=yy=y?2?2

［例5］已知關(guān)于x的方程①x2-2mx+3m=0的兩個(gè)實(shí)根是x、x且(x-彳尸16。如果

12I2

關(guān)于1的另一個(gè)方程寸-2/松+&〃-9=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都在1、%之間，求機(jī)的值。

真題解析

［例6］已知xi,X2是關(guān)于x的一元二次方程X2-2(m+1)x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)

根.

(1)若(xi-1)(X2-1)=28,求m的值；

(2)已知等腰AABC的一邊長(zhǎng)為7,若xi，X2恰好是AABC另外兩邊的邊長(zhǎng)，

求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

【例7】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+2k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi,

X2.

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)k使得加?也-占2_必2之0成立？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

課后作業(yè)

【習(xí)題1】方程f—5x+2=0的兩個(gè)解分別為工、x,MX+X-X-A的值為()

121212

A.-7B.-3C.7D.3

【習(xí)題2】設(shè)x,x是一元二次方程/一3工一2二0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則工2+3工工+工2的

12I122

值為.

【習(xí)題3］已知關(guān)于x的方程/-(4+1)1+力+2-0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6,求友的

值.

【習(xí)題4］已知關(guān)于x的方程x2+2(a-l)x+a2-7a-4=0的兩根為xi、X2，且滿足X|X2-3xi-3x2?2=0.求

(1+」-)的值.

a2-4a

【習(xí)題5］已知：△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+3)

x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5.試問(wèn)：k取何值時(shí)，△ABC是以

BC為斜邊的直角三角形？

【習(xí)題6］己知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0,有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)值；

（2）在（1）的條下，方程的實(shí)數(shù)根是X1,X2,求代數(shù)式X/+X22-XIX2的

值.

【習(xí)題7］已知xi，X2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（1）是否存在實(shí)數(shù)a,使?X|+xiX2=4+X2成立？若存在，求出a的值；若不存在,

請(qǐng)你說(shuō)明理由；

（2）求使（xi+1）（x2+l）為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.

元二次方程

模塊一課前檢測(cè)

1.若關(guān)于X的一元二次方程(切-11+版+加-1=0有一根為0,求另一根及機(jī)的值

2.已知關(guān)于x的方程X*2—(2左+1)工+4僅=?)=0

2

(1)求證：無(wú)論々為何值，方程總有實(shí)數(shù)根

(2)若等腰4ABC的一邊長(zhǎng)。=4,另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求4ABC的周

長(zhǎng)

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD=5,CD=4,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則對(duì)角線BD

的長(zhǎng)為_(kāi)___________

B

模塊二利潤(rùn)、銷售問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)睛

1.進(jìn)售價(jià)問(wèn)題：（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）X銷售量=利泄

2.折扣問(wèn)題：標(biāo)價(jià)x折扣=售價(jià)

3.利潤(rùn)率：售價(jià)一進(jìn)價(jià)xlOO%=利潤(rùn)率。

進(jìn)價(jià)

典型例題

【例I】（1）奉節(jié)特產(chǎn)專賣店銷售2015年良種夏季臍橙，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千

克60元出售，平均每天可售出100千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平

均每天的銷售可增加20千克.若該專賣店銷售這種臍橙要想平均每天獲利2240元，為減少

庫(kù)存，每千克臍橙應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）某商店以每件16元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，物價(jià)局限定，每件商品的利潤(rùn)不得超過(guò)30%,

若每件商品售價(jià)定為x元，則可賣出（170-5x）件，商店預(yù)期要盈利280元，那么每件商品的

售價(jià)應(yīng)定為多少？

【鞏固】西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元/千克的價(jià)格出售，每天

可售出200千克.為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價(jià)

0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元，為了減少庫(kù)存，

該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低（）元.

A.0.2或0.3B.0.4C.0.3D.0.2

模塊三傳播、增長(zhǎng)率、循環(huán)問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)睛

1.傳播問(wèn)題包括病毒傳播和枝干、短信、微博傳播；病毒傳播關(guān)系式一般為a(1+x)2=b,

需注意感染源在一次傳播和二次傳播中都是傳染體；枝干、短信、微博的傳播關(guān)系式為a

(x2+x)=b,傳播主體在第二次傳播中不再發(fā)揮作用。

2.增長(zhǎng)率問(wèn)題，第n個(gè)月和第n+2個(gè)月之間關(guān)系式為a(1+x%)2=b;第n個(gè)月和三個(gè)月總

共的量的關(guān)系為a+a(1+x%)a(1+x%)2=c<?

3.循環(huán)問(wèn)題有單循環(huán)與雙循環(huán)問(wèn)題：例如比賽、握手是單循環(huán)問(wèn)題，每?jī)蓚€(gè)個(gè)體進(jìn)行一次互

動(dòng)，即x(I):送賀卡、短信互相祝福屬于雙循環(huán)問(wèn)題，個(gè)體間互動(dòng)兩次，即x(x-1)。

2

典型例題

【例2】(1)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支,

主干、支干和小分支的總數(shù)是13,則每個(gè)支干長(zhǎng)出多少根小分支？

(2)有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪穿然后共有49人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了

x人，則x的值為多少？

【鞏固】(1)流感傳染性很強(qiáng)，在一天內(nèi)一人可傳染x人，若先有2人同時(shí)患上流感，兩

天后共有128人患上流感，則x值為多少？

【例3】(1)某超市第二季度的營(yíng)業(yè)額為200萬(wàn)元，第四季度的營(yíng)業(yè)額為288萬(wàn)元.如果

每季度營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率相同，那么每季度的平均增長(zhǎng)率是多少？

(2)武漢市改善空氣質(zhì)量，開(kāi)展"綠色家園”活動(dòng)，加快了綠化荒山的速度，2013年市政府

共投資4億元人民幣綠化荒山160萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)到2015年這三年共累計(jì)投資19億元人民

幣綠化荒山.若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同.

①求每年市政府投資的增長(zhǎng)率；

②若這兩年內(nèi)的綠化成本不變，預(yù)計(jì)2015年能綠化多少萬(wàn)平方米荒山？

【鞏固】我市為打造“國(guó)家文明衛(wèi)生城市”，積極投入資金進(jìn)行河道治污與園林綠化兩項(xiàng)工程、

已知2012年投資1000萬(wàn)元，預(yù)到2014年投資1210萬(wàn)元.若這兩年內(nèi)平均每年投資增長(zhǎng)的

百分率相同.

(1)求平均每年投資增長(zhǎng)的百分率；

(2)如平均每年投資增長(zhǎng)的百分率不變，則2016年我市的投資能否突破1500萬(wàn)元？

【例4】(1)一個(gè)小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個(gè)小組共有

多少人？

(2)某單位要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式(每?jī)申?duì)之間都要賽一場(chǎng))計(jì)劃安排

15場(chǎng)比賽，則參加比賽的球隊(duì)?wèi)?yīng)有；

【鞏固】某學(xué)校組織籃球比賽，實(shí)行單循環(huán)制，共有36場(chǎng)比賽，則參加的隊(duì)數(shù)為()

A.8支B.9支C.10支D.II支

模塊四面積、幾何問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)睛

1.面積問(wèn)題：需要結(jié)合實(shí)際情況，進(jìn)行幾何圖形的平移割補(bǔ)；計(jì)算的結(jié)果必須為正數(shù);

2.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題注意未知數(shù)表示的線段長(zhǎng)度，再結(jié)合面積處理方法解決問(wèn)題。

典型例題

[例5](1)某學(xué)校為美化校園，準(zhǔn)備在長(zhǎng)35米，寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上，修建若干條

寬度相同的道路，余下部分作草坪，并請(qǐng)全校學(xué)生參與方案設(shè)計(jì)，現(xiàn)有3位同學(xué)各設(shè)計(jì)了一

種方案，圖紙分別如圖1、圖2和圖3所示(陰影部分為草坪).

請(qǐng)你根據(jù)這一問(wèn)題，在每種方案中都只列出方程不解.

①甲方案設(shè)計(jì)圖紙為圖1,設(shè)計(jì)草坪的總面積為600平方米.

②乙方案設(shè)計(jì)圖紙為圖2,設(shè)計(jì)草坪的總面積為600平方米.

③丙方案設(shè)計(jì)圖紙為圖3,設(shè)計(jì)草坪的總面積為540平方米。

(2)如圖，在aABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從點(diǎn)A,B

同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/秒，點(diǎn)Q的速度為2cm/秒，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，

點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).下列時(shí)間瞬間中，能使4PBQ的面積為15cm2的是()

A.2秒鐘B.3秒鐘C.4秒鐘D.5秒鐘

【鞏固】如圖1,某小區(qū)的平面圖是一個(gè)占地長(zhǎng)500米，寬400米的矩形，正中央的建筑區(qū)

是與整個(gè)小區(qū)長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面積是小區(qū)面積的19%,南北

空地等寬，東西空地等寬.

(1)求該小區(qū)四周的空地的寬度；

(2)如圖2,該小區(qū)在東、西、南三塊空地上做如圖所示的矩形綠化帶，綠化帶與建筑區(qū)之

間為小區(qū)道路，小區(qū)道路寬度一致.已知東、西兩側(cè)綠化帶完全相同，其長(zhǎng)均為200米，

南側(cè)綠化帶的長(zhǎng)為300米，綠化面積為5500平方米，請(qǐng)算出小區(qū)道路的寬度.

圖1

^是升

［例6］衛(wèi)生部門為了控制前段時(shí)訶紅眼病的流行傳染，對(duì)該種傳染病進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，若一人

患了該病，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了該病.若按這樣的傳染速度，第三輪傳染后我

們統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)有2662人患了該病，則最開(kāi)始有多少人患了該病？

【例7】如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)120米，下底長(zhǎng)180米，上下底相

距80米，在兩腰中點(diǎn)連線(虛線)處有一條橫向甬道，上卜底之間有兩條縱向甬道，各甬

道的寬度相等.設(shè)甬道的寬為x米.

(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積；

(2)根據(jù)設(shè)計(jì)的要求，甬道的寬不能超過(guò)6米.如果修建甬道的總費(fèi)用(萬(wàn)元)與甬道的

寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7,花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬(wàn)元，那么

當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí)，所建花壇的總費(fèi)用為239萬(wàn)元？

真題解析

[例8](2014-2015一初8月月考)西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜，以3元

/千克的價(jià)格出售，每天可售出200千克.為了促銷，該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這

種小型西瓜每降價(jià)0.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成木共24元.

(1)該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元？

(2)該經(jīng)營(yíng)戶每天的最終盈利能否達(dá)到220元，若能，求降價(jià)多少元？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由

課后作業(yè)

【習(xí)題1】有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后新增120個(gè)人患了流感，則每輪傳染中平均

一個(gè)人傳染人的個(gè)數(shù)為（）

A.10B.11C.60D.12

【習(xí)題2】某制藥廠生產(chǎn)的某種針劑，每支成本3元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在的成本

是2.43元，則平均每次降低成本的百分率是（）

A.10%B.20%C.7%D.8%

【習(xí)題31股票每天的漲、跌幅均不能超過(guò)10%,即當(dāng)漲了原價(jià)的10%后，便不能再漲，叫

做漲停；當(dāng)?shù)嗽瓋r(jià)的10%后，便不能再跌，叫做跌停.已知一只股票某天跌停，要想在2天

之后漲回到原價(jià)，試估計(jì)平均每天的漲幅（）

A.一定為5%B.在5%?6%之間C.在4%?5%之間D.3%?4%之間

【習(xí)題4】一塊矩形菜地的面積是120m2,如果它的長(zhǎng)減少2m,那么菜地就變成正方形，

則原菜地的長(zhǎng)是（）

A.10mB.IlmC.12mD.13m

【習(xí)題5］受房貸收緊、對(duì)政策預(yù)期不確定等因素影響，今年前兩個(gè)月，全國(guó)商品

住宅市場(chǎng)銷售出現(xiàn)銷售量和銷售價(jià)齊跌態(tài)勢(shì)，數(shù)據(jù)顯示，2014年前兩個(gè)月，某

房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司的銷售面積一共8300平方米，其中2月份比1月份少銷售300

平方米.

（1）求2014年1、2月份各銷售了多少平方米；

（2）該公司2月份每平方米的售價(jià)為8000元，3月份開(kāi)始，決定以降價(jià)促銷的

方式應(yīng)對(duì)當(dāng)前的形勢(shì)，據(jù)調(diào)查，與2月份相比較，每平方米銷售單價(jià)下調(diào)a%,

則銷售面積將增加（a+10）%,結(jié)果3月份總銷售額為3456萬(wàn)元，求a的值.

【習(xí)題6］某商場(chǎng)在“五?一”節(jié)里實(shí)行讓利銷售，全部商品一律按九折銷售.這樣每天所獲

得的利潤(rùn)恰是銷售收入的20%,如果第一天的銷售收入是4萬(wàn)元，并且每天的銷售收入都

有增長(zhǎng)，第三天的利潤(rùn)是1.25萬(wàn)元.

(1)求第三天的銷售收入是多少萬(wàn)元？

(2)求第二天和第三天銷售收入平均每天的增長(zhǎng)率是多少？

【習(xí)題7】如圖1的矩形包書紙示意圖中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，

四角均為大小相同的正方形，正方形的邊長(zhǎng)為折疊進(jìn)去的寬度.

(1)如圖2,《思維游戲》這本書的長(zhǎng)為21cm,寬為15cm,厚為1cm,現(xiàn)有

一張面積為875cm2的矩形紙包好了這本書，展開(kāi)后如圖1所示.求折疊進(jìn)去的

寬度；

(2)若有一張長(zhǎng)為60cm,寬為50cm的矩形包書紙，包2本如圖2中的書，

書的邊緣與包書紙的邊緣平行，裁剪包好展開(kāi)后均如圖1所示.問(wèn)折疊進(jìn)去的寬

度最大是多少？

（圖1）（圖2）

二次函數(shù)

概念與性質(zhì)

模塊一課前檢測(cè)

1.用配方法解方程f—4x+2=0,下列配方正確的是（）

A、々-2)2=2B、(X+2)2=2C、(x-2)2=-2D、(x-2)2=6

2.新年里，一個(gè)有若干人的小組，若每人給小組的其它成員贈(zèng)送一張賀年卡，則全組送賀年

卡共72張，此小組的人數(shù)是（）

A、7B、8C、9D、10

3.關(guān)于x的一元二次方程b2+3x7=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

9Q9Q

A、kS--B、乙且心0C、kN--D、

4444

4.某企業(yè)今年3月份的產(chǎn)值為a萬(wàn)元，4月份比3月份減少了10%,5月份比4月份增加了

15%,則5月份的產(chǎn)值為（）

A、（。一10%）（。+15%）萬(wàn)元B、〃（1一10%）（1+15%）萬(wàn)元

C、（。一10%+15%）萬(wàn)元D、〃。一10%+15%）萬(wàn)元

5.已知美于x的一元二次方程』+2（〃2-2）%+52+4=。的兩實(shí)數(shù)根是xi和x2o

（1）求m的取值范圍；

（2）如果x2+x2-xx=21,求m的值。

1212

模塊二二次函數(shù)的概念

課堂導(dǎo)入

問(wèn)題1：若圓的半徑為X厘米，圓的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式;

問(wèn)題2：甲、乙兩數(shù)的和為20,設(shè)甲數(shù)為x,甲、乙兩數(shù)的積為y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)

解析式；

問(wèn)題3：矩形的長(zhǎng)為4厘米，寬為3厘米，如果將它的長(zhǎng)與寬都增加x厘米，記現(xiàn)在的矩

形面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于工的函數(shù)解析式；

知識(shí)點(diǎn)睛

一、二次函數(shù)的定義

1.一般地，形如yud+bx+c力,c,為常數(shù)，的函數(shù)稱為"的二次函數(shù)，其中工

為自變量，y為因變量，a,b,c分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).

2.任何二次函數(shù)都可以整理成y=a/+bx+c（a,b,c為常數(shù)，。工0）的形式.

3.判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)的方法：

①含有一個(gè)變量，且自變量的最高次數(shù)為2;②二次項(xiàng)系數(shù)不等于0;③等式兩邊都是整

式.二、二次函數(shù)圖象的畫法：五點(diǎn)繪圖法

1.利用配方法將二次函數(shù)），=加+隊(duì)+?；癁轫旤c(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k

2.確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)

3.在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與3'軸的交點(diǎn)（0,。）、以

及（0,c）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2力，c）、與工軸的交點(diǎn)（再，0）,（而，0）（若與x軸沒(méi)有交點(diǎn),

則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.

典型例題

【例1】（1）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

A.丁=二4--B.y=3x-+2x2C.y=（x-2V-x2D.y=x-岳？

（2）下列說(shuō)法正確的是（）

A.二次函數(shù)自變量的取值范圍是非零實(shí)數(shù)B.圓的面積公式S=7/中，S是r的二次函數(shù)

C.y=L（x-l）（x+4）不是二次函數(shù)D.y=l-應(yīng)V?中一次項(xiàng)系數(shù)為1

2

【鞏固】已知關(guān)于x的函數(shù)產(chǎn)SF-2m-3）x2+（〃?+l）x+加.

（1）若它是關(guān)于x的二次函數(shù)，〃，要滿足的條件是;

（2）若它是關(guān)于工的一次函數(shù)，加要滿足的條件是.

模塊三y=ax2（aw0）圖像與性質(zhì)

?知識(shí)點(diǎn)睛

一、二次函數(shù)y="2（。/0）的性質(zhì)

1.拋物線y=or2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）,對(duì)稱軸是x=o（y軸）.

2.函數(shù)了=以2的圖象與。的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)4>0時(shí)<=>拋物線開(kāi)口向上。頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)。<0時(shí)O拋物線開(kāi)口向下Q頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

典型例題

【例2】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)圖象：y=2x2；y=-2x2：y=3x2；y=-3x2；

回答問(wèn)題：

（1）a的大小與圖像的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小有什么關(guān)系？v

（2）探究圖像的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、圖像變化趨勢(shì)。

【鞏固】如圖，四個(gè)二次函數(shù)的圖象中，分別對(duì)應(yīng)的是①曠=/；②y=bf；③丁二以2；

?y=dx2^則。、h.C、d的大小關(guān)系為()

A.a>b>c>dB.a>b>d>cC.b>a>c>d

D.b>a>d>c

模塊四y=ax?+c(a00圖像與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)睛

二次函數(shù)y=a?+c(a±0)的性質(zhì)

1.拋物線y=ar。的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)(0,q,對(duì)稱軸是x=()(y軸).

2.函數(shù)丁="2+。的圖象與。的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a>0時(shí)。拋物線開(kāi)口向上o頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)。<0時(shí)=拋物線開(kāi)口向下=頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

3.函數(shù)y=?？+c的圖象看做是由函數(shù)y=以？的圖象向上或向下平移|c|個(gè)單位得到的.

=2x2；y="+2；y=lx2-3：

典型例題

【例3】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)圖象；y

并回答下列問(wèn)題

①拋物線%、％、的形狀是否發(fā)生改變？

②對(duì)稱軸是否發(fā)生改變？

③將拋物線弘向平移單位得到力

④將拋物線必向平移單位得到必

【鞏固】（1）二次函數(shù)y=5f-2的圖象開(kāi)口,當(dāng)時(shí)，y隨x的增

大而增大；

（2）二次函數(shù)y=-5^+7的圖象開(kāi)口,當(dāng)時(shí)，），隨x的增大而增大。

二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(aw0)的性質(zhì)

①對(duì)稱軸：x=h②頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h,k）

③最值：a>0時(shí)有最小值k（如圖1）,a<0時(shí)有最大值k:（如圖2）

22

x+2)；y2=2(x-1)；

典型例題

【例3】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)圖象：力=2（

【鞏固】（1）拋物線y=2（x-l>+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)禰軸是；

（2）拋物線y=-3（x+l/+4的開(kāi)口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸是

,當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大。

模塊六y=ax2+bx+c(awO)圖像與

知識(shí)點(diǎn)睛

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的性質(zhì)

bb4ac-b2

①對(duì)稱軸：x=^—②頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-一,-------)

2a、2a4a

4ac-b14ac-tr

③最值：I.a>0時(shí)有最小值-------II.a<0時(shí)有最大值-------

4a4a

④單調(diào)性：二次函數(shù)y=ar2+&+c（〃。0）的變化情況（增減性）

I.當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)x<上，y隨著x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)%>），

2a2a

y隨x的增大而增大；

II.當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)上，y隨著x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)

2a2a

y隨力的增大而戒?。?/p>

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典型例題

［例4］已知二次函數(shù)y==lf+x+41...........

2

（1）試確定拋物線的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。

（2）工為何值時(shí)，y有最值？

（3）畫出函數(shù)的圖象，并說(shuō)明一二二三二五七二二二二

當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大;

當(dāng)x取何值時(shí)，），隨x的增大而減小

【例5】（1）二次函數(shù)），=〃2+隊(duì)+C的圖象如圖所示，則下列關(guān)于4仇C之間的關(guān)系判斷

正確的是（)

A.ab